Initiation au calcul littéral : cours de maths 5ème

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Cours de maths en 5ème : Initiation au calcul littéral — Zyro, l’explorateur de Planète Maths

Imagine que tu dois écrire une règle qui marche pour tous les nombres à la fois : « double un nombre, puis ajoute 3 ». Plutôt que de répéter la phrase, les mathématiciens la résument avec une lettre : \(2x + 3\). Dans ce chapitre, tu découvres le calcul littéral : écrire, simplifier, calculer et tester des expressions où une lettre remplace un nombre.

Sommaire

1. Pourquoi utiliser une lettre ?

Un menuisier construit une frise avec des allumettes : il colle des carrés les uns aux autres.

Avec \(1\) carré, il faut \(4\) allumettes ; avec \(2\) carrés, \(7\) ; avec \(3\) carrés, \(10\) ; avec \(4\) carrés, \(13\). À chaque carré ajouté, on ajoute \(3\) allumettes. Pour un nombre de carrés quelconque, que l’on note \(n\), il faut \(3 \times n + 1\) allumettes. La lettre \(n\) peut prendre plusieurs valeurs : c’est pour cela qu’on l’appelle une variable.

Expression littérale

Une expression littérale est un calcul dans lequel au moins un nombre est remplacé par une lettre. Par exemple \(3n + 1\), \(5 - a\) ou \(x \times (x + 2)\) sont des expressions littérales.

Une expression littérale permet de traduire une phrase : « le double d’un nombre \(x\) » s’écrit \(2 \times x\) ; « \(x\) augmenté de \(9\) » s’écrit \(x + 9\) ; « la moitié de \(x\) » s’écrit \(\dfrac{x}{2}\).

2. Simplifier l’écriture

Pour alléger les expressions, on supprime le signe \(\times\) quand il n’y a aucune ambiguïté.

Conventions d’écriture

Entre un nombre et une lettre : \(3 \times x = 3x\) (le nombre s’écrit devant).
Entre deux lettres : \(a \times b = ab\).
Devant une parenthèse : \(4 \times (x + 1) = 4(x + 1)\).
Une lettre multipliée par elle-même : \(x \times x = x^2\).
\(1 \times x = x\) et \(0 \times x = 0\).

Piège

On ne supprime jamais le signe \(\times\) entre deux nombres : \(3 \times 4\) ne s’écrit pas \(34\). Et \(3x\) ne veut pas dire « \(3\) puis \(x\) » : c’est trois fois \(x\).

Exemple 1

Simplifie l’écriture de \(A = 7 \times y\), \(B = a \times 5 \times b\) et \(C = t \times t\).

\(A = 7y\) ; \(B = 5ab\) (le nombre d’abord, puis les lettres) ; \(C = t^2\).

3. Substituer une valeur

Substituer, c’est remplacer chaque lettre par un nombre, puis calculer. C’est comme entrer une valeur dans une machine.

Méthode

Recopie l’expression en rétablissant les signes \(\times\) cachés.
Remplace la lettre par sa valeur, entre parenthèses si elle est négative.
Calcule en respectant les priorités : puissances, puis multiplications, puis additions et soustractions.

Exemple 2

Calcule \(E = 3x + 4\) pour \(x = 5\), puis pour \(x = 2{,}5\).

Pour \(x = 5\) : \(E = 3 \times 5 + 4 = 15 + 4 = 19\).

Pour \(x = 2{,}5\) : \(E = 3 \times 2{,}5 + 4 = 7{,}5 + 4 = 11{,}5\).

Exemple 3

Calcule \(F = x^2 - 2x\) pour \(x = 6\), puis \(G = 4a + 3b\) pour \(a = 2\) et \(b = 5\).

\(F = 6^2 - 2 \times 6 = 36 - 12 = 24\). Le carré est calculé avant la soustraction.

\(G = 4 \times 2 + 3 \times 5 = 8 + 15 = 23\).

4. Réduire une expression simple

Réduire une expression, c’est l’écrire avec le moins de termes possible. On ne peut regrouper que des termes de même nature : des termes en \(x\) avec des termes en \(x\), des nombres avec des nombres.

La figure le montre : trois boîtes contenant chacune \(x\), plus deux boîtes de plus, cela fait cinq boîtes : \(3x + 2x = 5x\).

Réduction

Pour tous nombres \(a\), \(b\) et \(x\) : \(ax + bx = (a + b)x\). En particulier \(x + x = 2x\) et \(x = 1x\).

Exemple 4

Réduis \(H = 5x + 3 + 2x + 4\) et \(K = 9y - 4y\).

\(H = 5x + 2x + 3 + 4 = 7x + 7\) ; \(K = (9 - 4)y = 5y\).

