Un capital qui grossit avec les intérêts, une population de bactéries, un café qui refroidit, un médicament qui s’élimine : tous ces phénomènes ont un point commun, leur vitesse de variation est proportionnelle à leur valeur. Une seule fonction, la fonction exponentielle, permet de les décrire. Dans ce chapitre, tu vas la construire, apprendre à la manier et l’étudier comme n’importe quelle fonction de Terminale.
1. Une fonction égale à sa propre dérivée
Il existe une unique fonction \(f\) dérivable sur \(\mathbb{R}\) telle que \[ f' = f \quad \text{et} \quad f(0) = 1. \] Cette fonction s’appelle la fonction exponentielle, notée \(\exp\). L’existence est admise ; l’unicité se démontre à partir de la propriété ci-dessous.
Pour travailler avec elle, on commence par un résultat essentiel : exp ne s’annule jamais.
Démonstration. Posons \(\varphi(x) = \exp(x)\exp(-x)\). Alors \(\varphi\) est dérivable et \(\varphi'(x) = \exp(x)\exp(-x) - \exp(x)\exp(-x) = 0\). La fonction \(\varphi\) est donc constante, égale à \(\varphi(0) = 1\times 1 = 1\). Ainsi \(\exp(x)\exp(-x) = 1\) pour tout réel \(x\) : le produit ne peut pas être nul, donc \(\exp(x) \neq 0\), et \(\exp(-x) = \dfrac{1}{\exp(x)}\).
2. Propriétés algébriques
Pour tous réels \(a\) et \(b\) et tout entier relatif \(n\) :
- \(\exp(a + b) = \exp(a)\times\exp(b)\) ;
- \(\exp(-a) = \dfrac{1}{\exp(a)}\) ;
- \(\exp(a - b) = \dfrac{\exp(a)}{\exp(b)}\) ;
- \(\exp(na) = \left(\exp(a)\right)^{n}\).
Démonstration de la première égalité. Fixons \(a\) et posons \(g(x) = \dfrac{\exp(a + x)}{\exp(a)}\). On a \(g'(x) = \dfrac{\exp(a + x)}{\exp(a)} = g(x)\) et \(g(0) = 1\). Par unicité, \(g = \exp\), c’est-à-dire \(\exp(a + x) = \exp(a)\exp(x)\).
Ces règles ressemblent aux règles des puissances. C’est pourquoi on note \(\mathrm{e} = \exp(1) \approx 2{,}718\) et, pour tout réel \(x\), \(\exp(x) = \mathrm{e}^{x}\). Les propriétés s’écrivent alors : \(\mathrm{e}^{a+b} = \mathrm{e}^{a}\mathrm{e}^{b}\), \(\mathrm{e}^{-a} = \dfrac{1}{\mathrm{e}^{a}}\), \(\mathrm{e}^{a-b} = \dfrac{\mathrm{e}^{a}}{\mathrm{e}^{b}}\), \((\mathrm{e}^{a})^{n} = \mathrm{e}^{na}\).
Simplifier \(A = \dfrac{\mathrm{e}^{5}\,(\mathrm{e}^{-2})^{3}}{\mathrm{e}^{-1}}\).
\((\mathrm{e}^{-2})^{3} = \mathrm{e}^{-6}\), puis \(A = \mathrm{e}^{5}\times \mathrm{e}^{-6}\times \mathrm{e}^{1} = \mathrm{e}^{5 - 6 + 1} = \mathrm{e}^{0} = 1\).
L’exponentielle transforme une somme en produit : \(\mathrm{e}^{a+b} = \mathrm{e}^{a}\mathrm{e}^{b}\), et surtout pas \(\mathrm{e}^{a} + \mathrm{e}^{b}\). De même, \(\mathrm{e}^{2x} = (\mathrm{e}^{x})^{2}\) et non \(2\mathrm{e}^{x}\).
3. Étude de la fonction exponentielle
- Pour tout réel \(x\), \(\mathrm{e}^{x} > 0\).
- La fonction exp est dérivable sur \(\mathbb{R}\), et \((\mathrm{e}^{x})' = \mathrm{e}^{x} > 0\) : elle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
- \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \mathrm{e}^{x} = 0\) et \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \mathrm{e}^{x} = +\infty\).
- \(\mathrm{e}^{a} = \mathrm{e}^{b} \iff a = b\) et \(\mathrm{e}^{a} < \mathrm{e}^{b} \iff a < b\). En particulier \(\mathrm{e}^{x} = 1 \iff x = 0\).
