Quand tu plies une feuille en deux pour y découper un cœur ou une guirlande de petits bonshommes, tu fabriques sans le savoir une symétrie axiale. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à reconnaître deux figures symétriques, à construire à la règle et à l’équerre le symétrique d’un point, d’un segment ou d’une figure, à trouver les axes de symétrie d’une figure, et à relier tout cela à la médiatrice.
1. Figures symétriques
Deux figures sont symétriques par rapport à une droite \((d)\) quand elles se superposent exactement si l’on plie la feuille le long de \((d)\). La droite \((d)\) s’appelle l’axe de symétrie.
Sur la figure, le pentagone \(ABCDE\) et le pentagone \(A'B'C'D'E'\) sont symétriques par rapport à \((d)\). Le point \(A'\) est le symétrique du point \(A\), le point \(B'\) celui de \(B\), et ainsi de suite. Une figure et sa symétrique ont la même forme, la même taille, mais elles sont « retournées » comme dans un miroir.
2. Le symétrique d’un point
Le symétrique du point \(A\) par rapport à la droite \((d)\) est le point \(A'\) tel que \((d)\) coupe le segment \([AA']\) perpendiculairement et en son milieu. On dit que \((d)\) est la médiatrice du segment \([AA']\).
Sur la figure, \(H\) est le milieu de \([AA']\) et la droite \((AA')\) est perpendiculaire à \((d)\). Les petits traits identiques sur \([AH]\) et \([HA']\) codent l’égalité \(AH = HA'\).
Si un point \(M\) est sur l’axe \((d)\), il est son propre symétrique : \(M' = M\). Quand on plie la feuille, ce point ne bouge pas.
Le point \(A\) est situé à \(3{,}5\) cm de la droite \((d)\). Son symétrique \(A'\) est de l’autre côté de \((d)\), lui aussi à \(3{,}5\) cm de l’axe. Donc \(AA' = 2 \times 3{,}5 = 7\) cm.
3. Le symétrique d’un segment, d’une droite, d’une figure
Pour construire le symétrique d’une figure faite de points reliés, on construit le symétrique de chaque point important, puis on relie les points symétriques dans le même ordre.
- Le symétrique d’un segment \([AB]\) est le segment \([A'B']\).
- Le symétrique d’une droite est une droite ; celui d’un cercle est un cercle de même rayon.
- Une droite perpendiculaire à l’axe a pour symétrique elle-même ; une droite parallèle à l’axe a pour symétrique une droite parallèle à l’axe, de l’autre côté.
La droite \((AB)\) est parallèle à l’axe \((d)\) et se trouve à \(2\) cm de lui. Son symétrique est la droite \((A'B')\), parallèle à \((d)\), à \(2\) cm de l’autre côté. Les deux droites sont donc distantes de \(2 + 2 = 4\) cm.
4. Axe de symétrie d’une figure
Une droite est un axe de symétrie d’une figure quand le symétrique de la figure par rapport à cette droite est la figure elle-même : en pliant le long de l’axe, les deux moitiés se superposent.
| Figure | Nombre d’axes de symétrie |
|---|---|
| Carré | 4 |
| Rectangle (non carré) | 2 |
| Losange (non carré) | 2 |
| Triangle équilatéral | 3 |
| Parallélogramme quelconque | 0 |
| Cercle | une infinité (tous les diamètres) |
Un rectangle de \(8\) cm sur \(5\) cm a exactement deux axes de symétrie : la droite qui passe par les milieux des deux grands côtés et celle qui passe par les milieux des deux petits côtés. Ses diagonales ne sont pas des axes de symétrie : si on plie le long d’une diagonale, les coins ne se superposent pas.
5. Construire un symétrique à la règle et à l’équerre
- Place l’équerre contre la droite \((d)\) et fais-la glisser jusqu’à ce que son autre côté de l’angle droit passe par \(A\).
- Trace la perpendiculaire à \((d)\) passant par \(A\) ; elle coupe \((d)\) en \(H\).
- Reporte la longueur \(AH\) de l’autre côté de \((d)\), sur la même perpendiculaire (règle graduée ou compas) : tu obtiens \(A'\) avec \(HA' = AH\).
Pour un triangle, on répète cette construction pour les trois sommets, puis on relie \(A'\), \(B'\) et \(C'\). Sur un quadrillage, on peut aussi compter les carreaux : un point à \(4\) carreaux de l’axe a son symétrique à \(4\) carreaux de l’autre côté.
Sur ma planète, on contrôle toujours un tracé en pliant : si l’on replie la feuille le long de l’axe et qu’un point et son symétrique ne tombent pas l’un sur l’autre, c’est qu’il y a une erreur de perpendiculaire !
6. Ce que la symétrie conserve
La symétrie axiale conserve les longueurs, les mesures des angles, les aires, les périmètres, l’alignement des points et le parallélisme.
Le triangle \(RST\) a pour côtés \(RS = 5\) cm, \(ST = 7\) cm et \(RT = 4\) cm, et son angle \(\widehat{RST}\) mesure \(35^\circ\). Son symétrique \(R'S'T'\) a donc \(R'S' = 5\) cm, \(S'T' = 7\) cm, \(R'T' = 4\) cm et \(\widehat{R'S'T'} = 35^\circ\). Les deux triangles ont le même périmètre : \(5 + 7 + 4 = 16\) cm.
La symétrie conserve les longueurs, mais elle retourne la figure : si tu lis les sommets \(A\), \(B\), \(C\) dans le sens des aiguilles d’une montre, tu liras \(A'\), \(B'\), \(C'\) dans le sens inverse.
7. Médiatrice et symétrie
La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment qui passe par son milieu. C’est aussi l’axe de symétrie du segment : les extrémités \(A\) et \(B\) sont symétriques l’une de l’autre.
Si un point \(M\) est sur la médiatrice du segment \([AB]\), alors il est à égale distance de \(A\) et de \(B\) : \(MA = MB\). Réciproquement, un point équidistant de \(A\) et de \(B\) est sur la médiatrice de \([AB]\).
- Ouvre ton compas d’un écartement un peu plus grand que la moitié de \(AB\).
- Pointe en \(A\), trace un arc de part et d’autre du segment ; garde le même écartement et recommence en pointant en \(B\).
- Les arcs se coupent en deux points \(P\) et \(Q\), tous deux à égale distance de \(A\) et \(B\) : la droite \((PQ)\) est la médiatrice de \([AB]\).
Le segment \([AB]\) mesure \(7\) cm et \(I\) est son milieu, donc \(AI = 3{,}5\) cm. Un point \(M\) de la médiatrice est tel que \(MA = 4{,}8\) cm : comme \(M\) est à égale distance de \(A\) et de \(B\), on a aussi \(MB = 4{,}8\) cm. Le périmètre du triangle \(MAB\) vaut \(4{,}8 + 4{,}8 + 7 = 16{,}6\) cm.
À retenir
- Deux figures sont symétriques par rapport à \((d)\) si elles se superposent en pliant le long de \((d)\).
- Le symétrique de \(A\) est \(A'\) tel que \((d)\) est la médiatrice de \([AA']\) ; un point de l’axe est son propre symétrique.
- La symétrie conserve longueurs, angles, aires et périmètres.
- Un carré a 4 axes, un rectangle 2, un triangle équilatéral 3, un cercle une infinité.
- La médiatrice d’un segment est son axe de symétrie : tout point de la médiatrice vérifie \(MA = MB\).
