« Si tu as ton badge, alors tu peux entrer. » Cette phrase paraît anodine, pourtant elle cache tout un art : savoir ce qu’elle affirme, ce qu’elle n’affirme pas, et comment prouver ou réfuter une affirmation. C’est le travail de la logique. Dans ce chapitre, tu vas aussi donner des ordres précis à un ordinateur : c’est l’algorithmique. Les deux sont liés, car un programme qui fonctionne n’est rien d’autre qu’un raisonnement soigneusement écrit.
1. Propositions, « et », « ou », négation
Une proposition est un énoncé mathématique qui est soit vrai, soit faux, jamais les deux. Exemples : « \(17\) est un nombre premier » (vraie), « \(2 + 2 = 5\) » (fausse). « Quel beau triangle ! » n’est pas une proposition.
On combine les propositions avec deux petits mots. « \(P\) et \(Q\) » est vraie quand les deux sont vraies. « \(P\) ou \(Q\) » est vraie quand au moins une des deux est vraie : en mathématiques, le « ou » est inclusif, il n’exclut pas le cas où les deux sont vraies (contrairement au « fromage ou dessert » du restaurant).
La négation de \(P\), notée « non \(P\) », est vraie exactement quand \(P\) est fausse. Nier « \(x \gt 3\) » donne « \(x \leqslant 3\) » et non « \(x \lt 3\) » : le cas \(x = 3\) ne doit pas disparaître.
2. Implication, réciproque et contraposée
L’implication « \(P \Rightarrow Q\) », qui se lit « si \(P\), alors \(Q\) », affirme que dès que \(P\) (l’hypothèse) est vraie, \(Q\) (la conclusion) l’est aussi. Sa réciproque est « \(Q \Rightarrow P\) ». Sa contraposée est « non \(Q \Rightarrow\) non \(P\) ».
Une implication est fausse dans un seul cas : quand l’hypothèse est vraie et la conclusion fausse. Un point essentiel : une implication et sa contraposée sont toujours vraies ou fausses ensemble, alors que la réciproque est une affirmation différente, qu’il faut examiner à part.
Sur la figure, tout multiple de \(4\) est pair : l’implication « si \(n\) est multiple de \(4\), alors \(n\) est pair » est vraie. Mais \(6\) est pair sans être multiple de \(4\) : la réciproque est fausse.
Implication : « si un entier est multiple de \(9\), alors il est multiple de \(3\) ». Elle est vraie, car \(9k = 3 \times 3k\).
Réciproque : « si un entier est multiple de \(3\), alors il est multiple de \(9\) ». Elle est fausse : \(12\) est multiple de \(3\) mais pas de \(9\).
Contraposée : « si un entier n’est pas multiple de \(3\), alors il n’est pas multiple de \(9\) ». Elle est vraie, comme l’implication de départ.
Confondre une implication et sa réciproque. « S’il pleut, le sol est mouillé » est vraie ; « si le sol est mouillé, il pleut » ne l’est pas (un arrosage suffit).
3. Équivalence
On écrit \(P \Leftrightarrow Q\) (« \(P\) si et seulement si \(Q\) ») quand \(P \Rightarrow Q\) et \(Q \Rightarrow P\) sont toutes les deux vraies. Les deux propositions sont alors vraies ensemble ou fausses ensemble.
- Démontre l’implication directe \(P \Rightarrow Q\).
- Démontre la réciproque \(Q \Rightarrow P\).
- Conclus : \(P \Leftrightarrow Q\).
Pour un réel \(x\) : \(3x - 5 = 10 \Leftrightarrow 3x = 15 \Leftrightarrow x = 5\). Chaque étape peut se lire dans les deux sens, donc \(5\) est l’unique solution.
En revanche, \(x^2 = 16 \Leftrightarrow x = 4\) est fausse : de \(x = 4\) on déduit \(x^2 = 16\), mais \(x^2 = 16\) est aussi vérifiée par \(x = -4\).
