Une application associe à chaque élément d’un ensemble un unique élément d’un autre ; une relation d’équivalence regroupe les objets que l’on décide de ne plus distinguer. Ces deux notions, avec les relations d’ordre, forment le langage de base de tout le cours d’algèbre de première année.
1. Applications, image et image réciproque
Une application \( f : E \to F \) associe à chaque élément \( x \) de \( E \) un unique élément \( f(x) \) de \( F \). L’élément \( f(x) \) est l’image de \( x \) ; tout \( x \) tel que \( f(x)=y \) est un antécédent de \( y \). Une même image peut avoir plusieurs antécédents ; un même élément ne peut pas avoir deux images.
Pour \( A \subset E \) et \( B \subset F \) :
\[ f(A)=\{\,f(x)\ ;\ x\in A\,\}, \qquad f^{-1}(B)=\{\,x\in E\ ;\ f(x)\in B\,\}. \]
L’ensemble \( f(E) \) est l’image de \( f \), notée \( \mathrm{Im}\, f \). Attention : \( f^{-1}(B) \) a un sens pour toute application, même non bijective.
Sur la figure, \( f(\{a,b\})=\{1\} \), \( f^{-1}(\{1\})=\{a,b\} \), \( f^{-1}(\{3\})=\varnothing \) et \( \mathrm{Im}\, f=\{1,2\} \).
Soit \( f : \mathbb{R}\to\mathbb{R},\ x\mapsto x^2 \). Alors \( f([-1,2])=[0,4] \) : le minimum \( 0 \) est atteint en \( 0 \), le maximum \( 4 \) en \( 2 \). Et \( f^{-1}([1,4])=\{x\ ;\ 1\le x^2\le 4\}=[-2,-1]\cup[1,2] \). Enfin \( f^{-1}(\,]-\infty,0[\,)=\varnothing \).
Pour \( A_1,A_2\subset E \) : \( f(A_1\cup A_2)=f(A_1)\cup f(A_2) \) et \( f(A_1\cap A_2)\subset f(A_1)\cap f(A_2) \) (l’inclusion peut être stricte). Pour \( B_1,B_2\subset F \) : \( f^{-1}(B_1\cap B_2)=f^{-1}(B_1)\cap f^{-1}(B_2) \) et \( f^{-1}(B_1\cup B_2)=f^{-1}(B_1)\cup f^{-1}(B_2) \).
2. Injection, surjection, bijection
- \( f \) est injective si \( \forall x,x'\in E,\ f(x)=f(x')\Rightarrow x=x' \) : deux éléments distincts ont des images distinctes, tout élément de \( F \) a au plus un antécédent.
- \( f \) est surjective si \( \forall y\in F,\ \exists x\in E,\ f(x)=y \), c’est-à-dire \( f(E)=F \) : tout élément de \( F \) a au moins un antécédent.
- \( f \) est bijective si elle est injective et surjective : tout élément de \( F \) a exactement un antécédent.
- Injectivité : on fixe \( x,x' \) avec \( f(x)=f(x') \) et on montre \( x=x' \). Pour la réfuter, on exhibe deux éléments distincts de même image.
- Surjectivité : on fixe \( y\in F \) et on résout l’équation \( f(x)=y \) d’inconnue \( x\in E \). Pour la réfuter, on exhibe un \( y \) sans antécédent.
- Précise toujours les ensembles de départ et d’arrivée : changer l’un d’eux peut changer la réponse.
La fonction \( x\mapsto x^2 \) n’est pas injective sur \( \mathbb{R} \) puisque \( f(-2)=f(2)=4 \) (figure ci-dessus). Elle n’est pas surjective sur \( \mathbb{R} \) car \( -1 \) n’a pas d’antécédent. Mais \( \mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+,\ x\mapsto x^2 \) est bijective : si \( x^2=x'^2 \) avec \( x,x'\ge 0 \) alors \( x=x' \), et tout \( y\ge 0 \) a pour antécédent \( \sqrt{y} \).
