Réduire un endomorphisme, c’est trouver une base dans laquelle sa matrice est la plus simple possible : diagonale quand c’est réalisable, triangulaire ou « presque diagonale » (blocs de Jordan) sinon. Les outils de ce chapitre sont les polynômes annulateurs : ils transforment un problème de matrices en un problème d’arithmétique des polynômes. Dans tout le chapitre, \(\mathbb{K}\) désigne \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\), \(E\) est un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie \(n\) et \(u\) un endomorphisme de \(E\).
1. Polynômes d’endomorphisme
Pour \(P = a_0 + a_1X + \dots + a_dX^d\) dans \(\mathbb{K}[X]\), on pose \(P(u) = a_0\,\mathrm{Id} + a_1u + \dots + a_du^d\). L’application \(P \mapsto P(u)\) est un morphisme d’algèbres : \((PQ)(u) = P(u)\circ Q(u)\). En particulier, deux polynômes en \(u\) commutent toujours.
Un polynôme \(P\) est dit annulateur de \(u\) si \(P(u) = 0\). L’ensemble des polynômes annulateurs de \(u\) est un idéal de \(\mathbb{K}[X]\), non réduit à \(\{0\}\).
Il est non nul pour une raison de dimension : \(\mathcal{L}(E)\) est de dimension \(n^2\), donc les \(n^2+1\) endomorphismes \(\mathrm{Id}, u, \dots, u^{n^2}\) forment une famille liée.
Soit \(A = \begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}\). On calcule \(A^2 = \begin{pmatrix}4&5\\0&9\end{pmatrix}\), puis \(A^2 - 5A + 6I = \begin{pmatrix}4-10+6&5-5\\0&9-15+6\end{pmatrix} = 0\). Le polynôme \(X^2 - 5X + 6 = (X-2)(X-3)\) annule \(A\).
2. Polynôme minimal
L’idéal des polynômes annulateurs de \(u\) est engendré par un unique polynôme unitaire, noté \(\mu_u\) : c’est le polynôme minimal de \(u\). Un polynôme \(P\) annule \(u\) si et seulement si \(\mu_u\) divise \(P\).
Les racines de \(\mu_u\) dans \(\mathbb{K}\) sont exactement les valeurs propres de \(u\). Plus précisément, \(\mu_u\) et le polynôme caractéristique \(\chi_u\) ont les mêmes facteurs irréductibles.
Idée de la preuve : si \(u(x) = \lambda x\) avec \(x \neq 0\), alors \(P(u)(x) = P(\lambda)x\), donc \(P(\lambda) = 0\) pour tout annulateur \(P\). Réciproquement, si \(\lambda\) est racine de \(\mu_u = (X-\lambda)Q\), alors \(Q(u) \neq 0\) par minimalité, et tout vecteur de l’image de \(Q(u)\) est propre pour \(\lambda\).
Soit \(C = \begin{pmatrix}1&-1\\1&3\end{pmatrix}\). On a \(C \neq \lambda I\), donc \(\deg \mu_C \geq 2\). Or \(C - 2I = \begin{pmatrix}-1&-1\\1&1\end{pmatrix}\) vérifie \((C-2I)^2 = 0\). Ainsi \(\mu_C = (X-2)^2\), et \(\chi_C = X^2 - 4X + 4 = (X-2)^2\) : ici \(\mu_C = \chi_C\).
Le polynôme minimal peut être strictement plus petit que le polynôme caractéristique : pour l’identité de \(\mathbb{K}^3\), \(\mu = X - 1\) mais \(\chi = (X-1)^3\).
3. Le théorème de Cayley-Hamilton
Le polynôme caractéristique de \(u\) est annulateur : \(\chi_u(u) = 0\). Par conséquent \(\mu_u\) divise \(\chi_u\) et \(\deg \mu_u \leq n\).
Idée de la preuve : si \(A\) est la matrice de \(u\) et \(B(X)\) la transposée de la comatrice de \(XI - A\), alors \((XI - A)\,B(X) = \chi_u(X)\,I\) dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K}[X])\). En écrivant \(B(X) = \sum B_kX^k\), on compare les coefficients, on multiplie la relation de rang \(k\) par \(A^k\) et on somme : tout se télescope et il reste \(\chi_u(A) = 0\).
