Prix d’un abonnement qui dépend du nombre de séances, aire d’un terrain dont on ne connaît pas encore les dimensions : dès qu’une quantité varie, on la remplace par une lettre. Le calcul littéral est l’art de manipuler ces lettres sans se tromper. En 2de, tu vas passer d’une écriture à une autre — développer, factoriser, réduire au même dénominateur — et surtout apprendre à choisir la forme qui t’aide à résoudre le problème posé.
1. Vocabulaire et réduction
Une expression littérale est un calcul dans lequel une ou plusieurs lettres représentent des nombres. Dans \(5x^2 - 3x + 7\), les termes sont \(5x^2\), \(-3x\) et \(7\) ; chacun est séparé des autres par un \(+\) ou un \(-\).
Trois verbes reviennent sans cesse : développer (transformer un produit en somme), factoriser (transformer une somme en produit) et réduire (regrouper les termes de même nature). On ne peut regrouper que des termes semblables : \(3x^2\) et \(5x^2\) s’additionnent, mais pas \(3x^2\) et \(5x\).
\(E = 5x^2 - 3x + 2x^2 + 7x - 4\).
On regroupe : \(E = (5x^2 + 2x^2) + (-3x + 7x) - 4 = 7x^2 + 4x - 4\).
2. Développer avec la distributivité
Pour tous réels \(k\), \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) :
\[ k(a + b) = ka + kb \qquad (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd \]
Pour la double distributivité, on multiplie chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde : avec deux termes de chaque côté, cela fait quatre produits.
\((2x - 3)(x + 5) = 2x \times x + 2x \times 5 - 3 \times x - 3 \times 5 = 2x^2 + 10x - 3x - 15 = 2x^2 + 7x - 15\).
Un signe \(-\) devant une parenthèse change tous les signes à l’intérieur : \(-(x - 4) = -x + 4\), et non \(-x - 4\). Mets des parenthèses autour de chaque produit quand tu soustrais.
3. Les trois identités remarquables
Pour tous réels \(a\) et \(b\) :
\[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]
\[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \]
\[ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \]
Démonstration de la première. \((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2\). La seconde s’obtient en remplaçant \(b\) par \(-b\). Pour la troisième : \((a + b)(a - b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2\), car \(-ab + ba = 0\).
La figure donne une preuve visuelle : le grand carré de côté \(a + b\) se découpe en un carré d’aire \(a^2\), un carré d’aire \(b^2\) et deux rectangles d’aire \(ab\). Le « double produit » \(2ab\) est donc bien là.
\((3x + 2)^2 = (3x)^2 + 2 \times 3x \times 2 + 2^2 = 9x^2 + 12x + 4\).
\((5 - 2x)^2 = 25 - 2 \times 5 \times 2x + (2x)^2 = 25 - 20x + 4x^2\).
\((4x - 7)(4x + 7) = (4x)^2 - 7^2 = 16x^2 - 49\).
\((a + b)^2\) n’est pas égal à \(a^2 + b^2\) : il manque le double produit \(2ab\). Test : pour \(a = 1\) et \(b = 2\), \((1 + 2)^2 = 9\) alors que \(1^2 + 2^2 = 5\).
4. Factoriser
Factoriser, c’est le chemin inverse : on repère un facteur commun ou une identité remarquable lue à l’envers.
- Cherche d’abord un facteur commun (un nombre, une lettre, une parenthèse entière).
- Sinon, regarde si l’expression a trois termes dont deux sont des carrés (\(a^2 + 2ab + b^2\) ou \(a^2 - 2ab + b^2\)).
- Ou si c’est une différence de deux carrés (\(a^2 - b^2\)).
- Vérifie en redéveloppant mentalement.
\(12x^2 + 8x = 4x(3x + 2)\) : le facteur commun est \(4x\).
\(9x^2 - 30x + 25 = (3x)^2 - 2 \times 3x \times 5 + 5^2 = (3x - 5)^2\).
\((x + 2)(3x - 1) - (x + 2)(x - 4) = (x + 2)\big[(3x - 1) - (x - 4)\big] = (x + 2)(2x + 3)\).
Quand le facteur commun est une parenthèse, la deuxième parenthèse est soustraite en entier : \((3x - 1) - (x - 4) = 3x - 1 - x + 4\). Ne perds pas le signe du \(+4\).
5. Mise au même dénominateur
Additionner deux fractions algébriques demande, comme avec des nombres, un dénominateur commun. Il faut aussi préciser les valeurs interdites : un dénominateur ne doit jamais être nul.
Pour \(x \neq 1\) et \(x \neq -3\) :
\[ \dfrac{1}{x - 1} + \dfrac{2}{x + 3} = \dfrac{x + 3}{(x - 1)(x + 3)} + \dfrac{2(x - 1)}{(x - 1)(x + 3)} = \dfrac{3x + 1}{(x - 1)(x + 3)} \]
Pour simplifier une fraction, on factorise d’abord le numérateur et le dénominateur, puis on supprime un facteur commun non nul : \(\dfrac{x^2 - 9}{x + 3} = \dfrac{(x - 3)(x + 3)}{x + 3} = x - 3\) pour \(x \neq -3\).
6. Transformer et vérifier
Après un développement ou une factorisation, une vérification rapide évite bien des erreurs : remplace la lettre par une petite valeur dans l’expression de départ et dans le résultat, et compare.
Sur ma planète, on teste toujours avec \(x = 0\) puis \(x = 1\), parfois \(x = -1\). Si les deux écritures ne donnent pas le même nombre, une erreur s’est glissée quelque part !
Attention : un test réussi ne prouve pas une égalité (elle peut être vraie pour une valeur et fausse pour les autres), mais un test raté prouve qu’elle est fausse. Une preuve exige de transformer l’expression par des règles de calcul valables pour tout \(x\).
7. Choisir la forme adaptée
Une même expression s’écrit de plusieurs façons, et chaque écriture répond à une question différente.
| Forme | Exemple pour \(f(x)\) | Elle permet de… |
|---|---|---|
| Développée | \(x^2 + 6x + 5\) | calculer \(f(0)\), lire l’ordonnée à l’origine |
| Factorisée | \((x + 1)(x + 5)\) | résoudre \(f(x) = 0\), étudier le signe |
| Carré + constante | \((x + 3)^2 - 4\) | trouver le minimum et l’endroit où il est atteint |
\(f(x) = x^2 + 6x + 5\). On a \((x + 3)^2 - 4 = x^2 + 6x + 9 - 4 = x^2 + 6x + 5\), puis, avec \(a^2 - b^2\) où \(a = x + 3\) et \(b = 2\) : \((x + 3)^2 - 4 = (x + 3 - 2)(x + 3 + 2) = (x + 1)(x + 5)\).
La forme factorisée donne les solutions de \(f(x) = 0\) : \(x = -1\) ou \(x = -5\). L’écriture « carré + constante » montre que \(f(x) \geq -4\), avec égalité pour \(x = -3\). La forme développée donne \(f(0) = 5\).
À retenir
- Développer : \((a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd\), sans oublier les signes.
- \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) ; \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) ; \((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\).
- Factoriser : facteur commun d’abord, puis identité remarquable lue à l’envers.
- Pour additionner des fractions, mets-les au même dénominateur et note les valeurs interdites.
- Vérifie un résultat en testant une valeur ; un test raté prouve l’erreur, un test réussi ne prouve rien.
- Choisis la forme : développée pour \(f(0)\), factorisée pour \(f(x) = 0\), carré plus constante pour un extremum.
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