Calculer une aire par tranches, étudier une fonction définie par une intégrale, passer de coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires : trois gestes qui reposent sur un même socle, la théorie de l’intégration de Lebesgue. Ce chapitre rassemble les théorèmes d’échange (limite, dérivée, intégrale double) et en tire des résultats spectaculaires, comme la valeur de \(\int_{\mathbb R} e^{-x^2}\,dx\) ou les propriétés de la fonction \(\Gamma\).
1. Intégrale dépendant d’un paramètre
Soit \((\Omega,\mathcal A,\mu)\) un espace mesuré, \(I\) un intervalle de \(\mathbb R\) et \(f : I\times\Omega\to\mathbb R\) telle que, pour tout \(x\in I\), la fonction \(t\mapsto f(x,t)\) soit intégrable. On définit \[ F(x)=\int_\Omega f(x,t)\,d\mu(t),\qquad x\in I. \]
Les questions naturelles sont : la fonction \(F\) est-elle continue ? dérivable ? Peut-on écrire \(\lim_{x\to x_0}\int f(x,t)\,d\mu=\int \lim_{x\to x_0} f(x,t)\,d\mu\) ? Ces échanges sont faux en général ; le théorème de convergence dominée donne une condition suffisante efficace, la domination.
2. Continuité sous l’intégrale
Soit \(f : I\times\Omega\to\mathbb R\). On suppose :
- pour tout \(x\in I\), \(t\mapsto f(x,t)\) est mesurable ;
- pour presque tout \(t\), \(x\mapsto f(x,t)\) est continue sur \(I\) ;
- il existe \(g\) intégrable sur \(\Omega\) telle que \(|f(x,t)|\le g(t)\) pour tout \(x\in I\) et presque tout \(t\).
Alors \(F(x)=\int f(x,t)\,d\mu(t)\) est définie et continue sur \(I\).
La preuve consiste à appliquer le théorème de convergence dominée à une suite quelconque \(x_n\to x_0\) : \(f(x_n,t)\to f(x_0,t)\) presque partout, et \(|f(x_n,t)|\le g(t)\). Si la domination n’est vraie que sur chaque segment \([a,b]\subset I\), la continuité reste vraie, car elle est locale.
Soit \(F(x)=\int_0^{+\infty} e^{-t}\cos(xt)\,dt\) pour \(x\in\mathbb R\). Pour tout \(x\), \(|e^{-t}\cos(xt)|\le e^{-t}\) et \(t\mapsto e^{-t}\) est intégrable sur \([0,+\infty[\) d’intégrale \(1\). La fonction \(x\mapsto e^{-t}\cos(xt)\) est continue : d’après le théorème, \(F\) est définie et continue sur \(\mathbb R\), et \(F(0)=1\).
3. Dérivation sous l’intégrale
On suppose que :
- pour tout \(x\in I\), \(t\mapsto f(x,t)\) est intégrable ;
- pour presque tout \(t\), \(x\mapsto f(x,t)\) est de classe \(C^1\) sur \(I\) ;
- il existe \(g\) intégrable telle que \(\left|\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,t)\right|\le g(t)\) pour tout \(x\in I\) et presque tout \(t\).
Alors \(F\) est de classe \(C^1\) sur \(I\) et \[ F'(x)=\int_\Omega \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\,d\mu(t). \]
Reprenons \(F(x)=\int_0^{+\infty} e^{-t}\cos(xt)\,dt\). On a \(\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,t)=-t\,e^{-t}\sin(xt)\), donc \(\left|\dfrac{\partial f}{\partial x}\right|\le t\,e^{-t}\), fonction intégrable d’intégrale \(\Gamma(2)=1\). Ainsi \(F\) est \(C^1\) et \[ F'(x)=-\int_0^{+\infty} t\,e^{-t}\sin(xt)\,dt. \] En particulier \(F'(0)=0\). Un calcul direct (partie réelle de \(\int_0^{+\infty} e^{-(1-ix)t}\,dt=\dfrac{1}{1-ix}\)) donne \(F(x)=\dfrac{1}{1+x^2}\), dont la dérivée en \(0\) est bien nulle.
Pour \(f(x,t)=x\,e^{-xt}\) sur \(t\in[0,+\infty[\) : \(F(x)=1\) si \(x>0\) mais \(F(0)=0\). La fonction \(F\) n’est pas continue en \(0\) : aucune majorante intégrable ne convient, car \(\sup_{x>0} x e^{-xt}=\dfrac{1}{et}\) n’est pas intégrable sur \(]0,+\infty[\).
