Partager des cartes entre amis, remplir des boîtes d’œufs, ranger des élèves dans des bus : chaque jour, tu fais des divisions sans le savoir ! Dans ce chapitre, tu vas apprendre à partager équitablement, à faire des paquets, à t’aider des tables de multiplication et à gérer ce qui reste quand le compte n’est pas rond.
1. Partager équitablement
Partager équitablement, c’est distribuer des objets pour que chaque part contienne exactement la même quantité. On utilise une division et on écrit par exemple \(12 \div 3 = 4\).
Dans l’égalité \(12 \div 3 = 4\), on dit que :
- \(12\) est le nombre à partager (le dividende) ;
- \(3\) est le nombre de parts (le diviseur) ;
- \(4\) est la valeur d’une part (le quotient).
Maëlys a 15 cerises et les partage entre 5 assiettes, toujours avec le même nombre. Combien met-elle de cerises par assiette ?
On calcule \(15 \div 5 = 3\). Elle met 3 cerises dans chaque assiette.
2. Regrouper et grouper
Parfois, on ne connaît pas le nombre de parts, mais la taille d’un paquet. On cherche alors combien de paquets on peut former : c’est le groupement.
Un boulanger range 20 croissants dans des sachets de 4. Combien de sachets remplit-il ?
On cherche combien de fois 4 « rentre » dans 20 : \(20 \div 4 = 5\). Il remplit 5 sachets.
- Si on cherche la valeur d’une part, c’est un partage.
- Si on cherche le nombre de paquets, c’est un groupement.
- Dans les deux cas, on écrit la même division.
3. Division et tables de multiplication
La division est l’opération inverse de la multiplication. Pour calculer \(42 \div 6\), tu cherches le nombre qui, multiplié par \(6\), donne \(42\). Comme \(6 \times 7 = 42\), on a \(42 \div 6 = 7\).
Une seule multiplication donne donc deux divisions :
| Multiplication | Division 1 | Division 2 |
|---|---|---|
| \(3 \times 7 = 21\) | \(21 \div 3 = 7\) | \(21 \div 7 = 3\) |
| \(5 \times 8 = 40\) | \(40 \div 5 = 8\) | \(40 \div 8 = 5\) |
Calcule \(56 \div 8\).
Je pense à la table de 8 : \(8 \times 7 = 56\). Donc \(56 \div 8 = 7\).
On ne peut pas échanger les deux nombres : \(12 \div 3 = 4\) mais \(3 \div 12\) n’est pas \(4\). Le plus grand nombre se place toujours en premier.
4. Le reste d’une division
Quand on ne peut pas tout distribuer, il reste des objets. Pour \(17 \div 5\), on cherche la plus grande table de 5 qui ne dépasse pas 17 : \(5 \times 3 = 15\). Il reste \(17 - 15 = 2\).
Le reste est ce qu’on ne peut pas partager. Il est toujours plus petit que le diviseur. On écrit : \(17 = 5 \times 3 + 2\). Le quotient est \(3\) et le reste est \(2\).
- Cherche dans la table du diviseur le plus grand multiple qui ne dépasse pas le dividende.
- Le quotient est le nombre par lequel tu as multiplié.
- Le reste est la différence entre le dividende et ce multiple.
- Vérifie que le reste est plus petit que le diviseur.
Calcule \(38 \div 6\).
\(6 \times 6 = 36\) et \(6 \times 7 = 42\) dépasse 38. Le quotient est \(6\) et le reste est \(38 - 36 = 2\). On écrit \(38 = 6 \times 6 + 2\).
Écrire \(17 = 5 \times 2 + 7\) est faux pour une division : le reste \(7\) est plus grand que \(5\), on pouvait encore faire un paquet !
5. Multiples de 2, 5 et 10
Un multiple d’un nombre est un nombre qui se trouve dans sa table de multiplication. Par exemple, \(35\) est un multiple de \(5\) car \(5 \times 7 = 35\).
On reconnaît les multiples de 2, de 5 et de 10 grâce au chiffre des unités.
| Nombre | Se termine par | Exemples |
|---|---|---|
| multiple de 2 (nombre pair) | 0, 2, 4, 6 ou 8 | 14 ; 30 ; 58 |
| multiple de 5 | 0 ou 5 | 25 ; 40 ; 65 |
| multiple de 10 | 0 | 30 ; 90 ; 120 |
Le nombre \(70\) est-il multiple de \(2\), de \(5\), de \(10\) ?
Il se termine par \(0\) : c’est un multiple de \(2\), de \(5\) et de \(10\). Le nombre \(65\) se termine par \(5\) : multiple de \(5\) seulement.
6. Calcul mental de quotients simples
Quelques astuces pour aller vite :
- Diviser par 2 : on cherche la moitié. \(18 \div 2 = 9\).
- Diviser par 10 : on compte les dizaines. \(80 \div 10 = 8\) et \(120 \div 10 = 12\).
- Diviser par 5 : on utilise la table de 5. \(45 \div 5 = 9\) car \(5 \times 9 = 45\).
Sur ma planète, on dit : « diviser par 10, c’est compter les paquets de 10 ». Dans 90, il y a 9 paquets de 10 !
Calcule de tête \(60 \div 10\), \(14 \div 2\) et \(35 \div 5\).
\(60 \div 10 = 6\) (6 dizaines) ; \(14 \div 2 = 7\) car \(2 \times 7 = 14\) ; \(35 \div 5 = 7\) car \(5 \times 7 = 35\).
7. Problèmes de partage et de groupement
- Lis l’énoncé et dis si tu cherches la valeur d’une part ou le nombre de paquets.
- Écris la division et calcule avec les tables.
- Regarde le reste : est-ce qu’il faut un paquet de plus, ou peut-on le laisser de côté ?
- Rédige une phrase-réponse.
On doit transporter 30 élèves dans des minibus de 8 places. Combien faut-il de minibus ?
\(30 = 8 \times 3 + 6\) : 3 minibus pleins, et il reste 6 élèves. Ces 6 élèves ont aussi besoin d’un minibus : il en faut 4.
Quatre amis se partagent 30 billes en parts égales. Combien chacun en reçoit-il ?
\(30 = 4 \times 7 + 2\) : chacun reçoit 7 billes et il en reste 2 qu’on ne peut pas partager équitablement.
À retenir
- Partager équitablement ou faire des paquets : on utilise la division.
- Une multiplication donne deux divisions : \(3 \times 7 = 21\), donc \(21 \div 3 = 7\) et \(21 \div 7 = 3\).
- Si le compte n’est pas rond, il y a un reste, toujours plus petit que le diviseur : \(17 = 5 \times 3 + 2\).
- Un multiple de 2 est pair, un multiple de 5 finit par 0 ou 5, un multiple de 10 finit par 0.
- Pour diviser par 10, on compte les dizaines.
- Dans un problème, regarde si le reste oblige à prendre un paquet de plus.
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