Tracer une courbe sans lever le crayon, résoudre une équation dont on ne sait pas écrire la solution, prouver qu’une fonction atteint un maximum : toutes ces idées reposent sur deux notions voisines, la limite et la continuité. Ce chapitre les formalise avec la rigueur d’une classe préparatoire, puis en tire les grands théorèmes : valeurs intermédiaires, bornes atteintes, bijection, et enfin continuité uniforme.
1. Limite d’une fonction
Soit \(f : D \to \mathbb{R}\) et \(a \in \mathbb{R}\) un point adhérent à \(D\) (il existe des points de \(D\) arbitrairement proches de \(a\)). On dit que \(f\) tend vers \(\ell \in \mathbb{R}\) en \(a\) si
\[ \forall \varepsilon \gt 0,\ \exists \delta \gt 0,\ \forall x \in D,\quad |x-a| \leqslant \delta \Longrightarrow |f(x)-\ell| \leqslant \varepsilon. \]
Les autres cas se lisent en adaptant les deux membres de l’implication : pour \(a = +\infty\), la condition \(|x-a| \leqslant \delta\) devient \(x \geqslant B\) ; pour \(\ell = +\infty\), la condition \(|f(x)-\ell| \leqslant \varepsilon\) devient \(f(x) \geqslant A\), où \(A\) est un réel arbitraire. On note \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \ell\).
Sur la figure, on se donne la tolérance verticale \(\varepsilon = 1\) autour de la limite \(5\). Il suffit alors de rester dans la bande verticale \(|x-2| \leqslant \tfrac13\) pour que la courbe reste dans la bande horizontale.
- Unicité : si une limite existe, elle est unique.
- Si \(a \in D\) et si \(f\) admet une limite finie en \(a\), alors cette limite vaut \(f(a)\), car \(x = a\) est autorisé dans la définition.
- Caractérisation séquentielle : \(\lim_{a} f = \ell\) si et seulement si, pour toute suite \((u_n)\) d’éléments de \(D\) qui tend vers \(a\), la suite \((f(u_n))\) tend vers \(\ell\).
- On définit de même la limite à gauche \(\lim_{x \to a^-} f\) et la limite à droite \(\lim_{x \to a^+} f\), en travaillant sur \(D \cap\, ]-\infty, a[\) ou \(D \cap\, ]a, +\infty[\).
Montrons que \(\lim_{x \to 2} (3x - 1) = 5\). Soit \(\varepsilon \gt 0\). Pour tout réel \(x\), \(|(3x-1) - 5| = 3\,|x-2|\). Il suffit donc de choisir \(\delta = \varepsilon / 3\) : si \(|x-2| \leqslant \delta\), alors \(|f(x) - 5| \leqslant 3\delta = \varepsilon\). Le réel \(\delta\) dépend de \(\varepsilon\), pas de \(x\).
2. Opérations, composition et inégalités
Si \(f\) et \(g\) ont des limites en \(a\), alors \(f+g\), \(fg\) et \(f/g\) (quand \(g\) ne s’annule pas) ont pour limites la somme, le produit et le quotient des limites, sauf dans les quatre formes indéterminées \(+\infty-\infty\), \(0 \times \infty\), \(\infty/\infty\) et \(0/0\).
Composition : si \(\lim_{a} f = b\) et \(\lim_{b} g = \ell\), alors \(\lim_{a} g \circ f = \ell\).
Inégalités : si \(f \leqslant g\) au voisinage de \(a\) et si les deux limites existent, alors \(\lim_a f \leqslant \lim_a g\). Attention, les inégalités strictes deviennent larges à la limite.
Théorème des gendarmes : si \(g \leqslant f \leqslant h\) au voisinage de \(a\) et si \(g\) et \(h\) tendent toutes deux vers \(\ell\), alors \(f\) tend vers \(\ell\).
Limite monotone : une fonction croissante sur \(]a,b[\) admet une limite en \(a^+\) et en \(b^-\) ; ces limites sont finies si la fonction est minorée (en \(a\)) ou majorée (en \(b\)).