4. Les quantificateurs « pour tout » et « il existe »
Pour parler de tous les éléments d’un ensemble, ou de l’un d’entre eux, on dispose de deux symboles.
\(\forall\) signifie « pour tout » : « \(\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \geqslant 0\) » dit que le carré de n’importe quel réel est positif ou nul. \(\exists\) signifie « il existe (au moins un) » : « \(\exists n \in \mathbb{N},\ n + 3 = 10\) » est vraie, avec \(n = 7\).
La négation de « \(\forall x,\ P(x)\) » est « \(\exists x,\ \text{non } P(x)\) ». La négation de « \(\exists x,\ P(x)\) » est « \(\forall x,\ \text{non } P(x)\) ».
Exemple dans la vie courante : nier « tous les élèves du groupe ont un téléphone » donne « au moins un élève du groupe n’a pas de téléphone », et non « aucun élève n’a de téléphone ».
Considérons « \(\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \geqslant x \) ». Pour \(x = 3\) : \(9 \geqslant 3\), vrai ; pour \(x = -2\) : \(4 \geqslant -2\), vrai. Mais pour \(x = 0{,}5\) : \(x^2 = 0{,}25\) et \(0{,}25 \lt 0{,}5\). La proposition est donc fausse. Sa négation, « \(\exists x \in \mathbb{R},\ x^2 \lt x\) », est vraie.
5. Contre-exemple et modes de raisonnement
Pour réfuter une proposition du type « \(\forall x,\ P(x)\) », il suffit d’exhiber un seul \(x\) pour lequel \(P(x)\) est fausse : c’est un contre-exemple. À l’inverse, des centaines d’exemples qui marchent ne prouvent jamais une proposition en « pour tout ».
Pour prouver « pour tout entier \(n\) », on prend un entier \(n\) quelconque et on raisonne avec des lettres, pas avec des valeurs particulières.
Montrons que, pour tout entier \(n\), \(n^3 - n\) est pair.
Si \(n\) est pair, \(n^3\) est pair, et la différence de deux pairs \(n^3 - n\) est paire. Si \(n\) est impair, \(n^3\) est impair, et la différence de deux impairs \(n^3 - n\) est paire. Dans les deux cas \(n^3 - n\) est pair, et comme tout entier est pair ou impair, la propriété est démontrée.
Montrons qu’il n’existe pas de plus petit réel strictement positif. Supposons qu’il en existe un, noté \(a\). Alors \(\dfrac{a}{2}\) est un réel strictement positif et \(\dfrac{a}{2} \lt a\), ce qui contredit le choix de \(a\). L’hypothèse était donc absurde : il n’existe pas de plus petit réel strictement positif.
Sur ma planète, on dit : « un seul grain de poussière dans l’engrenage suffit à l’arrêter. » C’est exactement le rôle du contre-exemple : une seule valeur qui cloche réfute un « pour tout ».
6. Variables et affectations
Une variable est une case de mémoire portant un nom, qui contient une valeur. L’affectation range une valeur dans une variable ; on la note \(a \leftarrow 7\) en pseudo-code et a = 7 en Python. Attention : « = » n’est pas ici une égalité mathématique, mais un ordre : « calcule le membre de droite, puis range le résultat dans la variable de gauche ».
C’est pourquoi l’instruction n = n + 1, absurde comme équation, est parfaitement légale : elle augmente \(n\) de \(1\). Pour suivre un programme à la main, on dresse un tableau de suivi qui donne les valeurs des variables après chaque ligne.
a = 7
b = a * 2
a = b - a
b = a + 1
| Après la ligne | a | b |
|---|---|---|
| a = 7 | 7 | — |
| b = a * 2 | 7 | 14 |
| a = b - a | 7 | 14 |
| b = a + 1 | 7 | 8 |
À la fin, \(a = 7\) et \(b = 8\). Remarque : à la troisième ligne, \(a\) reçoit \(14 - 7 = 7\), donc garde la même valeur.
Pour échanger deux variables \(a\) et \(b\), il faut une variable auxiliaire : t = a, puis a = b, puis b = t. Sans elle, on écraserait une valeur.