Pour une application d’un ensemble fini dans un ensemble fini de même cardinal, injective, surjective et bijective sont trois propriétés équivalentes. Ce n’est plus vrai pour les ensembles infinis : \( n\mapsto n+1 \) est injective de \( \mathbb{N} \) dans \( \mathbb{N} \) sans être surjective.
3. Composition et application réciproque
Si \( f : E\to F \) et \( g : F\to G \), la composée \( g\circ f : E\to G \) est définie par \( (g\circ f)(x)=g(f(x)) \). La composition est associative mais non commutative.
Si \( f \) et \( g \) sont injectives (resp. surjectives, bijectives), alors \( g\circ f \) l’est aussi. Réciproquement : si \( g\circ f \) est injective alors \( f \) est injective ; si \( g\circ f \) est surjective alors \( g \) est surjective.
Une application \( f : E\to F \) est bijective si et seulement s’il existe \( g : F\to E \) telle que \( g\circ f=\mathrm{id}_E \) et \( f\circ g=\mathrm{id}_F \). Cette application \( g \), unique, est notée \( f^{-1} \). Elle est bijective et \( (g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1} \) : on défait dans l’ordre inverse, comme on retire ses chaussures avant ses chaussettes.
Soit \( f : \mathbb{R}\setminus\{1\}\to\mathbb{R}\setminus\{3\},\ f(x)=\dfrac{3x+1}{x-1} \). Pour \( y\neq 3 \), l’équation \( \dfrac{3x+1}{x-1}=y \) équivaut à \( 3x+1=yx-y \), soit \( x(y-3)=y+1 \), donc \( x=\dfrac{y+1}{y-3} \). Cet antécédent existe, il est unique et il est différent de \( 1 \) (sinon \( y+1=y-3 \)). Ainsi \( f \) est bijective et \( f^{-1}(y)=\dfrac{y+1}{y-3} \). Vérification : \( f(2)=\dfrac{7}{1}=7 \) et \( f^{-1}(7)=\dfrac{8}{4}=2 \).
4. Relations binaires et relations d’équivalence
Une relation binaire \( \mathcal{R} \) sur un ensemble \( E \) est une propriété portant sur des couples \( (x,y)\in E^2 \), notée \( x\,\mathcal{R}\,y \). Elle est :
- réflexive si \( x\,\mathcal{R}\,x \) pour tout \( x \) ;
- symétrique si \( x\,\mathcal{R}\,y\Rightarrow y\,\mathcal{R}\,x \) ;
- antisymétrique si \( x\,\mathcal{R}\,y \) et \( y\,\mathcal{R}\,x \) entraînent \( x=y \) ;
- transitive si \( x\,\mathcal{R}\,y \) et \( y\,\mathcal{R}\,z \) entraînent \( x\,\mathcal{R}\,z \).
C’est une relation à la fois réflexive, symétrique et transitive. On la note souvent \( x\sim y \).
Pour une application \( f : E\to F \), la relation \( x\sim y \iff f(x)=f(y) \) est une relation d’équivalence sur \( E \) : réflexive (\( f(x)=f(x) \)), symétrique et transitive car l’égalité l’est. Avec \( f(x)=x^2 \) sur \( \mathbb{R} \), on obtient \( x\sim y\iff y=\pm x \).
5. Classes d’équivalence et partition
Pour \( x\in E \), sa classe est \( \overline{x}=\{\,y\in E\ ;\ y\sim x\,\} \). L’ensemble des classes est l’ensemble quotient, noté \( E/{\sim} \).
Les classes d’équivalence forment une partition de \( E \) : elles sont non vides, deux classes sont égales ou disjointes, et leur réunion est \( E \). Réciproquement, toute partition de \( E \) définit une relation d’équivalence (« être dans la même partie »).