- Pour un quotient de polynômes en \(\pm\infty\), factoriser le terme de plus haut degré.
- Avec des racines carrées, multiplier par la quantité conjuguée.
- Pour \(0/0\) avec une racine ou une factorisation évidente, simplifier le facteur qui s’annule.
- En dernier recours, passer aux équivalents (partie 3).
Pour \(x \gt -1\) et \(x \neq 0\), \[ \dfrac{\sqrt{1+x}-1}{x} = \dfrac{(1+x)-1}{x\,(\sqrt{1+x}+1)} = \dfrac{1}{\sqrt{1+x}+1}. \] Cette expression tend vers \(\dfrac{1}{1+1} = \dfrac12\) quand \(x\) tend vers \(0\).
3. Comparaison locale
Soit \(g\) ne s’annulant pas au voisinage de \(a\) (sauf peut-être en \(a\)). On écrit :
- \(f = O(g)\) en \(a\) si \(f/g\) est bornée au voisinage de \(a\) ;
- \(f = o(g)\) en \(a\) si \(f/g\) tend vers \(0\) ;
- \(f \sim g\) en \(a\) si \(f/g\) tend vers \(1\), ce qui équivaut à \(f - g = o(g)\).
Les équivalents usuels en \(0\) sont les plus utiles : \(\sin x \sim x\), \(\tan x \sim x\), \(1 - \cos x \sim \dfrac{x^2}{2}\), \(\ln(1+x) \sim x\), \(e^x - 1 \sim x\) et \((1+x)^\alpha - 1 \sim \alpha x\). Les croissances comparées disent qu’en \(+\infty\), \(\ln x = o(x^\alpha)\) et \(x^\alpha = o(e^x)\) pour tout \(\alpha \gt 0\).
La relation \(\sim\) est compatible avec le produit, le quotient et les puissances. Si \(f \sim g\) et si \(g\) tend vers \(\ell\), alors \(f\) tend aussi vers \(\ell\). On peut composer à droite : si \(f \sim g\) en \(b\) et si \(u(x) \to b\) quand \(x \to a\), alors \(f \circ u \sim g \circ u\) en \(a\).
On n’additionne pas des équivalents : en \(+\infty\), \(x + 1 \sim x\) et \(-x \sim -x\), mais la somme vaut \(1\), qui n’est pas équivalente à \(0\). On ne compose pas à gauche non plus : en \(+\infty\), \(x^2 + x \sim x^2\), pourtant \(e^{x^2+x} / e^{x^2} = e^{x} \to +\infty\).
En \(0\), \(e^{3x} - 1 \sim 3x\) et \(\sin(2x) \sim 2x\). Donc \(\dfrac{e^{3x}-1}{\sin(2x)} \sim \dfrac{3x}{2x} = \dfrac32\), et la limite en \(0\) vaut \(\dfrac32\).
Sur cette figure, la fonction \(x \mapsto x \sin(1/x)\) oscille sans cesse près de \(0\), mais elle reste enfermée entre \(-|x|\) et \(|x|\) : par encadrement, sa limite en \(0\) vaut \(0\). On a \(f = O(x)\), sans équivalent plus simple.
4. Continuité en un point
Soit \(f\) définie sur un intervalle \(I\) et \(a \in I\). La fonction \(f\) est continue en \(a\) si \(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\). Elle est continue sur \(I\) si elle est continue en tout point de \(I\). On parle de continuité à gauche ou à droite en \(a\) quand la limite à gauche ou à droite vaut \(f(a)\).
Par la caractérisation séquentielle, \(f\) est continue en \(a\) si et seulement si \(f(u_n) \to f(a)\) pour toute suite \((u_n)\) qui tend vers \(a\). Les sommes, produits, quotients (dénominateur non nul) et composées de fonctions continues sont continues ; les polynômes, \(\exp\), \(\ln\), \(\sin\), \(\cos\), les puissances et la valeur absolue sont continus sur leur domaine.
