Combien de points a ton équipe après deux manches ? Combien de pages te reste-t-il à lire ? Pour répondre, tu ajoutes, tu enlèves, parfois dans ta tête, parfois sur ta feuille. Dans ce chapitre, tu apprends à poser une addition et une soustraction avec des retenues, à calculer de tête malin, à estimer un résultat avant de calculer, à le vérifier, et à résoudre des problèmes avec un schéma.
1. L’addition posée avec retenues
Additionner, c’est réunir ou ajouter des quantités. Le résultat s’appelle la somme. Les nombres que l’on ajoute sont les termes de la somme.
Pour additionner de grands nombres, on les pose en colonnes : les unités sous les unités, les dizaines sous les dizaines, les centaines sous les centaines, les milliers sous les milliers. On calcule de droite à gauche.
- Écris les nombres l’un sous l’autre, chiffres bien alignés, et trace un trait.
- Additionne la colonne des unités. Si le total atteint 10 ou plus, écris le chiffre des unités sous le trait et retiens les dizaines (petit chiffre au-dessus de la colonne suivante).
- Passe à la colonne suivante : additionne les deux chiffres et la retenue.
- Continue jusqu’à la dernière colonne à gauche.
Unités : \(8 + 4 = 12\), j’écris 2 et je retiens 1. Dizaines : \(3 + 9 + 1 = 13\), j’écris 3 et je retiens 1. Centaines : \(5 + 7 + 1 = 13\), j’écris 3 et je retiens 1. Milliers : \(2 + 1 + 1 = 4\). Donc \(2\,538 + 1\,794 = 4\,332\).
N’oublie jamais d’ajouter la retenue dans la colonne suivante, et ne la compte qu’une seule fois. Une retenue oubliée donne un résultat trop petit de 10, de 100 ou de 1 000.
2. La soustraction posée
Soustraire, c’est enlever une quantité ou chercher un écart. Le résultat s’appelle la différence. On écrit toujours le plus grand nombre en haut.
On pose les nombres en colonnes et on calcule de droite à gauche. Quand le chiffre du haut est plus petit que celui du bas, on ne peut pas soustraire : on utilise une retenue.
- Dans une colonne où le chiffre du haut est trop petit, ajoute 10 au chiffre du haut (on écrit un petit 1 devant).
- Fais la soustraction, puis ajoute 1 au chiffre du bas de la colonne suivante (à gauche).
- Continue de colonne en colonne jusqu’au bout.
Unités : \(3 - 8\) impossible, je calcule \(13 - 8 = 5\) et je retiens 1. Dizaines : \(0 - (6 + 1)\) impossible, je calcule \(10 - 7 = 3\) et je retiens 1. Centaines : \(2 - (4 + 1)\) impossible, je calcule \(12 - 5 = 7\) et je retiens 1. Milliers : \(5 - (2 + 1) = 2\). Donc \(5\,203 - 2\,468 = 2\,735\).
Dans une soustraction, on ne peut pas « renverser » : \(3 - 8\) ne se calcule pas comme \(8 - 3\). Si le chiffre du haut est trop petit, il faut toujours passer par la retenue.
3. Calculer de tête
Sans papier, on peut aller très vite avec trois stratégies.
- Décomposer le deuxième nombre : \(47 + 38 = 47 + 30 + 8\).
- Passer par la dizaine ronde : \(47 + 3 = 50\), puis on ajoute le reste.
- Compenser : ajouter 9, 99 ou 98, c’est ajouter 10, 100 ou 100 puis retirer ce qui est en trop.
\(47 + 38\) : \(47 + 30 = 77\), puis \(77 + 8 = 85\).
\(156 + 99\) : \(156 + 100 = 256\), puis \(256 - 1 = 255\).
\(82 - 37\) : \(82 - 30 = 52\), puis \(52 - 7 = 45\).
Sur ma planète, on dit qu’un bon calculateur cherche d’abord le chemin le plus court : si un nombre est tout proche d’une dizaine ou d’une centaine ronde, je pars de là et je corrige après !
4. Les compléments à 100
Le complément à 100 d’un nombre est le nombre qu’il faut lui ajouter pour arriver à 100. Par exemple, le complément à 100 de 64 est 36, car \(64 + 36 = 100\).
Sur la droite graduée, on avance de 64 à 70 (il faut 6), puis de 70 à 100 (il faut 30). Au total, \(6 + 30 = 36\). On peut aussi chercher le complément à 1 000 : celui de 720 est 280, car \(720 + 280 = 1\,000\).
Si \(a + b = 100\), alors \(100 - a = b\) et \(100 - b = a\). Retenir les compléments à 100 (10 et 90, 25 et 75, 40 et 60…) accélère beaucoup les calculs.
De 37 à 40, il y a 3 ; de 40 à 100, il y a 60 ; donc \(3 + 60 = 63\). Ainsi \(100 - 37 = 63\).
5. L’ordre de grandeur
Avant de poser une opération, on peut estimer le résultat en remplaçant les nombres par des valeurs proches et faciles : on arrondit. On arrondit à la dizaine ou à la centaine la plus proche : si le chiffre suivant est 5 ou plus, on monte ; sinon, on reste.
À la centaine près, \(3\,897\) devient \(3\,900\) et \(2\,114\) devient \(2\,100\). Alors \(3\,900 + 2\,100 = 6\,000\). Le résultat exact doit être proche de 6 000 : on trouve \(6\,011\).
L’ordre de grandeur ne donne pas le résultat exact, mais il montre si ton calcul est plausible.
6. Vérifier un résultat
Un bon mathématicien contrôle toujours son travail. Tu disposes de trois moyens.
- L’ordre de grandeur : le résultat est-il proche de l’estimation ?
- L’opération inverse : on vérifie une soustraction par une addition, et une addition par une soustraction.
- Le chiffre des unités : il doit être cohérent avec les unités des deux nombres.
Si \(a - b = c\), alors \(c + b = a\). Si \(a + b = c\), alors \(c - b = a\).
Je calcule \(2\,735 + 2\,468\) : unités \(5 + 8 = 13\), dizaines \(3 + 6 + 1 = 10\), centaines \(7 + 4 + 1 = 12\), milliers \(2 + 2 + 1 = 5\). On retrouve \(5\,203\) : le résultat est juste.
7. Résoudre un problème additif ou soustractif
- Lis l’énoncé en entier et repère ce qu’on cherche.
- Fais un schéma en barres avec les données.
- Choisis l’opération : on additionne pour réunir ou ajouter, on soustrait pour enlever ou chercher un écart.
- Calcule, puis vérifie avec l’ordre de grandeur.
- Écris une phrase-réponse avec l’unité.
Un camion transporte 2 450 kg de pommes et 1 380 kg de poires. On réunit les deux : on additionne. \(2\,450 + 1\,380 = 3\,830\). Le camion transporte \(3\,830\) kg de fruits.
Un cinéma de plein air a 1 200 places et 745 sont occupées. On cherche la partie qui manque : on soustrait. \(1\,200 - 745 = 455\). Il reste 455 places libres.
À retenir
- On pose les nombres en colonnes et on calcule de droite à gauche, en n’oubliant aucune retenue.
- Dans une soustraction, le plus grand nombre est en haut ; si le chiffre du haut est trop petit, on ajoute 10 en haut et 1 en bas à gauche.
- Pour calculer de tête : décomposer, passer par la dizaine, compenser.
- Le complément à 100 de 64 est 36, car \(64 + 36 = 100\).
- On estime avant de calculer, puis on vérifie avec l’opération inverse.
- Un problème se résout avec un schéma, une opération et une phrase-réponse.
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