Pour \(A = \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\), on a \(\chi_A = X^2 - 5X - 2\) (trace \(5\), déterminant \(-2\)). Donc \(A^2 - 5A - 2I = 0\), soit \(A(A - 5I) = 2I\) et
\[ A^{-1} = \dfrac{1}{2}(A - 5I) = \begin{pmatrix}-2&1\\\dfrac{3}{2}&-\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}. \]
On vérifie \(A A^{-1} = I\) : l’inverse s’obtient sans pivot de Gauss.
4. Le lemme des noyaux
Soient \(P_1, \dots, P_r\) des polynômes deux à deux premiers entre eux et \(P = P_1 \cdots P_r\). Alors
\[ \ker P(u) = \ker P_1(u) \oplus \cdots \oplus \ker P_r(u). \]
De plus, les projecteurs associés sont des polynômes en \(u\).
Preuve pour \(r = 2\) : une relation de Bézout \(UP_1 + VP_2 = 1\) donne \(x = (VP_2)(u)(x) + (UP_1)(u)(x)\) pour tout \(x\). Si \(x \in \ker P(u)\), le premier terme est dans \(\ker P_1(u)\) car \(P_1VP_2 = VP\), et le second dans \(\ker P_2(u)\). La somme est directe car un vecteur de \(\ker P_1(u) \cap \ker P_2(u)\) est annulé par \(UP_1 + VP_2 = 1\), donc nul.
Soit \(A = \begin{pmatrix}3&-2\\1&0\end{pmatrix}\). On a \(A^2 - 3A + 2I = 0\), donc \(P = (X-1)(X-2)\) annule \(A\) et \(\mathbb{K}^2 = \ker(A - I) \oplus \ker(A - 2I)\). Avec \(P_1 = X-1\), \(P_2 = X-2\) et la relation \((X-1) - (X-2) = 1\), le projecteur sur \(\ker(A-I)\) est \(-(A - 2I) = \begin{pmatrix}-1&2\\-1&2\end{pmatrix}\). Appliqué à \((3,2)\), il donne \((1,1)\) ; l’autre composante est \((A - I)(3,2) = (2,1)\), et \((3,2) = (1,1) + (2,1)\).
5. Diagonalisation
Les propriétés suivantes sont équivalentes :
- \(u\) est diagonalisable ;
- \(u\) admet un polynôme annulateur scindé à racines simples dans \(\mathbb{K}\) ;
- \(\mu_u\) est scindé à racines simples ;
- \(\chi_u\) est scindé et, pour chaque valeur propre \(\lambda\), \(\dim E_\lambda = m_\lambda\) (multiplicité de \(\lambda\) dans \(\chi_u\)).
Le lemme des noyaux explique l’équivalence : si \(P = (X-\lambda_1)\cdots(X-\lambda_r)\) annule \(u\) avec des \(\lambda_i\) distincts, alors \(E = \ker P(u) = \bigoplus \ker(u - \lambda_i\mathrm{Id})\) est somme directe d’espaces propres. Une condition suffisante classique : \(\chi_u\) scindé à racines simples (\(n\) valeurs propres distinctes), mais elle n’est pas nécessaire.
- Calculer \(\chi_A\) et le factoriser dans \(\mathbb{K}\) ; s’il n’est pas scindé, arrêter.
- Pour chaque valeur propre multiple, calculer \(\dim\ker(A - \lambda I) = n - \mathrm{rg}(A - \lambda I)\).
- Conclure en comparant avec la multiplicité, ou chercher un annulateur à racines simples.
Soit \(A = \begin{pmatrix}4&1\\2&3\end{pmatrix}\). Trace \(7\) et déterminant \(10\) : \(\chi_A = X^2 - 7X + 10 = (X-2)(X-5)\). Pour \(5\) : \(A - 5I = \begin{pmatrix}-1&1\\2&-2\end{pmatrix}\), vecteur \(a = (1,1)\). Pour \(2\) : \(A - 2I = \begin{pmatrix}2&1\\2&1\end{pmatrix}\), vecteur \(b = (1,-2)\). Avec \(P = \begin{pmatrix}1&1\\1&-2\end{pmatrix}\), on obtient \(P^{-1}AP = \mathrm{diag}(5,2)\).
