Quel est le côté d’un carré dont l’aire vaut 49 cm² ? Et celui d’un carré d’aire 10 cm² ? Pour répondre, il faut « défaire » un carré : c’est le rôle de la racine carrée. Dans ce chapitre, tu apprends à la calculer, à la simplifier, à calculer avec elle et à résoudre les équations du type \(x^2 = a\), des savoir-faire très présents au brevet.
1. Définition de la racine carrée
Soit \(a\) un nombre positif ou nul. La racine carrée de \(a\), notée \(\sqrt{a}\), est le nombre positif dont le carré est \(a\).
Par exemple \(\sqrt{49} = 7\) car \(7^2 = 49\) et \(7\) est positif. Le côté d’un carré d’aire \(a\) est donc \(\sqrt{a}\).
Pour tout nombre \(a \geqslant 0\) : \[ \left(\sqrt{a}\right)^2 = a \qquad \text{et} \qquad \sqrt{a^2} = a. \]
\(\left(\sqrt{13}\right)^2 = 13\) ; \(\sqrt{9^2} = 9\) ; \(\sqrt{0{,}04} = 0{,}2\) car \(0{,}2^2 = 0{,}04\).
Un carré n’est jamais négatif : \(\sqrt{-9}\) n’existe pas. Et \(\sqrt{49} = 7\), pas \(\pm 7\) : une racine carrée est toujours positive.
2. Carrés parfaits
Un carré parfait est le carré d’un nombre entier. Pour ceux-là, la racine carrée est un entier. Apprends ce tableau par cœur.
| \(n\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(n^2\) | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 | 144 | 169 | 196 | 225 |
Pour un nombre qui n’est pas un carré parfait, par exemple \(10\), on encadre : comme \(9 < 10 < 16\), on a \(3 < \sqrt{10} < 4\). La calculatrice donne \(\sqrt{10} \approx 3{,}16\). Garde la valeur exacte \(\sqrt{10}\) pendant les calculs et n’arrondis qu’à la fin.
La racine carrée respecte l’ordre : si \(0 \leqslant a < b\), alors \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\).
3. Racine carrée d’un produit
Pour tous nombres \(a \geqslant 0\) et \(b \geqslant 0\) : \[ \sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}. \]
\(\sqrt{2} \times \sqrt{50} = \sqrt{2 \times 50} = \sqrt{100} = 10\).
Et dans l’autre sens : \(\sqrt{36 \times 25} = \sqrt{36} \times \sqrt{25} = 6 \times 5 = 30\).
4. Racine carrée d’un quotient
Pour tous nombres \(a \geqslant 0\) et \(b > 0\) : \[ \sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}. \]
\(\sqrt{\dfrac{81}{25}} = \dfrac{9}{5}\) et \(\dfrac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\dfrac{98}{2}} = \sqrt{49} = 7\).
Ces règles valent pour le produit et le quotient, pas pour la somme : \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\), alors que \(\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7\). Donc \(\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}\).
5. Simplifier une racine : l’écriture \(a\sqrt{b}\)
Grâce à la règle du produit, on peut « sortir » un carré parfait de sous la racine.
- Cherche le plus grand carré parfait (\(4\), \(9\), \(16\), \(25\), \(36\)…) qui divise le nombre.
- Écris le nombre comme produit de ce carré parfait par un autre entier.
- Sépare avec \(\sqrt{k^2 \times m} = k\sqrt{m}\).
\(\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = \sqrt{9} \times \sqrt{5} = 3\sqrt{5}\).
\(\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}\) et \(\sqrt{200} = \sqrt{100 \times 2} = 10\sqrt{2}\).
Sur ma planète, on teste d’abord les carrés parfaits dans l’ordre : 4, 9, 16, 25… Le premier qui divise ton nombre te fait gagner du temps. Attention, il faut parfois recommencer : \(\sqrt{32} = \sqrt{4 \times 8} = 2\sqrt{8}\), mais avec \(16\) on va directement à \(4\sqrt{2}\) !
On dit que \(a\sqrt{b}\) est l’écriture simplifiée quand \(b\) n’a plus aucun facteur carré parfait.
6. Calculs avec des racines carrées
On additionne ou soustrait des racines seulement si elles ont le même nombre sous la racine, comme on réduit \(3x + 5x = 8x\). On commence donc souvent par simplifier.
\(\sqrt{8} + \sqrt{18} = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}\).
