Intégrales doubles et triples : cours de maths Licence L2

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Cours de maths en Licence L2 : Intégrales doubles et triples — Zyro, l’explorateur de Planète Maths

Une intégrale simple mesure l’aire sous une courbe. Les intégrales multiples prolongent cette idée : une intégrale double mesure un volume sous une surface, une intégrale triple accumule une quantité (masse, charge, volume) dans une région de l’espace. Le calcul se ramène presque toujours à des intégrales simples emboîtées, à condition de bien décrire le domaine et, souvent, de choisir un système de coordonnées adapté.

Sommaire

1. Intégrale double sur un rectangle

Définition

Soit \(R = [a,b]\times[c,d]\) et \(f : R \to \mathbb{R}\) continue. On découpe \(R\) en petits rectangles \(R_{ij}\) d’aire \(\Delta A_{ij}\), et on choisit un point \((x_i, y_j)\) dans chacun. L’intégrale double est la limite des sommes de Riemann :
\[ \iint_R f(x,y)\,dx\,dy = \lim \sum_{i,j} f(x_i,y_j)\,\Delta A_{ij}, \]
lorsque le pas du découpage tend vers 0. Elle existe pour toute fonction continue sur \(R\).

Si \(f\ge 0\), cette intégrale est le volume du solide situé sous la surface \(z = f(x,y)\) et au-dessus de \(R\). Elle est linéaire, croissante, et vérifie la relation de Chasles par rapport au domaine : si \(D = D_1\cup D_2\) avec \(D_1\cap D_2\) d’aire nulle, alors \(\iint_D = \iint_{D_1} + \iint_{D_2}\). En particulier \(\iint_D 1\,dx\,dy\) est l’aire de \(D\).

2. Théorème de Fubini

Théorème de Fubini (cas continu)

Si \(f\) est continue sur \(R=[a,b]\times[c,d]\), alors
\[ \iint_R f\,dx\,dy = \int_a^b\!\left(\int_c^d f(x,y)\,dy\right)dx = \int_c^d\!\left(\int_a^b f(x,y)\,dx\right)dy. \]
On peut donc intégrer dans l’ordre que l’on veut.

Le principe : on fixe \(x\), on calcule l’aire de la coupe \(y\mapsto f(x,y)\), puis on additionne ces aires de coupes le long de l’axe \(x\). Un cas particulier utile : si \(f(x,y) = g(x)h(y)\), l’intégrale sur un rectangle est le produit \(\int_a^b g\times\int_c^d h\).

Exemple 1

Calculons \(I=\iint_{[0,2]\times[1,3]} x\,y^2\,dx\,dy\). La fonction est un produit :
\[ I = \int_0^2 x\,dx \times \int_1^3 y^2\,dy = 2\times \dfrac{27-1}{3} = \dfrac{52}{3}. \]

3. Domaines élémentaires

Pour un domaine qui n’est pas un rectangle, on le décrit par ses bornes. Un domaine simple selon y s’écrit \(D=\{(x,y) : a\le x\le b,\ \varphi_1(x)\le y\le\varphi_2(x)\}\) avec \(\varphi_1\le\varphi_2\) continues ; alors
\[ \iint_D f\,dx\,dy = \int_a^b\left(\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x,y)\,dy\right)dx. \]
La borne intérieure dépend de la variable extérieure ; la borne extérieure est une constante.

Méthode : calculer sur un domaine

Dessiner le domaine et repérer ses courbes frontières.
Choisir la variable extérieure ; tracer une droite parallèle à l’autre axe qui traverse le domaine : elle entre et sort sur deux courbes, qui donnent les bornes intérieures.
Lire les bornes extérieures (valeurs extrêmes de la variable extérieure).
Intégrer d’abord l’intégrale intérieure, puis l’extérieure ; si l’intégrale est inabordable, essayer l’autre ordre.

Exemple 2

Soit \(D\) le domaine limité par \(y=x^2\) et \(y=x\) (figure). Les courbes se coupent en \(x=0\) et \(x=1\), avec \(x^2\le y\le x\) entre les deux. Alors
\[ \iint_D (x+y)\,dx\,dy = \int_0^1\left[xy+\dfrac{y^2}{2}\right]_{x^2}^{x}dx = \int_0^1\left(\dfrac{3x^2}{2}-x^3-\dfrac{x^4}{2}\right)dx = \dfrac12-\dfrac14-\dfrac1{10} = \dfrac{3}{20}. \]
L’aire de \(D\) vaut \(\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\dfrac16\).

