Suites numériques et récurrence : cours de maths Terminale

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Cours de maths en Terminale : Suites numériques et récurrence — Zyro, l’explorateur de Planète Maths

Un capital qui grossit chaque année, une population qui s’effondre, une batterie qui s’use : tous ces phénomènes se décrivent par une suite de nombres, rangés dans l’ordre. En Terminale, tu apprends à répondre à trois questions : quelle est la formule du terme général, la suite monte-t-elle ou descend-elle, et où va-t-elle quand \(n\) devient immense ? Pour tout démontrer proprement, tu vas aussi maîtriser le raisonnement par récurrence.

Sommaire

1. Le raisonnement par récurrence

Principe de récurrence

Soit \(P(n)\) une propriété dépendant d’un entier \(n\). Si les deux conditions suivantes sont remplies :

initialisation : \(P(n_0)\) est vraie ;
hérédité : pour tout entier \(n \geq n_0\), « \(P(n)\) vraie » entraîne « \(P(n+1)\) vraie » ;

alors \(P(n)\) est vraie pour tout entier \(n \geq n_0\).

Pense à une longue rangée de dominos : si le premier tombe (initialisation) et si chaque domino qui tombe fait tomber le suivant (hérédité), alors tous les dominos tombent. Dans l’hérédité, on suppose \(P(n)\) pour un entier \(n\) fixé quelconque (c’est l’hypothèse de récurrence) et on démontre \(P(n+1)\).

Exemple 1

Démontrons que, pour tout entier \(n \geq 0\), \(5^n \geq 4n + 1\).

Initialisation. Pour \(n = 0\) : \(5^0 = 1\) et \(4 \times 0 + 1 = 1\), donc \(1 \geq 1\) est vrai.

Hérédité. Supposons \(5^n \geq 4n + 1\) pour un entier \(n\). Alors \(5^{n+1} = 5 \times 5^n \geq 5(4n+1) = 20n + 5\). Or \(20n + 5 \geq 4n + 5 = 4(n+1) + 1\) puisque \(16n \geq 0\). Donc \(5^{n+1} \geq 4(n+1) + 1\).

Conclusion. La propriété est vraie pour tout \(n \geq 0\).

Initialisation indispensable

Considère « \(10^n + 1\) est divisible par \(9\) ». L’hérédité marche : \(10^{n+1} + 1 = 10(10^n + 1) - 9\). Pourtant la propriété est fausse pour \(n = 0\) (le nombre \(2\) n’est pas divisible par \(9\)), et donc fausse pour tout \(n\). Une hérédité seule ne prouve rien.

Astuce de Zyro

Sur ma planète, on écrit toujours la phrase « supposons P(n) vraie » avant de démarrer l’hérédité, et on repère où on se sert de cette hypothèse. Si tu ne l’utilises jamais, ton raisonnement n’est pas une récurrence !

2. Suites arithmétiques et géométriques

Une suite \((u_n)\) associe à chaque entier \(n\) un réel \(u_n\). Deux familles se démontrent et se calculent à la perfection.

	Arithmétique de raison \(r\)	Géométrique de raison \(q\) (\(q \neq 0\))
Définition	\(u_{n+1} = u_n + r\)	\(u_{n+1} = q \times u_n\)
Terme général	\(u_n = u_0 + n r\)	\(u_n = u_0 \times q^n\)
Somme	\(u_0 + \dots + u_n = (n+1) \times \dfrac{u_0 + u_n}{2}\)	\(1 + q + \dots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}\) (\(q \neq 1\))
Variation	croissante si \(r \gt 0\), décroissante si \(r \lt 0\)	pour \(u_0 \gt 0\) : croissante si \(q \gt 1\), décroissante si \(0 \lt q \lt 1\)

Le nuage de points ci-dessus représente la suite géométrique \(u_n = 8 \times 0{,}7^n\) : les points sont en « escalier descendant » et s’écrasent vers l’axe des abscisses.

Exemple 2

Une plante mesure \(120\) mm et pousse de \(15\) mm par semaine : \((u_n)\) est arithmétique de raison \(15\), donc \(u_{20} = 120 + 20 \times 15 = 420\) mm. Une batterie de \(60\) kWh perd \(4\ \%\) de sa capacité chaque année : \(C_n = 60 \times 0{,}96^n\) (suite géométrique de raison \(0{,}96\)), donc \(C_5 = 60 \times 0{,}96^5 \approx 48{,}9\) kWh.