La figure montre ce que fait \(A\) : le vecteur \(a\) de la droite propre \(y = x\) est dilaté d’un facteur \(5\), le vecteur \(b\) de la droite \(y = -2x\) d’un facteur \(2\). Tout vecteur se décompose sur \(a\) et \(b\), d’où le calcul des puissances \(A^k = P\,\mathrm{diag}(5^k, 2^k)\,P^{-1}\).
Si tu trouves un polynôme annulateur avec une racine double, ne conclus pas trop vite : ce n’est pas un obstacle, il faut juste vérifier que le polynôme minimal, lui, n’a pas de racine double.
6. Trigonalisation
L’endomorphisme \(u\) est trigonalisable (il existe une base où sa matrice est triangulaire supérieure) si et seulement si \(\chi_u\) est scindé dans \(\mathbb{K}\), si et seulement si \(\mu_u\) est scindé. Sur \(\mathbb{C}\), tout endomorphisme est trigonalisable.
Preuve par récurrence sur \(n\) : \(\chi_u\) scindé fournit un vecteur propre \(e_1\) ; l’endomorphisme induit sur \(E/\mathrm{Vect}(e_1)\) a un polynôme caractéristique qui divise celui de \(u\), donc scindé, et l’hypothèse de récurrence donne le reste de la base. Les coefficients diagonaux sont alors les valeurs propres, répétées selon leur multiplicité.
Reprenons \(C = \begin{pmatrix}1&-1\\1&3\end{pmatrix}\), non diagonalisable. Le noyau de \(C - 2I\) est la droite engendrée par \(u_1 = (1,-1)\). On complète par \(u_2 = (1,0)\) : \(C u_2 = (1,1) = -u_1 + 2u_2\). Avec \(P = \begin{pmatrix}1&1\\-1&0\end{pmatrix}\),
\[ P^{-1}CP = \begin{pmatrix}2&-1\\0&2\end{pmatrix}. \]
7. Sous-espaces caractéristiques et décomposition de Dunford
Si \(\chi_u = \prod (X - \lambda_i)^{m_i}\) est scindé, le sous-espace caractéristique associé à \(\lambda_i\) est \(N_i = \ker (u - \lambda_i\mathrm{Id})^{m_i}\). On a \(E = N_1 \oplus \cdots \oplus N_r\), chaque \(N_i\) est stable par \(u\) et \(\dim N_i = m_i\).
La décomposition vient du lemme des noyaux appliqué à \(\chi_u = \prod (X-\lambda_i)^{m_i}\), annulateur d’après Cayley-Hamilton. Sur \(N_i\), l’endomorphisme \(u - \lambda_i\mathrm{Id}\) est nilpotent : c’est le point de départ de la décomposition suivante.
Si \(\chi_u\) est scindé, il existe un unique couple \((d, n)\) d’endomorphismes, avec \(d\) diagonalisable, \(n\) nilpotent, \(dn = nd\) et \(u = d + n\). De plus \(d\) et \(n\) sont des polynômes en \(u\).
Construction : si \(p_i\) est le projecteur sur \(N_i\) parallèlement aux autres, on pose \(d = \sum \lambda_i p_i\) et \(n = u - d\). Unicité : \(d'\) et \(n'\) commutent avec \(u\), donc avec \(d\) et \(n\) qui sont des polynômes en \(u\) ; alors \(d - d' = n' - n\) est à la fois diagonalisable et nilpotent, donc nul.