Attention

Les bornes de l’intégrale extérieure ne peuvent jamais dépendre d’une variable : un résultat final contenant encore \(x\) ou \(y\) trahit une erreur de bornes. Pensez aussi à échanger l’ordre quand une primitive est introuvable, par exemple pour \(\int e^{x^2}dx\).

4. Changement de variables

Formule du changement de variables

Soit \(\Phi : (u,v)\mapsto (x,y)=(X(u,v),Y(u,v))\) de classe \(C^1\), bijective d’un ouvert \(\Delta\) sur un ouvert \(D\), de jacobien non nul. Alors
\[ \iint_D f(x,y)\,dx\,dy = \iint_\Delta f\big(X(u,v),Y(u,v)\big)\,\left|\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|\,du\,dv, \qquad \dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} X_u & X_v\\ Y_u & Y_v\end{vmatrix}. \]

Le jacobien mesure la façon dont \(\Phi\) dilate localement les aires : un petit rectangle \(du\,dv\) devient un parallélogramme d’aire \(|J|\,du\,dv\). On prend toujours la valeur absolue du déterminant. Quand on connaît plutôt \((u,v)\) en fonction de \((x,y)\), on calcule le jacobien de l’inverse, puis on prend son inverse : \(\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \left(\dfrac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}\right)^{-1}\).

Exemple 3

Calculons l’aire du losange \(D=\{|x|+|y|\le 1\}\). Posons \(u=x+y\) et \(v=x-y\). Alors \(D\) correspond à \(\Delta=[-1,1]^2\). Comme \(\dfrac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}=\begin{vmatrix}1&1\\1&-1\end{vmatrix}=-2\), on a \(\left|\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|=\dfrac12\), et
\[ \iint_D dx\,dy = \iint_{[-1,1]^2}\dfrac12\,du\,dv = \dfrac12\times 4 = 2. \]

5. Coordonnées polaires

Pour un domaine circulaire (disque, couronne, secteur), on pose \(x=r\cos\theta\), \(y=r\sin\theta\) avec \(r\ge0\). Le jacobien vaut \(\begin{vmatrix}\cos\theta&-r\sin\theta\\ \sin\theta& r\cos\theta\end{vmatrix}=r\).

Formule polaire

\[ \iint_D f(x,y)\,dx\,dy = \iint_{\Delta} f(r\cos\theta, r\sin\theta)\;r\,dr\,d\theta. \]
Pour un disque de centre \(O\) et de rayon \(R\), \(\Delta=[0,R]\times[0,2\pi]\).

Exemple 4

Pour \(D=\{x^2+y^2\le R^2\}\) :
\[ \iint_D e^{-(x^2+y^2)}dx\,dy=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^R e^{-r^2}\,r\,dr = 2\pi\left[-\dfrac12 e^{-r^2}\right]_0^R = \pi\left(1-e^{-R^2}\right). \]
En faisant tendre \(R\) vers l’infini, on obtient \(\pi\), d’où l’intégrale de Gauss \(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^2}dt=\sqrt{\pi}\).

Attention

N’oubliez jamais le facteur \(r\) : c’est lui qui fait de \(r\,dr\,d\theta\) un élément d’aire. Sans lui, l’aire d’un disque de rayon \(R\) vaudrait \(2\pi R\) au lieu de \(\pi R^2\).

6. Intégrale triple

Pour \(f\) continue sur un pavé \(P=[a,b]\times[c,d]\times[e,g]\), l’intégrale triple est la limite de sommes de Riemann sur des petits pavés ; le théorème de Fubini donne
\[ \iiint_P f\,dx\,dy\,dz = \int_a^b\int_c^d\int_e^g f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx, \]
l’ordre étant libre. Pour un solide \(V\) délimité par des surfaces, on procède par piles (on intègre d’abord en \(z\) entre deux surfaces, au-dessus d’un domaine \(D\) du plan \(Oxy\)) ou par tranches (on fixe \(z\) et on intègre sur la section \(S_z\)) :
\[ \iiint_V f\,dV = \iint_D\left(\int_{\psi_1(x,y)}^{\psi_2(x,y)} f\,dz\right)dx\,dy = \int_{z_1}^{z_2}\left(\iint_{S_z} f\,dx\,dy\right)dz. \]
Le volume de \(V\) est \(\iiint_V dV\) ; la masse d’un solide de densité \(\mu\) est \(\iiint_V\mu\,dV\).