Pourquoi ? On a \(\mathrm{e}^{x} = \left(\mathrm{e}^{x/2}\right)^{2}\), un carré non nul : il est strictement positif. La dérivée étant positive, la fonction est strictement croissante, donc injective, d’où les équivalences. Pour les limites : on verra plus loin que \(\mathrm{e}^{x} \geqslant x + 1\), ce qui donne la limite en \(+\infty\) ; puis \(\mathrm{e}^{-x} = \dfrac{1}{\mathrm{e}^{x}}\) donne la limite en \(-\infty\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(0\) | \(1\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|---|
| signe de \(\exp'(x)\) | + | + | + | |
| variations de \(\exp\) | 0 (non atteint) | 1 | \(\mathrm{e}\) | \(+\infty\) |
La courbe de exp est située au-dessus de l’axe des abscisses, elle passe par \(A(0\,;\,1)\) et par \(B(1\,;\,\mathrm{e})\). L’axe des abscisses est une asymptote horizontale en \(-\infty\). La tangente en \(A\) a pour coefficient directeur \(\exp'(0) = 1\) : son équation est \(y = x + 1\).
Résoudre \(\mathrm{e}^{2x - 3} = \mathrm{e}^{x + 4}\).
La fonction exp est injective, donc l’équation équivaut à \(2x - 3 = x + 4\), soit \(x = 7\). La solution est \(7\).
4. Dérivée de \(\mathrm{e}^{u}\)
Si \(u\) est une fonction dérivable sur un intervalle \(I\), alors la fonction \(\mathrm{e}^{u}\) est dérivable sur \(I\) et \[ \left(\mathrm{e}^{u}\right)' = u'\,\mathrm{e}^{u}. \]
Dériver \(f(x) = \mathrm{e}^{x^{2} - 3x}\) et \(g(x) = (x + 2)\mathrm{e}^{-x}\).
Pour \(f\), \(u(x) = x^{2} - 3x\), \(u'(x) = 2x - 3\) : \(f'(x) = (2x - 3)\mathrm{e}^{x^{2} - 3x}\). Comme l’exponentielle est strictement positive, le signe de \(f'(x)\) est celui de \(2x - 3\).
Pour \(g\), on dérive un produit : \(g'(x) = 1\times \mathrm{e}^{-x} + (x + 2)\times(-\mathrm{e}^{-x}) = (1 - x - 2)\mathrm{e}^{-x} = -(x + 1)\mathrm{e}^{-x}\).
- Dériver la fonction ; factoriser par l’exponentielle.
- Utiliser que \(\mathrm{e}^{u} > 0\) : le signe de la dérivée est celui de l’autre facteur.
- Dresser le tableau de variations et calculer les limites aux bornes.
5. Limites et croissances comparées
Pour tout entier naturel \(n \geqslant 1\) :
- \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x^{n}} = +\infty\), ce qui s’écrit aussi \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^{n}\mathrm{e}^{-x} = 0\) ;
- \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^{n}\mathrm{e}^{x} = 0\) ;
- \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\mathrm{e}^{x} - 1}{x} = 1\) (c’est le nombre dérivé de exp en \(0\)).
L’exponentielle « écrase » toute puissance de \(x\) : en \(+\infty\), elle croît bien plus vite ; en \(-\infty\), elle tend vers \(0\) plus vite que n’importe quelle puissance ne tend vers l’infini.
Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\mathrm{e}^{x} - x^{3}\right)\) et \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (3x + 1)\mathrm{e}^{-x}\).
La première est une forme indéterminée \(+\infty - \infty\). On factorise : \(\mathrm{e}^{x} - x^{3} = \mathrm{e}^{x}\left(1 - x^{3}\mathrm{e}^{-x}\right)\). Comme \(x^{3}\mathrm{e}^{-x} \to 0\), la parenthèse tend vers \(1\), donc la limite vaut \(+\infty\).
Pour la seconde : \((3x + 1)\mathrm{e}^{-x} = 3x\mathrm{e}^{-x} + \mathrm{e}^{-x}\), somme de deux termes qui tendent vers \(0\). La limite est \(0\).
6. Équations et inéquations
Comme exp est strictement croissante, on peut « enlever » les exponentielles de part et d’autre : \(\mathrm{e}^{A} = \mathrm{e}^{B} \iff A = B\) et \(\mathrm{e}^{A} \leqslant \mathrm{e}^{B} \iff A \leqslant B\). Pour comparer à un nombre, on l’écrit sous forme exponentielle : \(1 = \mathrm{e}^{0}\).
