Combien de livres lis-tu pendant les vacances ? Combien de temps mets-tu pour venir au collège ? Dès qu’on pose la même question à beaucoup de personnes, on obtient une grande liste de nombres difficile à lire. Les statistiques servent à organiser ces données, à les résumer avec quelques nombres bien choisis (moyenne, médiane, quartiles…) et à les représenter par des graphiques, pour mieux comprendre et comparer.
1. Le vocabulaire des statistiques
La population est l’ensemble des personnes ou des objets étudiés. Le caractère est ce que l’on observe sur chacun. Ses différentes valeurs sont les résultats possibles. Un caractère est quantitatif si ses valeurs sont des nombres (âge, taille, note) et qualitatif sinon (couleur, sport préféré).
L’effectif d’une valeur est le nombre de fois qu’elle apparaît. L’effectif total \(N\) est le nombre de personnes ou d’objets étudiés : c’est la somme de tous les effectifs.
Exemple : on demande à \(25\) élèves combien de livres ils ont lus pendant l’été. La population est formée des \(25\) élèves, le caractère est « nombre de livres lus » (quantitatif) et l’effectif total est \(N = 25\).
2. Effectifs et fréquences
La fréquence d’une valeur est le quotient de son effectif \(n\) par l’effectif total \(N\) : \[ f = \dfrac{n}{N} \] Elle se donne sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage. La somme de toutes les fréquences vaut \(1\), soit \(100\ \%\).
Voici les réponses des \(25\) élèves.
| Livres lus | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 3 | 5 | 8 | 6 | 3 | 25 |
| Fréquence | 12 % | 20 % | 32 % | 24 % | 12 % | 100 % |
Pour la valeur \(2\) : \(f = \dfrac{8}{25} = 0{,}32 = 32\ \%\). On vérifie que \(12 + 20 + 32 + 24 + 12 = 100\) : les fréquences ont bien pour somme \(100\ \%\).
Ce diagramme en barres représente la même série : la hauteur de chaque barre est proportionnelle à l’effectif.
3. La moyenne
La moyenne d’une série de nombres est leur somme divisée par l’effectif total : \[ m = \dfrac{\text{somme des valeurs}}{\text{effectif total}} \] Quand les valeurs sont données avec leurs effectifs, on multiplie chaque valeur par son effectif avant d’additionner.
Pour la série des livres lus :
\(m = \dfrac{0 \times 3 + 1 \times 5 + 2 \times 8 + 3 \times 6 + 4 \times 3}{25} = \dfrac{0 + 5 + 16 + 18 + 12}{25} = \dfrac{51}{25} = 2{,}04\).
En moyenne, chaque élève a lu environ \(2{,}04\) livres, même si personne n’en a lu exactement \(2{,}04\) !
La moyenne n’est pas forcément une valeur de la série, et elle est sensible aux valeurs très grandes ou très petites. Ne calcule jamais la moyenne des effectifs : ce sont les valeurs qu’on additionne, chacune autant de fois que son effectif.
4. La moyenne pondérée
Parfois, certaines valeurs comptent plus que d’autres : on leur attribue un coefficient.
La moyenne pondérée est la somme des valeurs multipliées chacune par son coefficient, divisée par la somme des coefficients.
Léna a \(14\) en maths (coefficient \(4\)), \(11\) en français (coefficient \(3\)), \(16\) en histoire (coefficient \(2\)) et \(9\) en anglais (coefficient \(1\)).
\(m = \dfrac{14 \times 4 + 11 \times 3 + 16 \times 2 + 9 \times 1}{4 + 3 + 2 + 1} = \dfrac{56 + 33 + 32 + 9}{10} = \dfrac{130}{10} = 13\).
Sa moyenne pondérée est \(13\). Sans coefficients, on aurait trouvé \(\dfrac{14 + 11 + 16 + 9}{4} = 12{,}5\) : les coefficients changent le résultat.
Sur ma planète, on dit qu’un coefficient 4 revient à écrire la note 4 fois dans la liste. C’est exactement ce que font les effectifs dans une moyenne : la moyenne avec effectifs est une moyenne pondérée !
5. La médiane et l’étendue
La médiane d’une série de nombres est une valeur qui partage la série rangée dans l’ordre croissant en deux groupes de même effectif : au moins la moitié des valeurs lui sont inférieures ou égales, et au moins la moitié lui sont supérieures ou égales.
- Range les valeurs dans l’ordre croissant.
- Si l’effectif total est impair, la médiane est la valeur du milieu.
- Si l’effectif total est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs du milieu.
Série impaire : \(14\ ;\ 9\ ;\ 17\ ;\ 11\ ;\ 9\ ;\ 20\ ;\ 12\). Rangée : \(9\ ;\ 9\ ;\ 11\ ;\ 12\ ;\ 14\ ;\ 17\ ;\ 20\). Il y a \(7\) valeurs : la médiane est la \(4\)ème, soit \(12\).
Série paire : \(3\ ;\ 5\ ;\ 8\ ;\ 9\ ;\ 12\ ;\ 20\). Il y a \(6\) valeurs : la médiane est la moyenne de la \(3\)ème et de la \(4\)ème, soit \(\dfrac{8 + 9}{2} = 8{,}5\).
L’étendue d’une série est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : elle mesure à quel point les valeurs sont dispersées.
