Un prix qui dépend du nombre de séances, un périmètre qui change avec la taille d’un terrain, un programme de calcul qui marche pour n’importe quel nombre de départ : dans tous ces cas, une lettre remplace un nombre inconnu ou variable. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à écrire, à calculer et à transformer ces expressions pour qu’elles deviennent plus simples, ou plus utiles, sans jamais changer leur valeur.
1. Qu’est-ce qu’une expression littérale ?
Une expression littérale est une expression qui contient une ou plusieurs lettres. Chaque lettre représente un nombre, que l’on peut choisir librement.
Pour écrire plus court, on a des conventions : on n’écrit pas le signe \(\times\) entre un nombre et une lettre, ou devant une parenthèse. Ainsi \(3 \times x\) s’écrit \(3x\), \(2 \times (x + 1)\) s’écrit \(2(x + 1)\), et \(x \times x\) s’écrit \(x^2\).
Un rectangle a pour longueur \(x\) et pour largeur \(3\). Son périmètre est \(x + 3 + x + 3 = 2x + 6\). Si \(x = 5\) cm, alors le périmètre vaut \(2 \times 5 + 6 = 16\) cm.
Un club d’escalade demande \(15\) € d’inscription, puis \(4\) € par séance. Pour \(n\) séances, le prix en euros est \(15 + 4n\). Pour \(n = 8\) séances : \(15 + 4 \times 8 = 15 + 32 = 47\) €.
2. Remplacer une lettre par un nombre
Calculer la valeur d’une expression pour un nombre donné, c’est substituer ce nombre à la lettre, puis effectuer le calcul en respectant les priorités.
- Recopie l’expression en remplaçant la lettre par le nombre, entre parenthèses si le nombre est négatif.
- Écris les signes \(\times\) qui étaient cachés.
- Calcule : puissances d’abord, puis multiplications, puis additions et soustractions.
| \(x\) | \(-2\) | \(0\) | \(1\) | \(4\) |
|---|---|---|---|---|
| \(3x - 5\) | \(-11\) | \(-5\) | \(-2\) | \(7\) |
Calcule \(A = 2x^2 - 3x + 1\) pour \(x = -2\).
\(A = 2 \times (-2)^2 - 3 \times (-2) + 1 = 2 \times 4 + 6 + 1 = 8 + 6 + 1 = 15\).
Quand la valeur est négative, mets-la toujours entre parenthèses : \((-2)^2 = 4\), alors que \(-2^2 = -4\).
3. Réduire une expression
Deux termes sont de même nature s’ils ont la même partie littérale : \(5x\) et \(-2x\) le sont, \(3x^2\) et \(7x^2\) aussi. En revanche \(x\) et \(x^2\) ne le sont pas, et un nombre seul ne l’est avec aucune lettre.
Réduire une expression, c’est regrouper les termes de même nature en additionnant leurs coefficients : \(5x + 3x = (5 + 3)x = 8x\).
\(B = 5x + 3 - 2x + 7 = (5x - 2x) + (3 + 7) = 3x + 10\).
\(C = 4x^2 + 3x - x^2 + 2x - 6 = (4x^2 - x^2) + (3x + 2x) - 6 = 3x^2 + 5x - 6\).
\(3x + 2\) ne se réduit pas : on ne peut pas additionner un terme en \(x\) et un nombre. Et attention, \(x + x = 2x\) mais \(x \times x = x^2\) : les deux ne sont pas du tout la même chose !
4. Développer avec la distributivité simple
Pour tous nombres \(k\), \(a\) et \(b\) :
\[ k(a + b) = ka + kb \qquad\text{et}\qquad k(a - b) = ka - kb \]
La figure le montre avec des aires : un rectangle de hauteur \(3\) et de largeur \(x + 2\) a pour aire \(3(x + 2)\), mais on peut aussi le couper en deux et additionner les aires \(3x\) et \(6\). Développer, c’est passer de la forme « produit » \(3(x + 2)\) à la forme « somme » \(3x + 6\).
\(4(x + 7) = 4x + 28\).
\(-3(2x - 5) = -3 \times 2x - 3 \times (-5) = -6x + 15\).
\(x(x + 6) = x \times x + x \times 6 = x^2 + 6x\).
Le facteur multiplie chaque terme de la parenthèse : \(5(x + 2) = 5x + 10\), et non \(5x + 2\). Un signe moins devant la parenthèse change tous les signes : \(-(x - 4) = -x + 4\).