Résoudre \(\mathrm{e}^{x^{2}} = \mathrm{e}^{3x + 4}\), puis \(\mathrm{e}^{2x - 1} > 1\).
Première équation : \(x^{2} = 3x + 4 \iff x^{2} - 3x - 4 = 0\). Le discriminant vaut \(9 + 16 = 25\), les solutions sont \(x = \dfrac{3 - 5}{2} = -1\) et \(x = \dfrac{3 + 5}{2} = 4\).
Inéquation : \(\mathrm{e}^{2x - 1} > \mathrm{e}^{0} \iff 2x - 1 > 0 \iff x > \dfrac{1}{2}\).
Quand tu vois \(\mathrm{e}^{2x}\) et \(\mathrm{e}^{x}\) dans la même équation, pose \(X = \mathrm{e}^{x}\) : tu obtiens une équation du second degré en \(X\). N’oublie pas ensuite de rejeter les valeurs de \(X\) négatives ou nulles, car \(\mathrm{e}^{x}\) est toujours strictement positive !
7. Convexité de la fonction exponentielle
La dérivée seconde de exp est \(\exp'' = \exp\), strictement positive. Donc exp est convexe sur \(\mathbb{R}\) et sa courbe n’a aucun point d’inflexion.
La courbe d’une fonction convexe est située au-dessus de chacune de ses tangentes. Pour exp, la tangente en \(0\) donne, pour tout réel \(x\), \[ \mathrm{e}^{x} \geqslant x + 1, \] avec égalité seulement pour \(x = 0\).
La tangente en \(B\) d’abscisse \(1\) a pour équation \(y = \mathrm{e}(x - 1) + \mathrm{e} = \mathrm{e}\,x\) : elle passe par l’origine du repère, et la courbe reste au-dessus d’elle.
8. Fonctions du type \(x \mapsto \mathrm{e}^{kx}\)
Soit \(k\) un réel non nul. La fonction \(f : x \mapsto \mathrm{e}^{kx}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) avec \(f'(x) = k\,\mathrm{e}^{kx}\). Le signe de \(f'\) est celui de \(k\) :
- si \(k > 0\), \(f\) est strictement croissante, de limite \(0\) en \(-\infty\) et \(+\infty\) en \(+\infty\) ;
- si \(k < 0\), \(f\) est strictement décroissante, de limite \(+\infty\) en \(-\infty\) et \(0\) en \(+\infty\).
Toutes ces courbes passent par le point \((0\,;\,1)\). Leur tangente en ce point a pour équation \(y = kx + 1\). Plus \(k\) est grand en valeur absolue, plus la courbe « décolle » ou « s’écrase » vite : c’est le modèle de la croissance ou de la décroissance exponentielle.
Une colonie compte \(N(t) = 200\,\mathrm{e}^{0{,}25t}\) individus après \(t\) heures. Quelle est sa vitesse de croissance à l’instant \(t = 0\) ?
\(N'(t) = 200\times 0{,}25\,\mathrm{e}^{0{,}25t} = 50\,\mathrm{e}^{0{,}25t}\), donc \(N'(0) = 50\) individus par heure. On remarque que \(N'(t) = 0{,}25\,N(t)\) : la vitesse est proportionnelle à l’effectif.
À retenir
- \(\exp\) est l’unique fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\) vérifiant \(f' = f\) et \(f(0) = 1\) ; on note \(\exp(x) = \mathrm{e}^{x}\) avec \(\mathrm{e} \approx 2{,}718\).
- \(\mathrm{e}^{a+b} = \mathrm{e}^{a}\mathrm{e}^{b}\), \(\mathrm{e}^{-a} = \dfrac{1}{\mathrm{e}^{a}}\), \((\mathrm{e}^{a})^{n} = \mathrm{e}^{na}\) ; et \(\mathrm{e}^{x} > 0\) pour tout \(x\).
- exp est strictement croissante, de limites \(0\) en \(-\infty\) et \(+\infty\) en \(+\infty\) ; \(\mathrm{e}^{a} = \mathrm{e}^{b} \iff a = b\).
- \((\mathrm{e}^{u})' = u'\mathrm{e}^{u}\).
- Croissances comparées : \(x^{n}\mathrm{e}^{-x} \to 0\) en \(+\infty\) et \(x^{n}\mathrm{e}^{x} \to 0\) en \(-\infty\).
- exp est convexe ; sa courbe est au-dessus de ses tangentes ; \(\mathrm{e}^{x} \geqslant x + 1\).
- \((\mathrm{e}^{kx})' = k\,\mathrm{e}^{kx}\) : croissante si \(k > 0\), décroissante si \(k < 0\).
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