Quand tu coupes une pizza, un gâteau ou une barre de chocolat en parts égales, tu utilises des fractions sans le savoir. Dans ce chapitre, tu apprends à les nommer, à les écrire, à les placer sur une droite graduée, à les comparer et à t’en servir pour calculer une partie d’une quantité.
1. Partager une unité en parts égales
Une unité est un objet entier : une tablette de chocolat, une bande de papier, une pizza, ou encore la longueur entre 0 et 1 sur une droite graduée. Pour fabriquer une fraction, on partage cette unité en parts égales.
Partager une unité en parts égales, c’est la découper en morceaux qui ont tous exactement la même taille, sans rien oublier.
Regarde les deux bandes ci-dessous. Les deux sont coupées en 4 morceaux, mais une seule est partagée en parts égales.
Si les morceaux n’ont pas la même taille, on ne peut pas parler de quarts, de tiers ou de demis. Pour une fraction, les parts doivent toujours être égales.
2. Demi, tiers, quart
Le nom d’une part dépend du nombre de parts égales dans l’unité.
- unité partagée en 2 parts égales : chaque part est un demi ;
- unité partagée en 3 parts égales : chaque part est un tiers ;
- unité partagée en 4 parts égales : chaque part est un quart ;
- unité partagée en 10 parts égales : chaque part est un dixième.
Pour 5, 6 ou 8 parts, on dit des cinquièmes, des sixièmes, des huitièmes.
Une tablette de chocolat est partagée en 4 parts égales. Chaque part est un quart de la tablette. Si tu manges 1 part, tu manges un quart de la tablette.
3. Écriture fractionnaire : numérateur et dénominateur
Une fraction s’écrit avec deux nombres séparés par une barre. Par exemple \(\dfrac{3}{4}\) se lit « trois quarts ».
Dans \(\dfrac{3}{4}\) :
- le nombre du bas, le dénominateur, dit en combien de parts égales on a partagé l’unité (ici 4) ;
- le nombre du haut, le numérateur, dit combien de parts on prend (ici 3).
- Compte les parts égales de l’unité : c’est le dénominateur.
- Compte les parts colorées : c’est le numérateur.
- Écris le numérateur au-dessus de la barre et le dénominateur en dessous.
Un disque est partagé en 5 parts égales et 2 parts sont colorées. Le dénominateur est 5 et le numérateur est 2. La fraction colorée est \(\dfrac{2}{5}\), deux cinquièmes.
Quand on prend toutes les parts, on obtient l’unité entière : \(\dfrac{4}{4}=1\), \(\dfrac{3}{3}=1\), \(\dfrac{10}{10}=1\).
\(\dfrac{3}{4}\) et \(\dfrac{4}{3}\) ne sont pas la même fraction. Le dénominateur, en bas, est toujours le nombre de parts de l’unité.
4. Fractions sur une droite graduée
Sur une droite graduée, on partage chaque unité en parts égales. Une fraction repère le point situé à ce nombre de parts à partir de 0. Ici, chaque unité est coupée en 4 : on lit des quarts.
Le point A est à 3 parts de 0 : il est placé à \(\dfrac{3}{4}\). Le point B est à 4 parts de 0 : \(\dfrac{4}{4}=1\). Le point C est au-delà de 1 : il est placé à \(\dfrac{5}{4}\), cinq quarts.
Sur une droite graduée en tiers, un point est à 4 graduations de 0. Il est placé à \(\dfrac{4}{3}\). Comme \(\dfrac{3}{3}=1\), ce point est un peu après 1.
Sur ma planète, on compte les graduations à partir de 0 sans jamais en sauter une : le nombre de pas, c’est le numérateur !
5. Comparer des fractions simples
Voici trois bandes de même longueur. Dans chacune, on a colorié une seule part : un demi, un tiers, un quart.
- Avec le même dénominateur, la plus grande fraction est celle qui a le plus grand numérateur : \(\dfrac{5}{8}>\dfrac{3}{8}\).
- Avec le même numérateur, la plus grande fraction est celle qui a le plus petit dénominateur : \(\dfrac{1}{3}>\dfrac{1}{4}\).
- Une fraction est plus petite que 1 si son numérateur est plus petit que son dénominateur : \(\dfrac{3}{4}<1\). Elle est plus grande que 1 dans le cas contraire : \(\dfrac{5}{4}>1\).
Range du plus petit au plus grand : \(\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{1}{10}\), \(\dfrac{1}{4}\). Les numérateurs sont égaux, donc la plus petite part est celle qui est coupée en le plus de morceaux. On obtient \(\dfrac{1}{10}<\dfrac{1}{4}<\dfrac{1}{2}\).
Un dixième est plus petit qu’un demi, même si 10 est plus grand que 2. Plus on coupe l’unité en morceaux, plus chaque morceau est petit.
6. Fractions de dixièmes
Quand l’unité est partagée en 10 parts égales, chaque part est un dixième, noté \(\dfrac{1}{10}\). Les fractions de dénominateur 10 sont très utiles : elles servent à mesurer et à compter l’argent.
Ici, \(\dfrac{3}{10}\) de la bande est colorié. Dix dixièmes font l’unité entière : \(\dfrac{10}{10}=1\). Et \(\dfrac{5}{10}\) est la moitié de l’unité, car 5 est la moitié de 10.
Une pièce de 10 centimes vaut un dixième d’euro, car 1 euro vaut 100 centimes et 100 ÷ 10 = 10. Trois pièces de 10 centimes valent \(\dfrac{3}{10}\) d’euro, soit 30 centimes.
7. Fraction d’une quantité
Pour trouver une fraction d’une quantité, on partage cette quantité en parts égales : c’est une division.
- Divise la quantité par le dénominateur \(n\) pour trouver la valeur d’une part.
- Multiplie cette valeur par le numérateur \(k\).
La moitié se calcule en divisant par 2, le tiers par 3, le quart par 4, le dixième par 10.
Le quart de 20 billes : 20 ÷ 4 = 5. Donc \(\dfrac{1}{4}\) de 20 est égal à 5. Les trois quarts : 5 × 3 = 15. Donc \(\dfrac{3}{4}\) de 20 est égal à 15 billes.
Dans une boîte de 30 crayons, \(\dfrac{3}{10}\) sont bleus. Un dixième de 30 : 30 ÷ 10 = 3. Les trois dixièmes : 3 × 3 = 9. Il y a 9 crayons bleus.
À retenir
- Une fraction partage une unité en parts égales : demi (2), tiers (3), quart (4), dixième (10).
- Dans \(\dfrac{3}{4}\), le dénominateur 4 donne le nombre de parts de l’unité et le numérateur 3 le nombre de parts prises.
- Quand le numérateur est égal au dénominateur, la fraction vaut 1 : \(\dfrac{4}{4}=1\).
- Sur une droite graduée, une fraction se place en comptant les parts depuis 0.
- Même dénominateur : le plus grand numérateur gagne. Même numérateur : le plus petit dénominateur gagne.
- Pour prendre \(\dfrac{k}{n}\) d’une quantité, on divise par \(n\) puis on multiplie par \(k\).
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