Soit \(f(x) = \dfrac{x^2-1}{\sqrt{x}-1}\) pour \(x \gt 0\), \(x \neq 1\). Comme \(x - 1 = (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)\), on a \(f(x) = (\sqrt{x}+1)(x+1)\), qui tend vers \(2 \times 2 = 4\) en \(1\). La fonction se prolonge donc par continuité en posant \(f(1) = 4\).
Une fonction peut avoir une limite en \(a\) sans être continue en \(a\) : c’est le cas de \(f(x) = 1\) pour \(x \neq 0\) avec \(f(0) = 0\). La partie entière est continue en tout point non entier, mais en un entier \(n\) elle est continue à droite (valeur \(n\)) et pas à gauche (limite \(n-1\)).
5. Théorème des valeurs intermédiaires
Soit \(f\) continue sur un intervalle \(I\) et \(a, b \in I\). Pour tout réel \(y\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe \(c\) compris entre \(a\) et \(b\) tel que \(f(c) = y\).
Idée de la preuve. Supposons \(a \lt b\), \(f(a) \leqslant 0 \leqslant f(b)\), et posons \(S = \{x \in [a,b] \mid f(x) \leqslant 0\}\), \(c = \sup S\). Par continuité, \(f(c) \leqslant 0\). Si \(f(c)\) était strictement négatif, la continuité donnerait des points \(x \gt c\) avec \(f(x) \lt 0\), ce qui contredit la définition de \(c\) ; donc \(f(c) = 0\).
Conséquences : l’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle, et une fonction continue qui ne s’annule pas sur un intervalle y garde un signe constant.
- Vérifier la continuité de \(f\) sur un intervalle.
- Trouver \(a, b\) avec \(f(a)\) et \(f(b)\) de signes contraires.
- Conclure avec le TVI ; si \(f\) est strictement monotone, la solution est unique.
- Pour la localiser, couper l’intervalle en deux : c’est la dichotomie.
Soit \(f(x) = x^3 + x - 3\), continue et strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). On a \(f(1) = -1 \lt 0\) et \(f(2) = 7 \gt 0\) : il existe un unique \(c \in\, ]1, 2[\) tel que \(f(c) = 0\). Puis \(f(1{,}2) = -0{,}072 \lt 0\) et \(f(1{,}3) = 0{,}497 \gt 0\), donc \(1{,}2 \lt c \lt 1{,}3\).
Sur ma planète, on dit que si un explorateur part sous le niveau de la mer et arrive au-dessus, il a forcément marché à la hauteur exacte de la mer : c’est le TVI, sans changer un mot !
6. Image d’un segment
Si \(f\) est continue sur un segment \([a,b]\), alors \(f\) est bornée et atteint ses bornes : il existe \(x_m, x_M \in [a,b]\) tels que \(f(x_m) = \min f\) et \(f(x_M) = \max f\). Avec le TVI, l’image du segment \([a,b]\) est le segment \([m, M]\), où \(m = \min f\) et \(M = \max f\).
Idée de la preuve. Soit \(M = \sup f([a,b])\) (éventuellement \(+\infty\)). On choisit des points \(x_n\) tels que \(f(x_n) \to M\). Le théorème de Bolzano-Weierstrass fournit une sous-suite qui converge vers un point \(c \in [a,b]\). La continuité donne \(f(c) = M\), donc \(M\) est fini et atteint.
La fonction \(x \mapsto 1/x\) est continue sur \(]0,1]\), mais non bornée. La fonction \(x \mapsto x\) est continue et bornée sur \(]0,1[\), mais n’y atteint pas ses bornes. Le segment doit être fermé et borné.
Soit \(f(x) = x^2 - 4x + 1 = (x-2)^2 - 3\) sur \([0,3]\). Son minimum est \(f(2) = -3\). Aux extrémités, \(f(0) = 1\) et \(f(3) = -2\), donc le maximum vaut \(1\). L’image de \([0,3]\) est le segment \([-3, 1]\).