Piège

\(6a + 2b\) ne se réduit pas : \(a\) et \(b\) sont deux lettres différentes. De même \(3x + 5\) reste \(3x + 5\), et surtout \(3x + 2x\) vaut \(5x\), pas \(5x^2\) : on additionne les nombres devant \(x\), le \(x\) ne change pas.

5. Tester une égalité

Une égalité comme \(2x + 5 = 3x + 1\) contient une lettre. Elle peut être vraie pour certaines valeurs de \(x\) et fausse pour d’autres : on teste en remplaçant \(x\) dans chaque membre.

Exemple 5

L’égalité \(2x + 5 = 3x + 1\) est-elle vraie pour \(x = 3\) ? pour \(x = 4\) ?

Pour \(x = 3\) : \(2 \times 3 + 5 = 11\) et \(3 \times 3 + 1 = 10\). Comme \(11 \neq 10\), l’égalité est fausse pour \(x = 3\).

Pour \(x = 4\) : \(2 \times 4 + 5 = 13\) et \(3 \times 4 + 1 = 13\). L’égalité est vraie pour \(x = 4\).

Pour montrer qu’une égalité est fausse en général, un seul exemple suffit : on l’appelle un contre-exemple. Pour montrer qu’elle est vraie quel que soit \(x\), tester quelques valeurs ne suffit pas : il faut une règle, comme la réduction \(3x + 2x = 5x\).

Astuce de Zyro

Sur ma planète, on dit qu’une valeur « qui marche » est une solution. Pour \(x + x = x \times x\), j’ai trouvé \(x = 2\) ; mais attention, avec \(x = 3\), on obtient \(6\) contre \(9\) : une seule valeur qui marche ne prouve rien !

6. Formules, périmètres et aires

Une formule est une expression littérale qui relie plusieurs grandeurs. Elle sert à calculer sans refaire le raisonnement à chaque fois.

Formules à connaître

Périmètre d’un carré de côté \(c\) : \(P = 4c\).
Périmètre d’un rectangle de longueur \(L\) et de largeur \(l\) : \(P = 2 \times (L + l)\).
Aire d’un rectangle : \(\mathcal{A} = L \times l\) ; aire d’un carré : \(\mathcal{A} = c \times c = c^2\).
Distance parcourue à vitesse constante : \(d = v \times t\).

Exemple 6

Un rectangle mesure \(8{,}5\) cm de long et \(3\) cm de large. Calcule son périmètre et son aire.

\(P = 2 \times (8{,}5 + 3) = 2 \times 11{,}5 = 23\) cm. \(\mathcal{A} = 8{,}5 \times 3 = 25{,}5\) cm².

Quand les côtés sont eux-mêmes des expressions, on additionne tous les côtés et on réduit. Un rectangle de largeur \(x\) et de longueur \(x + 3\) a pour périmètre \(x + (x + 3) + x + (x + 3) = 4x + 6\).

7. Mettre en équation un problème

Mettre un problème en équation, c’est traduire l’énoncé par une égalité contenant une lettre, puis chercher la valeur qui la rend vraie.

Méthode

Choisis l’inconnue : « soit \(x\) le nombre de… » et précise l’unité.
Exprime chaque quantité de l’énoncé avec \(x\).
Écris l’égalité demandée par l’énoncé.
Teste des valeurs jusqu’à trouver celle qui convient, puis réponds par une phrase.

Exemple 7

Maya achète un livre à \(7\) € et il lui reste \(12\) €. Quelle somme avait-elle ?

Soit \(x\) la somme de départ en euros. L’énoncé donne \(x - 7 = 12\).

Test : pour \(x = 15\), \(15 - 7 = 8\) ; pour \(x = 20\), \(20 - 7 = 13\) ; pour \(x = 19\), \(19 - 7 = 12\). Maya avait donc \(19\) €.

Exemple 8

Un club commande \(4\) maillots à \(p\) € l’un et paie \(5\) € de livraison, pour \(41\) € au total.

L’égalité est \(4p + 5 = 41\). Pour \(p = 8\) : \(32 + 5 = 37\) (trop petit) ; pour \(p = 9\) : \(36 + 5 = 41\). Un maillot coûte \(9\) €.

À retenir

Une expression littérale contient une lettre qui remplace un nombre.
On supprime le \(\times\) devant une lettre ou une parenthèse : \(3 \times x = 3x\), \(x \times x = x^2\).
Substituer : remplacer la lettre par un nombre puis calculer, en respectant les priorités.
Réduire : regrouper les termes de même nature, \(3x + 2x = 5x\) ; \(a\) et \(b\) ne se mélangent pas.
Pour tester une égalité, on calcule chaque membre ; un contre-exemple suffit à la rendre fausse.
Une mise en équation traduit l’énoncé par une égalité, que l’on teste ensuite avec des valeurs.