Réduction des endomorphismes : exercices de maths Licence L3 à télécharger en PDF

1 Un polynôme qui annule ★★★

Soit \(A = \begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}\) et \(P = X^2 - 5X + 6\).

1. Calculer \(P(A)\).
2. En déduire le polynôme minimal de \(A\).

2 Vrai ou faux ? ★★★

Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse, avec justification.

1. Le polynôme minimal de \(\mathrm{diag}(2,2,5)\) est \((X-2)(X-5)\).
2. Une matrice de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) peut avoir un polynôme minimal de degré \(4\).
3. Deux matrices de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{C})\) de mêmes polynômes caractéristique et minimal sont semblables.

3 Spectre d’une triangulaire ★★★

Soit \(T = \begin{pmatrix}1&4&0\\0&3&5\\0&0&1\end{pmatrix}\). Donner \(\chi_T\), les valeurs propres, et dire si \(T\) est trigonalisable.

4 Trace et déterminant ★★★

Une matrice \(A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) a pour trace \(5\) et pour déterminant \(6\).

1. Donner \(\chi_A\), les valeurs propres, le polynôme minimal. \(A\) est-elle diagonalisable ?
2. Même question si la trace est \(6\) et le déterminant \(9\).

5 Inverse par Cayley-Hamilton ★★★

Soit \(A = \begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\). Calculer \(\chi_A\), vérifier que \(A^2 - 3A + I = 0\), puis exprimer \(A^{-1}\) comme polynôme en \(A\) et la calculer.

6 Un nilpotent d’ordre 3 ★★★

Soit \(N = \begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}\). Calculer \(N^2\) et \(N^3\), le polynôme minimal et le polynôme caractéristique de \(N\), puis l’inverse de \(I + N\).

7 Projecteurs et symétries ★★★

Soit \(p\) un projecteur de \(E\) différent de \(0\) et de \(\mathrm{Id}\), et \(s\) une symétrie (\(s^2 = \mathrm{Id}\)) différente de \(\pm\mathrm{Id}\). Déterminer \(\mu_p\) et \(\mu_s\), puis dire si \(p\) et \(s\) sont diagonalisables.

8 Diagonaliser et calculer les puissances ★★★

Soit \(A = \begin{pmatrix}4&1\\2&3\end{pmatrix}\). Diagonaliser \(A\), puis calculer \(A^k\) pour tout entier \(k\) et vérifier le résultat pour \(k = 4\).

9 Une matrice non diagonalisable ★★★

Soit \(B = \begin{pmatrix}2&0&1\\0&3&0\\0&0&2\end{pmatrix}\). Déterminer \(\chi_B\), \(\dim\ker(B - 2I)\) et \(\mu_B\). \(B\) est-elle diagonalisable ?

10 Lemme des noyaux en pratique ★★★

Soit \(A = \begin{pmatrix}3&-2\\1&0\end{pmatrix}\).

1. Montrer que \(A^2 - 3A + 2I = 0\).
2. Décomposer le vecteur \(x = (3,2)\) selon \(\ker(A - I) \oplus \ker(A - 2I)\) à l’aide des projecteurs polynomiaux.

11 Trigonaliser une matrice 2x2 ★★★

Soit \(C = \begin{pmatrix}1&-1\\1&3\end{pmatrix}\). Montrer que \(C\) n’est pas diagonalisable, puis trouver \(P\) inversible telle que \(P^{-1}CP\) soit triangulaire supérieure.

12 Polynômes minimaux de deux matrices ★★★

Soit \(E_1 = \begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&2\end{pmatrix}\) et \(F = \mathrm{diag}(1,1,2)\). Déterminer \(\mu_{E_1}\) et \(\mu_F\) ; les deux matrices sont-elles semblables ?

13 Dunford d’une matrice 2x2 ★★★

Donner la décomposition de Dunford de \(C = \begin{pmatrix}1&-1\\1&3\end{pmatrix}\).

14 Puissances par le binôme ★★★

Avec les notations de l’exercice précédent, calculer \(C^k\) pour \(k \geq 1\), puis \(C^5\).

15 Une suite récurrente linéaire ★★★

La suite \((u_n)\) vérifie \(u_0 = 1\), \(u_1 = 4\) et \(u_{n+2} = 5u_{n+1} - 6u_n\). Poser \(A = \begin{pmatrix}5&-6\\1&0\end{pmatrix}\), diagonaliser \(A\) et en déduire une expression de \(u_n\).

16 Forme de Jordan d’une matrice 3x3 ★★★

Soit \(G = \begin{pmatrix}0&1&0\\0&1&1\\1&-1&2\end{pmatrix}\). Montrer que \(\chi_G = (X-1)^3\), calculer \(N = G - I\), \(N^2\), puis trouver une base de Jordan et la matrice de Jordan de \(G\).

17 Reconstituer la forme de Jordan d’un nilpotent ★★★

Un endomorphisme nilpotent \(N\) de \(\mathbb{C}^5\) vérifie \(\dim\ker N = 2\), \(\dim\ker N^2 = 4\) et \(\dim\ker N^3 = 5\). Déterminer ses blocs de Jordan, \(\mu_N\) et les rangs de \(N\), \(N^2\), \(N^3\).

18 Dunford d’une matrice 3x3 ★★★

Soit \(M = \begin{pmatrix}1&1&0\\-1&3&0\\-1&4&-1\end{pmatrix}\). Calculer \(\chi_M\), le projecteur \(\pi\) sur \(\ker(M + I)\) parallèlement à \(\ker(M - 2I)^2\), puis la décomposition de Dunford de \(M\).

19 Réduction sur R et sur C ★★★

Soit \(R = \begin{pmatrix}0&-1\\1&-1\end{pmatrix}\). Montrer que \(R^2 + R + I = 0\). \(R\) est-elle diagonalisable sur \(\mathbb{R}\) ? sur \(\mathbb{C}\) ? Calculer \(R^{2026}\).

20 Classer les endomorphismes avec A³ = A² ★★★

Soit \(A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) vérifiant \(A^3 = A^2\) et \(\mathrm{rg}\,A = 2\). Montrer que \(A\) est semblable à l’une des deux matrices \(\mathrm{diag}(0,1,1)\) ou \(J_2(0) \oplus (1)\), et que ces deux cas se produisent.