7. Conditions et boucles
Une condition « si… sinon… » permet à un programme de choisir. En Python on écrit if suivi d’un test, deux-points, puis un bloc décalé vers la droite (l’indentation compte !). Le test utilise == (égal), != (différent), <, >, et se combine avec and, or, not, qui sont les « et », « ou » et la négation de la partie 1.
n = int(input())
if n % 2 == 0:
print("pair")
else:
print("impair")
L’opérateur % donne le reste de la division euclidienne : \(17\) % \(5\) vaut \(2\), et un entier est pair exactement quand \(n\) % \(2\) vaut \(0\). L’opérateur // donne le quotient entier.
Une boucle pour répète un bloc un nombre connu de fois : for i in range(1, 6): fait prendre à \(i\) les valeurs \(1, 2, 3, 4, 5\) (la borne \(6\) est exclue). Une boucle tant que répète tant qu’une condition reste vraie : while c < 300:.
S = 0
for i in range(1, 6):
S = S + 2 * i - 1
print(S)
Les valeurs successives de \(2i - 1\) sont \(1, 3, 5, 7, 9\) et \(S\) devient \(1, 4, 9, 16, 25\). Le programme affiche \(25\), c’est-à-dire \(5^2\).
L’organigramme ci-dessus se traduit ainsi :
c = 5
k = 0
while c < 300:
c = 2 * c
k = k + 1
print(k)
La variable \(c\) prend les valeurs \(5, 10, 20, 40, 80, 160, 320\). Dès que \(c = 320\), le test \(c \lt 300\) devient faux et la boucle s’arrête, après \(6\) passages. Le programme affiche \(6\).
Écrire une boucle « tant que » dont la condition ne devient jamais fausse : le programme tourne sans fin. Vérifie toujours qu’une variable du test évolue dans la boucle.
8. Programmer en Python : fonctions et tests de conjectures
Une fonction regroupe des instructions sous un nom et renvoie un résultat avec return. Elle se définit avec def.
def est_multiple(n, d):
return n % d == 0
L’appel est_multiple(21, 7) renvoie True (vrai) et est_multiple(22, 7) renvoie False (faux). Le résultat est un booléen : c’est la valeur de vérité d’une proposition.
La programmation sert aussi à chercher un contre-exemple. Testons la conjecture « pour tout entier \(n \geqslant 1\), \(n^2 \leqslant 2^n\) » :
n = 1
while n ** 2 <= 2 ** n:
n = n + 1
print(n)
La boucle s’arrête au premier \(n\) qui ne vérifie pas l’inégalité. Pour \(n = 1\) et \(n = 2\) elle est vraie (\(1 \leqslant 2\) et \(4 \leqslant 4\)), mais pour \(n = 3\) on a \(9 \gt 8\) : le programme affiche \(3\), et \(n = 3\) est un contre-exemple. La conjecture est fausse. Un programme peut ainsi réfuter une proposition « pour tout », mais jamais la prouver, car il ne teste qu’un nombre fini de valeurs.
À retenir
- Une implication \(P \Rightarrow Q\) a pour réciproque \(Q \Rightarrow P\) (autre affirmation) et pour contraposée « non \(Q \Rightarrow\) non \(P\) » (équivalente à l’implication).
- \(P \Leftrightarrow Q\) signifie que les deux implications sont vraies : \(P\) et \(Q\) sont vraies ensemble ou fausses ensemble.
- \(\forall\) = « pour tout », \(\exists\) = « il existe ». Nier \(\forall\) donne \(\exists\) non, nier \(\exists\) donne \(\forall\) non.
- Un seul contre-exemple réfute un « pour tout » ; des exemples ne le prouvent jamais.
- En Python, = est une affectation, == un test d’égalité ; % donne le reste et // le quotient.
- for répète un nombre connu de fois (range(1, 6) exclut 6) ; while répète tant que la condition est vraie, et doit pouvoir s’arrêter.
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