7. Théorème de la bijection
Soit \(f\) continue et strictement monotone sur un intervalle \(I\). Alors \(f\) réalise une bijection de \(I\) sur l’intervalle \(J = f(I)\), dont les extrémités sont les limites de \(f\) aux bornes de \(I\). La bijection réciproque \(f^{-1} : J \to I\) est continue, strictement monotone, de même sens que \(f\), et sa courbe est la symétrique de celle de \(f\) par rapport à la droite d’équation \(y = x\).
Réciproquement, une fonction continue et injective sur un intervalle est strictement monotone : un « virage » donnerait deux antécédents d’une même valeur, ce que le TVI rend inévitable.
La fonction \(f(x) = x^3 + 2x\) est continue et strictement croissante (somme de deux fonctions strictement croissantes), de limites \(-\infty\) en \(-\infty\) et \(+\infty\) en \(+\infty\). C’est donc une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}\). Comme \(f(1) = 3\), on a \(f^{-1}(3) = 1\) : sur la figure, les points \(M(1\,;\,3)\) et \(M'(3\,;\,1)\) sont symétriques par rapport à la droite \(y = x\).
8. Continuité uniforme
Une fonction \(f : D \to \mathbb{R}\) est uniformément continue sur \(D\) si
\[ \forall \varepsilon \gt 0,\ \exists \delta \gt 0,\ \forall (x,y) \in D^2,\quad |x-y| \leqslant \delta \Longrightarrow |f(x)-f(y)| \leqslant \varepsilon. \]
Elle est lipschitzienne de rapport \(k\) si \(|f(x)-f(y)| \leqslant k\,|x-y|\) pour tous \(x, y\).
La différence avec la continuité tient à l’ordre des quantificateurs : ici \(\delta\) ne dépend que de \(\varepsilon\), alors que pour la simple continuité en \(a\) il dépend aussi du point \(a\).
| Notion | Quantificateurs | Le réel \(\delta\) dépend de… |
|---|---|---|
| Continuité en \(a\) | \(\forall \varepsilon\ \exists \delta\ \forall x\) | du point \(a\) et de \(\varepsilon\) |
| Continuité uniforme | \(\forall \varepsilon\ \exists \delta\ \forall x, y\) | de \(\varepsilon\) seulement |
| Lipschitz de rapport \(k\) | \(\exists k\ \forall x, y\) | on prend \(\delta = \varepsilon / k\) |
Lipschitzienne \(\Rightarrow\) uniformément continue \(\Rightarrow\) continue. Aucune réciproque n’est vraie en général, mais le théorème de Heine affirme que toute fonction continue sur un segment est uniformément continue.
Chercher deux suites \((x_n)\) et \((y_n)\) de \(D\) telles que \(x_n - y_n \to 0\) alors que \(|f(x_n) - f(y_n)|\) reste supérieur à un réel \(\varepsilon_0 \gt 0\).
Posons \(x_n = n\) et \(y_n = n + \dfrac1n\). Alors \(y_n - x_n = \dfrac1n \to 0\), mais \(y_n^2 - x_n^2 = 2 + \dfrac{1}{n^2} \geqslant 2\). La fonction carré n’est donc pas uniformément continue sur \(\mathbb{R}\), alors qu’elle l’est sur tout segment, d’après le théorème de Heine.
À retenir
- Une limite se définit par \(\varepsilon\) et \(\delta\) ; elle est unique, et se teste par les suites.
- Formes indéterminées : factoriser, conjuguer, simplifier, ou utiliser des équivalents (jamais de somme d’équivalents).
- \(f\) est continue en \(a\) si \(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\) ; on prolonge par continuité quand la limite existe en un point exclu.
- TVI : l’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
- Bornes atteintes : l’image d’un segment par une fonction continue est un segment.
- Bijection : continue et strictement monotone sur un intervalle donne une bijection continue, de réciproque continue.
- Lipschitz \(\Rightarrow\) uniformément continue \(\Rightarrow\) continue ; sur un segment, continue \(\Rightarrow\) uniformément continue (Heine).
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