Pour la série paire ci-dessus, l’étendue est \(20 - 3 = 17\). Dans la série des livres lus, elle vaut \(4 - 0 = 4\) et la médiane est \(2\) : sur \(25\) élèves, la \(13\)ème valeur est un \(2\) puisque les effectifs cumulés sont \(3\), \(8\) puis \(16\).
6. Les quartiles
La médiane coupe la série en deux. Les quartiles la coupent en quatre groupes à peu près égaux.
Le premier quartile \(Q_1\) est la plus petite valeur de la série rangée telle qu’au moins 25 % des valeurs lui soient inférieures ou égales. Le troisième quartile \(Q_3\) est la plus petite valeur telle qu’au moins 75 % des valeurs lui soient inférieures ou égales. L’écart interquartile est \(Q_3 - Q_1\).
- Range la série et compte les \(N\) valeurs.
- Calcule \(\dfrac{N}{4}\) et arrondis à l’entier supérieur : \(Q_1\) est la valeur de ce rang.
- Calcule \(\dfrac{3N}{4}\) et arrondis à l’entier supérieur : \(Q_3\) est la valeur de ce rang.
Temps de trajet (en minutes) de \(12\) élèves, rangés : \(5\ ;\ 8\ ;\ 8\ ;\ 10\ ;\ 12\ ;\ 15\ ;\ 15\ ;\ 18\ ;\ 20\ ;\ 25\ ;\ 30\ ;\ 45\).
\(N = 12\). Médiane : moyenne de la \(6\)ème et de la \(7\)ème valeur, soit \(\dfrac{15 + 15}{2} = 15\). Comme \(\dfrac{12}{4} = 3\), \(Q_1\) est la \(3\)ème valeur : \(Q_1 = 8\). Comme \(\dfrac{3 \times 12}{4} = 9\), \(Q_3\) est la \(9\)ème valeur : \(Q_3 = 20\).
L’écart interquartile vaut \(20 - 8 = 12\) minutes, et l’étendue \(45 - 5 = 40\) minutes. Au moins la moitié des élèves ont un trajet compris entre \(8\) et \(20\) minutes.
Pour toute série, \(\text{minimum} \leqslant Q_1 \leqslant \text{médiane} \leqslant Q_3 \leqslant \text{maximum}\). Au moins 50 % des valeurs sont comprises entre \(Q_1\) et \(Q_3\).
7. Diagrammes et histogrammes
Un bon graphique se lit en un coup d’œil. Choisis-le selon les données.
- Le diagramme en barres (ou bâtons) convient aux valeurs isolées : la hauteur est proportionnelle à l’effectif.
- Le diagramme circulaire montre une répartition : l’angle d’un secteur est proportionnel à l’effectif, soit \(\text{angle} = f \times 360^\circ\).
- L’histogramme convient quand les valeurs sont regroupées en classes contiguës : ici, c’est la hauteur des barres qui représente l’effectif (classes de même largeur).
- Le diagramme en boîte résume la série par cinq nombres : minimum, \(Q_1\), médiane, \(Q_3\), maximum.
On a mesuré la taille de \(40\) élèves, en classes de largeur \(5\) cm.
La classe \([150\,;\,155[\) est la plus fréquente avec \(15\) élèves. Pour estimer la moyenne, on remplace chaque classe par son centre : \(142{,}5\), \(147{,}5\), \(152{,}5\), \(157{,}5\) et \(162{,}5\).
\(m \approx \dfrac{142{,}5 \times 5 + 147{,}5 \times 12 + 152{,}5 \times 15 + 157{,}5 \times 6 + 162{,}5 \times 2}{40} = \dfrac{6\,040}{40} = 151\) cm.
Voici le diagramme en boîte de la série des temps de trajet : la boîte va de \(Q_1\) à \(Q_3\), le trait orange marque la médiane et les moustaches vont jusqu’au minimum et au maximum.
8. Interpréter des données
Calculer ne suffit pas : il faut conclure avec une phrase qui a du sens.
- La moyenne donne une valeur « centrale » mais subit l’influence des valeurs extrêmes.
- La médiane résiste aux valeurs extrêmes : elle décrit mieux le centre quand la série contient une valeur isolée très grande ou très petite.
- L’étendue et l’écart interquartile mesurent la dispersion : plus ils sont petits, plus la série est régulière.
Dans la série des trajets, la moyenne est \(\dfrac{211}{12} \approx 17{,}6\) minutes alors que la médiane est \(15\) minutes : le trajet isolé de \(45\) minutes tire la moyenne vers le haut. Pour dire ce qui est « typique », la médiane \(15\) est ici plus fidèle.
Deux séries peuvent avoir la même moyenne et être très différentes. Compare toujours une mesure du centre et une mesure de dispersion avant de conclure.
À retenir
- La fréquence d’une valeur est \(\dfrac{\text{effectif}}{\text{effectif total}}\) ; la somme des fréquences vaut \(100\ \%\).
- La moyenne est la somme des valeurs divisée par l’effectif total ; avec des effectifs ou des coefficients, on pondère.
- La médiane partage la série rangée en deux groupes de même effectif ; l’étendue est « maximum − minimum ».
- \(Q_1\) et \(Q_3\) : au moins \(25\ \%\) et au moins \(75\ \%\) des valeurs leur sont inférieures ou égales ; l’écart interquartile est \(Q_3 - Q_1\).
- Barres pour des valeurs isolées, circulaire pour une répartition, histogramme pour des classes, boîte pour les cinq nombres-clés.
- Interpréter, c’est conclure par une phrase en comparant centre et dispersion.
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