Preuve de l’essentiel. On a \( x\in\overline{x} \) par réflexivité. Si \( z\in\overline{x}\cap\overline{y} \), alors \( z\sim x \) et \( z\sim y \), donc \( x\sim y \) par symétrie puis transitivité ; pour tout \( t\sim x \), on a \( t\sim y \), d’où \( \overline{x}\subset\overline{y} \), et l’autre inclusion est symétrique : \( \overline{x}=\overline{y} \).
6. Congruences
Pour \( n\in\mathbb{N}^* \), on pose \( a\equiv b\ [n] \) lorsque \( n \) divise \( a-b \). C’est une relation d’équivalence sur \( \mathbb{Z} \) dont les classes sont \( \overline{r}=\{r+kn\ ;\ k\in\mathbb{Z}\} \) pour \( r=0,\dots,n-1 \) : il y a exactement \( n \) classes, notées \( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \).
Si \( a\equiv a'\ [n] \) et \( b\equiv b'\ [n] \), alors \( a+b\equiv a'+b'\ [n] \) et \( ab\equiv a'b'\ [n] \). En particulier \( a^k\equiv a'^k\ [n] \) pour tout \( k\in\mathbb{N} \). En revanche, on ne peut pas simplifier librement : \( 2\times 3\equiv 2\times 0\ [6] \) alors que \( 3\not\equiv 0\ [6] \).
Cherchons le reste de \( 2^{50} \) dans la division par \( 7 \). Comme \( 2^3=8\equiv 1\ [7] \) et \( 50=3\times16+2 \), on a \( 2^{50}=(2^3)^{16}\times 2^2\equiv 1^{16}\times 4=4\ [7] \). Le reste est \( 4 \).
Si \( a \) et \( n \) sont premiers entre eux, on cherche un inverse \( u \) de \( a \) modulo \( n \) (par essais ou algorithme d’Euclide) puis \( x\equiv ub\ [n] \). Exemple : \( 4x\equiv 7\ [9] \) ; \( 4\times7=28\equiv1 \), donc \( x\equiv 49\equiv 4\ [9] \).
7. Relations d’ordre
C’est une relation réflexive, antisymétrique et transitive. L’ordre est total si deux éléments quelconques sont comparables (\( x\preceq y \) ou \( y\preceq x \)), sinon il est partiel.
Sur \( \mathbb{N}^* \), « \( a \) divise \( b \) » est une relation d’ordre : réflexive (\( a\mid a \)), transitive, antisymétrique (si \( a\mid b \) et \( b\mid a \), alors \( a\le b \) et \( b\le a \)). L’ordre est partiel : \( 2 \) et \( 3 \) ne sont pas comparables. Sur les diviseurs de \( 12 \), le diagramme de Hasse relie un élément à ses successeurs immédiats.
Dans \( (E,\preceq) \), un plus grand élément est comparable à tous et majore tout \( E \) ; un élément est maximal si aucun autre élément n’est strictement au-dessus. Plus petit élément et minimal se définissent de même. Ici, \( 1 \) est le plus petit et \( 12 \) le plus grand élément des diviseurs de \( 12 \).
Sur ma planète, on dit qu’une relation d’équivalence, c’est « presque l’égalité » : tu ne distingues plus que les classes. Une relation d’ordre, c’est « presque ≤ » : certains éléments ne se comparent tout simplement pas.
À retenir
- \( f^{-1}(B)=\{x\in E\ ;\ f(x)\in B\} \) existe toujours ; \( f^{-1} \) comme application n’existe que si \( f \) est bijective.
- Injective : au plus un antécédent ; surjective : au moins un ; bijective : exactement un.
- \( (g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1} \) ; \( g\circ f \) injective \( \Rightarrow f \) injective ; \( g\circ f \) surjective \( \Rightarrow g \) surjective.
- Équivalence = réflexive + symétrique + transitive ; ses classes forment une partition de l’ensemble.
- \( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \) compte \( n \) classes et les congruences sont compatibles avec \( + \) et \( \times \).
- Ordre = réflexive + antisymétrique + transitive ; total si tous les éléments sont comparables.
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