3. Sens de variation d’une suite

Suite croissante, décroissante

La suite \((u_n)\) est croissante si \(u_{n+1} \geq u_n\) pour tout \(n\), décroissante si \(u_{n+1} \leq u_n\) pour tout \(n\), et monotone si elle est l’un ou l’autre.

Trois méthodes

Étudier le signe de \(u_{n+1} - u_n\).
Si tous les termes sont strictement positifs, comparer \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) à \(1\).
Si \(u_n = f(n)\) avec \(f\) monotone sur \([0\,;\,+\infty[\), la suite a le même sens de variation que \(f\).

Exemple 3

Soit \(u_n = n^2 - 8n\). Alors \(u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 - 8(n+1) - n^2 + 8n = 2n - 7\). Cette différence est négative pour \(n \leq 3\) et positive pour \(n \geq 4\) : la suite décroît jusqu’au rang \(3\), puis croît à partir du rang \(4\). Elle n’est donc pas monotone sur \(\mathbb{N}\), mais elle est croissante à partir du rang \(4\).

4. Limite d’une suite

Limite finie, limite infinie

La suite \((u_n)\) converge vers \(\ell\) si tout intervalle ouvert contenant \(\ell\) contient tous les termes à partir d’un certain rang. Elle tend vers \(+\infty\) si, pour tout réel \(A\), tous les termes sont supérieurs à \(A\) à partir d’un certain rang. Une suite qui ne converge pas est dite divergente.

Sur la figure, la suite \(u_n = 3 - \dfrac{1}{n+1}\) se rapproche de \(3\) : à partir de \(u_5\), tous les termes sont dans l’intervalle \(]2{,}8\,;\,3{,}2[\). Si on choisit un intervalle plus étroit, il faudra attendre un rang plus grand, mais il existera toujours.

Limites de référence et suite \(q^n\)

\(\lim n = \lim n^2 = \lim \sqrt{n} = +\infty\) et \(\lim \dfrac{1}{n} = \lim \dfrac{1}{n^2} = \lim \dfrac{1}{\sqrt{n}} = 0\). Pour \(q^n\) : si \(q \gt 1\), la limite est \(+\infty\) ; si \(-1 \lt q \lt 1\), la limite est \(0\) ; si \(q \leq -1\), la suite n’a pas de limite.

Les limites se combinent par somme, produit et quotient comme pour les fonctions. Quatre cas sont des formes indéterminées : « \(\infty - \infty\) », « \(0 \times \infty\) », « \(\dfrac{\infty}{\infty}\) » et « \(\dfrac{0}{0}\) ». Pour les lever, on factorise le terme dominant.

Exemple 4

Pour \(u_n = \dfrac{3n^2 + n}{n^2 + 5}\), le quotient est de la forme « \(\dfrac{\infty}{\infty}\) ». On factorise : \(u_n = \dfrac{n^2\left(3 + \frac{1}{n}\right)}{n^2\left(1 + \frac{5}{n^2}\right)} = \dfrac{3 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{5}{n^2}}\). Le numérateur tend vers \(3\), le dénominateur vers \(1\) : \(\lim u_n = 3\).

5. Comparaison et théorème des gendarmes

Théorèmes de comparaison

Si \(u_n \geq v_n\) à partir d’un certain rang et \(\lim v_n = +\infty\), alors \(\lim u_n = +\infty\). Si \(u_n \leq v_n\) à partir d’un certain rang et \(\lim v_n = -\infty\), alors \(\lim u_n = -\infty\).

Théorème des gendarmes : si \(v_n \leq u_n \leq w_n\) à partir d’un certain rang et si \(\lim v_n = \lim w_n = \ell\), alors \(u_n\) converge et \(\lim u_n = \ell\).

Exemple 5

(a) Pour \(u_n = n^2 + 3\cos n\), comme \(\cos n \geq -1\), on a \(u_n \geq n^2 - 3\), et \(n^2 - 3 \to +\infty\) : donc \(\lim u_n = +\infty\).

(b) Pour \(u_n = \dfrac{2n + (-1)^n}{n+3}\), on encadre \((-1)^n\) entre \(-1\) et \(1\) : \(\dfrac{2n-1}{n+3} \leq u_n \leq \dfrac{2n+1}{n+3}\). Les deux bornes tendent vers \(2\) (on divise par \(n\)), donc \(\lim u_n = 2\).