Pour multiplier : \(a\sqrt{b} \times c\sqrt{d} = ac\sqrt{bd}\), et \((a\sqrt{b})^2 = a^2 b\). Les identités remarquables fonctionnent aussi avec les racines.
\((2 + \sqrt{5})^2 = 4 + 4\sqrt{5} + 5 = 9 + 4\sqrt{5}\).
\((\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1) = 3 - 1 = 2\).
7. Équation \(x^2 = a\)
- Si \(a > 0\) : deux solutions, \(\sqrt{a}\) et \(-\sqrt{a}\).
- Si \(a = 0\) : une seule solution, \(0\).
- Si \(a < 0\) : aucune solution, car un carré n’est jamais négatif.
\(x^2 = 36\) : les solutions sont \(6\) et \(-6\). \(x^2 = 7\) : les solutions sont \(\sqrt{7}\) et \(-\sqrt{7}\). \(x^2 = -5\) : pas de solution.
Pour \(2x^2 = 50\), on divise par \(2\) : \(x^2 = 25\), donc \(x = 5\) ou \(x = -5\).
- Isole \(x^2\) : retire \(c\) des deux côtés, puis divise par \(k\).
- Regarde le signe du nombre obtenu : négatif, nul ou strictement positif.
- S’il est strictement positif, écris les deux solutions \(\sqrt{a}\) et \(-\sqrt{a}\), en simplifiant si possible.
- Conclus par une phrase : « les solutions sont… » ou « l’équation n’a pas de solution ».
Résous \(4x^2 - 20 = 52\). On ajoute \(20\) : \(4x^2 = 72\). On divise par \(4\) : \(x^2 = 18\). Comme \(18 > 0\), les solutions sont \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\) et \(-3\sqrt{2}\).
8. Racines carrées et géométrie
Les racines carrées apparaissent dès qu’on cherche une longueur à partir d’une aire, ou grâce au théorème de Pythagore : l’hypoténuse d’un triangle rectangle est la racine carrée de la somme des carrés des deux autres côtés. Souvent, la valeur exacte est de la forme \(a\sqrt{b}\), et c’est elle que le brevet attend avant toute valeur approchée.
Un triangle \(OPQ\) est rectangle en \(O\) avec \(OP = OQ = 4\) cm. Alors \(PQ^2 = 4^2 + 4^2 = 32\), donc \(PQ = \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}\) cm, soit environ \(5{,}66\) cm.
On retrouve le résultat classique : la diagonale d’un carré de côté \(c\) mesure \(c\sqrt{2}\).
Ne remplace jamais une valeur exacte par un arrondi au milieu d’un calcul. Si tu écris \(\sqrt{2} \approx 1{,}4\) trop tôt, ton résultat final peut être faux au dixième près. Garde \(\sqrt{2}\), simplifie, et arrondis seulement la réponse finale.
Pour vérifier un résultat, tu peux toujours élever au carré : si tu trouves \(\sqrt{50} = 5\sqrt{2}\), contrôle que \(\left(5\sqrt{2}\right)^2 = 25 \times 2 = 50\). Cette vérification prend dix secondes et évite bien des erreurs.
À retenir
- \(\sqrt{a}\) est le nombre positif dont le carré vaut \(a\) (avec \(a \geqslant 0\)) : \(\left(\sqrt{a}\right)^2 = a\).
- Connais les carrés parfaits jusqu’à \(15^2 = 225\).
- \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}\) et \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\), mais \(\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}\).
- Pour simplifier, sors le plus grand carré parfait : \(\sqrt{72} = 6\sqrt{2}\).
- On additionne des racines seulement si le nombre sous la racine est le même.
- \(x^2 = a\) : deux solutions \(\pm\sqrt{a}\) si \(a > 0\), une si \(a = 0\), aucune si \(a < 0\).
Entraîne-toi : défi express de 3ème
Automatismes 3ème : combien de réponses en 60 secondes ?
🚀 Zyro te conseille la suite
✏️ Exercices de mathsRacines carrées : exercices de maths 3ème
📝 Contrôles de mathsRacines carrées : contrôle de maths 3ème
🎯 QCM de mathsRacines carrées : QCM de maths 3ème
✏️ Exercices de mathsPuissances et notation scientifique : exercices de maths 3ème
✏️ Exercices de mathsCalcul littéral et factorisation : exercices de maths 3ème
📝 Contrôles de mathsPuissances et notation scientifique : contrôle de maths 3ème