4. Mesure produit et théorème de Tonelli
Si \((X,\mathcal A,\mu)\) et \((Y,\mathcal B,\nu)\) sont des espaces mesurés \(\sigma\)-finis, il existe une unique mesure \(\mu\otimes\nu\) sur la tribu produit \(\mathcal A\otimes\mathcal B\) telle que \[ (\mu\otimes\nu)(A\times B)=\mu(A)\,\nu(B)\qquad (A\in\mathcal A,\ B\in\mathcal B). \] Pour les mesures de Lebesgue, \(\lambda_n\otimes\lambda_p=\lambda_{n+p}\).
Par exemple, le rectangle \([0,3]\times[1,5]\) a pour mesure \(3\times 4=12\), et un segment \(\{0\}\times[0,10]\) a pour mesure \(0\times 10=0\) : un segment est de mesure nulle dans le plan.
Soit \(f : X\times Y\to[0,+\infty]\) mesurable pour la tribu produit. Alors \(x\mapsto\int f(x,y)\,d\nu(y)\) et \(y\mapsto\int f(x,y)\,d\mu(x)\) sont mesurables et \[ \int_{X\times Y} f\,d(\mu\otimes\nu)=\int_X\Big(\int_Y f(x,y)\,d\nu(y)\Big)d\mu(x)=\int_Y\Big(\int_X f(x,y)\,d\mu(x)\Big)d\nu(y), \] les trois quantités étant égales dans \([0,+\infty]\).
Tonelli ne demande aucune hypothèse d’intégrabilité : seulement la positivité et la mesurabilité. C’est l’outil pour montrer qu’une fonction est intégrable sur un produit : on calcule \(\int |f|\) par intégrales itérées.
5. Théorème de Fubini
Soit \(f\) mesurable sur \(X\times Y\) et intégrable pour \(\mu\otimes\nu\) (c’est-à-dire \(\int |f|\,d(\mu\otimes\nu)<+\infty\)). Alors pour presque tout \(x\), \(y\mapsto f(x,y)\) est intégrable, la fonction \(x\mapsto\int f(x,y)\,d\nu(y)\) est intégrable, et \[ \int_{X\times Y} f\,d(\mu\otimes\nu)=\int_X\Big(\int_Y f\,d\nu\Big)d\mu=\int_Y\Big(\int_X f\,d\mu\Big)d\nu. \]
- Décrire le domaine \(D\) et vérifier la mesurabilité de l’intégrande.
- Montrer l’intégrabilité : si \(f\) est continue sur un compact, c’est automatique ; sinon, appliquer Tonelli à \(|f|\).
- Choisir l’ordre d’intégration qui donne une primitive explicite.
- Décrire \(D\) par tranches dans cet ordre, puis calculer deux intégrales simples.
Calculons \(I=\int_0^1\Big(\int_y^1 \cos(x^2)\,dx\Big)dy\). La fonction \(x\mapsto\cos(x^2)\) n’a pas de primitive élémentaire. Le domaine est \(\{0\le y\le x\le 1\}\) (le triangle coloré) ; la fonction est continue bornée sur ce compact, donc intégrable. D’après Fubini, \[ I=\int_0^1\cos(x^2)\Big(\int_0^x dy\Big)dx=\int_0^1 x\cos(x^2)\,dx=\Big[\tfrac12\sin(x^2)\Big]_0^1=\frac{\sin 1}{2}. \]
Sur \(]0,1]^2\), soit \(f(x,y)=\dfrac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\). Pour \(x\) fixé, \(\int_0^1 f(x,y)\,dy=\Big[\dfrac{y}{x^2+y^2}\Big]_0^1=\dfrac{1}{1+x^2}\), d’où \(\int_0^1\!\!\int_0^1 f\,dy\,dx=\dfrac{\pi}{4}\). Mais \(f(y,x)=-f(x,y)\), donc l’autre ordre donne \(-\dfrac{\pi}{4}\). Les deux intégrales itérées existent et diffèrent : \(f\) n’est pas intégrable sur le carré.