5. Factoriser avec un facteur commun
Factoriser, c’est faire le chemin inverse : transformer une somme en un produit, en repérant un facteur présent dans tous les termes.
- Cherche le plus grand nombre qui divise tous les coefficients, et la lettre commune éventuelle.
- Écris chaque terme comme un produit qui contient ce facteur.
- Mets le facteur commun devant une parenthèse qui contient ce qui reste.
- Vérifie en redéveloppant.
\(6x + 15 = 3 \times 2x + 3 \times 5 = 3(2x + 5)\).
\(8x^2 - 12x = 4x \times 2x - 4x \times 3 = 4x(2x - 3)\).
Vérification : \(3(2x + 5) = 6x + 15\).
Quand un terme est égal au facteur commun, il reste un \(1\) dans la parenthèse : \(4x + 4 = 4(x + 1)\), et non \(4x\).
6. La double distributivité
Pour tous nombres \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) :
\[ (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd \]
Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde.
Ici, l’aire du grand rectangle est \((x + 3)(x + 2)\). Les quatre morceaux ont pour aires \(x^2\), \(3x\), \(2x\) et \(6\), donc \((x + 3)(x + 2) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6\).
\((2x - 1)(x + 4) = 2x \times x + 2x \times 4 + (-1) \times x + (-1) \times 4 = 2x^2 + 8x - x - 4 = 2x^2 + 7x - 4\).
\((x - 3)(x - 2) = x^2 - 2x - 3x + 6 = x^2 - 5x + 6\).
N’oublie aucun des quatre produits, et fais attention aux signes : \((-3) \times (-2) = +6\). Après avoir développé, réduis les termes de même nature.
7. Tester une égalité
Une égalité entre deux expressions littérales est vraie pour toutes les valeurs de la lettre seulement si les deux membres ont toujours le même résultat.
- Pour montrer qu’une égalité est fausse, il suffit d’un seul nombre pour lequel elle ne marche pas (un contre-exemple).
- Pour montrer qu’elle est vraie, tester quelques nombres ne suffit pas : il faut développer et réduire pour obtenir deux écritures identiques.
L’égalité \((x + 1)^2 = x^2 + 1\) est-elle vraie ? Pour \(x = 0\), on trouve \(1\) des deux côtés. Mais pour \(x = 2\) : \((2 + 1)^2 = 9\) et \(2^2 + 1 = 5\). Comme \(9 \neq 5\), l’égalité est fausse.
Sur le graphique, la courbe bleue (\((x + 1)^2\)) et la courbe orange (\(x^2 + 1\)) ne se rejoignent qu’en un seul point, pour \(x = 0\) : être d’accord pour une valeur ne prouve rien.
L’égalité \(3(x + 2) - x = 2x + 6\) est-elle vraie ? On développe le membre de gauche : \(3x + 6 - x = 2x + 6\). On retrouve le membre de droite : l’égalité est vraie pour tout nombre \(x\).
8. Le calcul littéral en action
Développer et factoriser permettent de calculer astucieusement, et de comprendre pourquoi un programme de calcul donne toujours le même type de résultat.
\(97 \times 6 = (100 - 3) \times 6 = 600 - 18 = 582\).
\(45 \times 13 + 45 \times 7 = 45 \times (13 + 7) = 45 \times 20 = 900\).
Choisis un nombre \(x\), ajoute \(3\), multiplie par \(2\), puis soustrais \(6\). On obtient \(2(x + 3) - 6 = 2x + 6 - 6 = 2x\). Quel que soit le nombre choisi, le programme double ce nombre.
Sur ma planète, on dit qu’une lettre est une boîte à nombres : tant que tu n’ouvres pas la boîte, tu peux réorganiser son contenu avec les mêmes règles que pour les nombres.
À retenir
- Une expression littérale contient des lettres ; on n’écrit pas le signe \(\times\) devant une lettre ou une parenthèse.
- Pour substituer, remplace la lettre par le nombre (entre parenthèses s’il est négatif) puis calcule en respectant les priorités.
- On réduit en regroupant les termes de même nature : \(5x + 3x = 8x\), mais \(x + x^2\) ne se réduit pas.
- Distributivité : \(k(a + b) = ka + kb\) ; on développe en multipliant chaque terme de la parenthèse.
- Factoriser, c’est écrire une somme sous forme de produit avec un facteur commun : \(ka + kb = k(a + b)\).
- Double distributivité : \((a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd\).
- Un seul contre-exemple suffit pour réfuter une égalité ; pour la prouver, il faut développer et réduire.
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