Exemple 5

Soit le tétraèdre \(T=\{x,y,z\ge0,\ x+y+z\le1\}\). À \(z\) fixé, la section est un triangle rectangle de côté \(1-z\), d’aire \(\dfrac{(1-z)^2}{2}\). Donc
\[ \mathrm{Vol}(T)=\int_0^1\dfrac{(1-z)^2}{2}dz=\dfrac16, \qquad \iiint_T z\,dV=\int_0^1 z\,\dfrac{(1-z)^2}{2}\,dz=\dfrac12\left(\dfrac12-\dfrac23+\dfrac14\right)=\dfrac1{24}. \]

7. Coordonnées cylindriques et sphériques

Cylindriques. On garde \(z\) et on passe en polaire dans le plan : \(x=r\cos\theta\), \(y=r\sin\theta\), \(z=z\). Le jacobien vaut \(r\). Elles conviennent aux solides de révolution autour de \(Oz\) (cylindres, cônes, paraboloïdes).

Sphériques. On repère \(M\) par \(\rho=OM\ge0\), l’angle \(\varphi\in[0,\pi]\) entre \(\overrightarrow{Oz}\) et \(\overrightarrow{OM}\), et l’angle \(\theta\in[0,2\pi[\) de la projection dans le plan \(Oxy\) :
\[ x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi, \qquad \left|\dfrac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho,\varphi,\theta)}\right|=\rho^2\sin\varphi. \]
Elles conviennent aux boules, sphères et cônes d’axe \(Oz\).

Récapitulatif

Système	Changement de variables	Élément d’aire ou de volume
Cartésien	\((x, y)\) ou \((x, y, z)\)	\(dx\,dy\) ou \(dx\,dy\,dz\)
Polaire (plan)	\(x = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta\)	\(r\,dr\,d\theta\)
Cylindrique	\(x = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta,\ z = z\)	\(r\,dr\,d\theta\,dz\)
Sphérique	\(x = \rho\sin\varphi\cos\theta,\ y = \rho\sin\varphi\sin\theta,\ z = \rho\cos\varphi\)	\(\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta\)

Exemple 6

Volume d’une boule de rayon \(R\) en sphériques, avec \(\rho\in[0,R]\), \(\varphi\in[0,\pi]\), \(\theta\in[0,2\pi]\) :
\[ V=\int_0^{2\pi}\!d\theta\int_0^{\pi}\!\sin\varphi\,d\varphi\int_0^R\rho^2\,d\rho = 2\pi\times 2\times\dfrac{R^3}{3}=\dfrac{4}{3}\pi R^3. \]

Zyro

Sur ma planète, on choisit toujours les coordonnées avant de calculer : si l’équation du domaine contient \(x^2+y^2\), je passe en polaires ou cylindriques ; si elle contient \(x^2+y^2+z^2\), je pars en sphériques.

8. Calculs d’aires et de volumes

Aire d’un domaine plan : \(\mathcal{A}(D)=\iint_D dx\,dy\) ; en polaires, \(\mathcal{A}=\iint r\,dr\,d\theta\).
Volume sous une surface : \(V=\iint_D f(x,y)\,dx\,dy\) si \(f\ge0\) sur \(D\) ; entre deux surfaces, on intègre la différence \(\psi_2-\psi_1\).
Volume d’un solide : \(V=\iiint_V dV\), dans le système de coordonnées le plus adapté.
Valeur moyenne de \(f\) sur \(V\) : \(\dfrac{1}{\mathrm{Vol}(V)}\iiint_V f\,dV\) ; centre de masse d’abscisse \(\bar x=\dfrac{1}{m}\iiint x\,\mu\,dV\).

Exemple 7

Volume du solide compris entre le plan \(z=0\) et le paraboloïde \(z=9-x^2-y^2\) (au-dessus de \(z=0\)). La trace au sol est le disque \(r\le3\). En cylindriques :
\[ V=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^3 (9-r^2)\,r\,dr\,d\theta = 2\pi\left[\dfrac{9r^2}{2}-\dfrac{r^4}{4}\right]_0^3=2\pi\times\dfrac{81}{4}=\dfrac{81\pi}{2}. \]

À retenir

Fubini : pour \(f\) continue, une intégrale multiple se calcule par intégrales simples emboîtées, dans l’ordre le plus commode.
Sur un domaine non rectangulaire, les bornes intérieures dépendent de la variable extérieure ; on commence par un dessin.
Changement de variables : on multiplie par la valeur absolue du jacobien.
Polaires : \(r\,dr\,d\theta\) ; cylindriques : \(r\,dr\,d\theta\,dz\) ; sphériques : \(\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta\).
Aire \(=\iint 1\), volume \(=\iiint 1\) ; disque \(\pi R^2\), boule \(\tfrac43\pi R^3\).