6. Changement de variables
Soit \(\varphi : U\to V\) un \(C^1\)-difféomorphisme entre ouverts de \(\mathbb R^n\) et \(f\) mesurable sur \(V\), positive ou intégrable. Alors \[ \int_V f(y)\,dy=\int_U f(\varphi(x))\,|\det J_\varphi(x)|\,dx. \]
Cas fondamental, les coordonnées polaires \(\varphi(r,\theta)=(r\cos\theta,\,r\sin\theta)\) : \(|\det J_\varphi|=r\), et \(\varphi\) réalise un difféomorphisme de \(]0,+\infty[\times]0,2\pi[\) sur le plan privé d’une demi-droite (la demi-droite retirée est un ensemble négligeable). Ainsi \(dx\,dy=r\,dr\,d\theta\).
Posons \(G=\int_{\mathbb R}e^{-x^2}dx\). D’après Tonelli, \(G^2=\iint_{\mathbb R^2}e^{-(x^2+y^2)}dx\,dy\). En polaires : \[ G^2=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{+\infty} e^{-r^2}\,r\,dr\,d\theta=2\pi\Big[-\tfrac12 e^{-r^2}\Big]_0^{+\infty}=\pi. \] Comme \(G>0\), on obtient \(G=\sqrt{\pi}\).
7. La fonction Gamma
Pour \(x>0\), \[ \Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\,dt. \]
L’intégrale converge : en \(0\), \(t^{x-1}e^{-t}\sim t^{x-1}\) est intégrable car \(x>0\) ; en \(+\infty\), \(t^{x-1}e^{-t}=o(t^{-2})\). Sur tout segment \([a,b]\subset]0,+\infty[\), la domination par \(g(t)=t^{a-1}\) pour \(t\le 1\) et \(g(t)=t^{b-1}e^{-t}\) pour \(t\ge 1\) assure que \(\Gamma\) est continue, et même de classe \(C^\infty\) par dérivations successives sous l’intégrale.
- \(\Gamma(1)=1\) et \(\Gamma(x+1)=x\,\Gamma(x)\) pour tout \(x>0\) (intégration par parties).
- Pour tout entier \(n\ge 0\), \(\Gamma(n+1)=n!\).
- \(\Gamma\!\left(\tfrac12\right)=\sqrt{\pi}\).
- Pour \(a>0\), \(\displaystyle\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-at}\,dt=\frac{\Gamma(x)}{a^{x}}\).
| \(x\) | \(\tfrac12\) | \(1\) | \(\tfrac32\) | \(2\) | \(\tfrac52\) | \(3\) | \(4\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\Gamma(x)\) | \(\sqrt\pi\) | \(1\) | \(\tfrac{\sqrt\pi}{2}\) | \(1\) | \(\tfrac{3\sqrt\pi}{4}\) | \(2\) | \(6\) |
Dans \(\Gamma(\frac12)=\int_0^{+\infty}t^{-1/2}e^{-t}\,dt\), le changement de variable \(t=u^2\) (\(dt=2u\,du\)) donne \(\Gamma(\tfrac12)=2\int_0^{+\infty}e^{-u^2}du=2\cdot\dfrac{\sqrt\pi}{2}=\sqrt\pi\), puisque l’intégrale de Gauss sur \(\mathbb R\) vaut \(\sqrt\pi\) et que l’intégrande est paire. On en déduit \(\Gamma(\tfrac32)=\tfrac12\sqrt\pi\) et \(\Gamma(\tfrac52)=\tfrac32\cdot\tfrac12\sqrt\pi=\tfrac{3\sqrt\pi}{4}\).
Face à une intégrale en \(t^{k}e^{-at}\), ne cherche pas de primitive : le changement \(u=at\) la ramène à \(\Gamma(k+1)/a^{k+1}\), et \(\Gamma(k+1)=k!\) pour un entier \(k\).
À retenir
- Continuité sous l’intégrale : continuité en \(x\) pour presque tout \(t\) et domination \(|f(x,t)|\le g(t)\), \(g\) intégrable.
- Dérivation sous l’intégrale : même chose avec \(\partial_x f\) ; alors \(F'(x)=\int\partial_x f\,d\mu\).
- Tonelli : pour \(f\ge 0\) mesurable, l’ordre d’intégration est libre, sans autre hypothèse.
- Fubini : pour \(f\) intégrable sur le produit, les intégrales itérées existent et sont égales à l’intégrale double.
- Changement de variables : on multiplie par \(|\det J_\varphi|\) ; polaires : \(r\,dr\,d\theta\).
- \(\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)\), \(\Gamma(n+1)=n!\), \(\Gamma(\tfrac12)=\sqrt\pi\), \(\int_{\mathbb R}e^{-x^2}dx=\sqrt\pi\).
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