Soit \(M = \begin{pmatrix}1&1&0\\-1&3&0\\-1&4&-1\end{pmatrix}\). On trouve \(\chi_M = (X-2)^2(X+1)\). Le projecteur sur \(N_{-1} = \ker(M + I)\) est \(\pi = \tfrac{1}{9}(M - 2I)^2 = \begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&-1&1\end{pmatrix}\). Donc
\[ D = 2I - 3\pi = \begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&3&-1\end{pmatrix}, \qquad N = M - D = \begin{pmatrix}-1&1&0\\-1&1&0\\-1&1&0\end{pmatrix}, \]
avec \(N^2 = 0\) et \(DN = ND\).
Application aux puissances : si \(u = d + n\) avec \(n^p = 0\), la formule du binôme (valable car \(d\) et \(n\) commutent) donne \(u^k = \sum_{j=0}^{p-1}\binom{k}{j} d^{k-j}n^j\), somme de \(p\) termes seulement.
8. Réduction de Jordan
Le bloc de Jordan \(J_k(\lambda)\) est la matrice carrée d’ordre \(k\) ayant \(\lambda\) sur la diagonale, des \(1\) juste au-dessus de la diagonale et des \(0\) ailleurs.
Si \(\chi_u\) est scindé, il existe une base de \(E\) dans laquelle la matrice de \(u\) est diagonale par blocs, chaque bloc étant un bloc de Jordan \(J_k(\lambda)\). Cette écriture est unique à l’ordre des blocs près.
Les invariants se lisent sur la matrice de Jordan, par exemple celle de la figure :
- la multiplicité \(m_\lambda\) est la somme des tailles des blocs de valeur \(\lambda\) (ici \(m_2 = 3 + 2 = 5\)) ;
- \(\dim E_\lambda\) est le nombre de blocs de valeur \(\lambda\) (ici \(\dim E_2 = 2\)) ;
- l’exposant de \(X - \lambda\) dans \(\mu_u\) est la taille du plus grand bloc (ici \(\mu_u = (X-2)^3(X-5)\)).
Pour reconstituer les blocs d’un nilpotent \(N\), on utilise la suite des noyaux : le nombre de blocs de taille au moins \(k\) vaut \(\dim\ker N^k - \dim\ker N^{k-1}\).
Soit \(G = \begin{pmatrix}0&1&0\\0&1&1\\1&-1&2\end{pmatrix}\). Alors \(\chi_G = (X-1)^3\) et \(N = G - I\) vérifie \(N^2 = \begin{pmatrix}1&-1&1\\1&-1&1\\0&0&0\end{pmatrix} \neq 0\) et \(N^3 = 0\). Donc \(\mu_G = (X-1)^3\) : un seul bloc de taille \(3\). Avec \(v = e_1\), la chaîne \(N^2v = (1,1,0)\), \(Nv = (-1,0,1)\), \(v = (1,0,0)\) forme une base où la matrice de \(G\) est \(J_3(1) = \begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}\).
Le polynôme caractéristique et le polynôme minimal ne suffisent à déterminer la forme de Jordan qu’en dimension au plus \(3\). En dimension \(4\), les nilpotents \(J_2(0) \oplus J_2(0)\) et \(J_2(0) \oplus J_1(0) \oplus J_1(0)\) ont même \(\chi = X^4\) et même \(\mu = X^2\) sans être semblables ; il faut les dimensions des noyaux.
À retenir
- \(\mu_u\) engendre l’idéal des annulateurs ; ses racines sont les valeurs propres ; \(\mu_u\) divise \(\chi_u\) (Cayley-Hamilton).
- Lemme des noyaux : des facteurs premiers entre eux découpent \(\ker P(u)\) en somme directe, avec des projecteurs polynomiaux.
- \(u\) diagonalisable \(\iff\) \(\mu_u\) scindé à racines simples \(\iff\) annulateur scindé à racines simples.
- \(u\) trigonalisable \(\iff\) \(\chi_u\) scindé ; c’est toujours vrai sur \(\mathbb{C}\).
- \(E = \bigoplus \ker(u - \lambda_i)^{m_i}\) ; Dunford : \(u = d + n\), unique, \(d\) et \(n\) polynômes en \(u\).
- Jordan : nombre de blocs \(= \dim E_\lambda\), plus grand bloc \(=\) exposant dans \(\mu_u\), somme des tailles \(= m_\lambda\).
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