Suites numériques Terminale : les termes de la suite (2n + (-1)^n)/(n+3) enserrés entre deux suites qui convergent vers 2, illustration du théorème des gendarmes

6. Suites monotones bornées

Suite majorée, minorée, bornée

La suite \((u_n)\) est majorée s’il existe un réel \(M\) tel que \(u_n \leq M\) pour tout \(n\), minorée s’il existe \(m\) tel que \(u_n \geq m\), et bornée si elle est les deux.

Théorème de convergence monotone

Toute suite croissante et majorée converge. Toute suite décroissante et minorée converge. Une suite croissante non majorée tend vers \(+\infty\).

Ce que le théorème ne dit pas

Il garantit l’existence d’une limite, pas sa valeur. Si \(u_n \leq M\), la limite \(\ell\) vérifie \(\ell \leq M\), mais pas forcément \(\ell = M\). Et « bornée » ne suffit pas sans monotonie : \((-1)^n\) est bornée et diverge.

Exemple 6

Soit \(u_n = \dfrac{5n + 2}{n + 1} = 5 - \dfrac{3}{n+1}\). Alors \(u_{n+1} - u_n = \dfrac{3}{n+1} - \dfrac{3}{n+2} = \dfrac{3}{(n+1)(n+2)} \gt 0\) : la suite est croissante. De plus \(u_n \lt 5\) : elle est majorée. Elle converge donc ; ici on voit même que sa limite est \(5\).

7. Suites définies par \(u_{n+1} = f(u_n)\)

Quand le terme suivant se calcule avec le précédent, on visualise la suite par une toile d’araignée : on part de \(u_0\) sur l’axe, on monte à la courbe de \(f\), on rejoint la droite \(y = x\), et on recommence.

Suites numériques Terminale : toile d’araignée de la suite u(n+1) = racine de (2 u(n) + 3) partant de u0 = 1, les termes croissent vers le point fixe 3

Limite et point fixe

Si \((u_n)\) converge vers \(\ell\) et si \(f\) est continue en \(\ell\), alors \(\ell\) vérifie \(f(\ell) = \ell\).

Méthode

Conjecturer le comportement (calculatrice, toile d’araignée).
Démontrer par récurrence que les termes restent dans un intervalle bien choisi.
Démontrer la monotonie (signe de \(f(u_n) - u_n\)).
Conclure à la convergence, puis résoudre \(f(\ell) = \ell\) et garder la solution qui appartient à l’intervalle.

Exemple 7

Soit \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = \sqrt{2u_n + 3}\). La fonction \(f(x) = \sqrt{2x+3}\) est croissante sur \([0\,;\,3]\) et \(f(3) = 3\).

Bornes. Montrons que \(0 \leq u_n \leq 3\). C’est vrai pour \(n=0\). Si \(0 \leq u_n \leq 3\), alors \(f(0) \leq u_{n+1} \leq f(3)\), soit \(\sqrt{3} \leq u_{n+1} \leq 3\), ce qui prouve la propriété au rang \(n+1\).

Monotonie. \(u_{n+1} - u_n = \sqrt{2u_n + 3} - u_n = \dfrac{2u_n + 3 - u_n^2}{\sqrt{2u_n+3} + u_n} = \dfrac{(3 - u_n)(u_n + 1)}{\sqrt{2u_n+3} + u_n} \geq 0\). La suite est croissante.

Limite. Croissante et majorée, elle converge vers \(\ell\) avec \(\ell = \sqrt{2\ell + 3}\), soit \(\ell^2 - 2\ell - 3 = 0\), d’où \(\ell = 3\) ou \(\ell = -1\). Comme \(\ell \geq 0\), \(\ell = 3\).

8. Algorithmes de seuil

Pour trouver le premier rang à partir duquel une suite passe un seuil, on utilise une boucle while qui calcule les termes un à un.

Exemple 8

Une réserve contient \(800\) litres et en perd \(4\ \%\) chaque jour : \(u_n = 800 \times 0{,}96^n\). On cherche le premier jour où il reste moins de \(500\) litres.

u = 800
n = 0
while u >= 500 :
u = 0.96 * u
n = n + 1

À la fin, \(n\) est le plus petit entier tel que \(u_n \lt 500\). Ici \(u_{11} \approx 510{,}6\) et \(u_{12} \approx 490{,}2\), donc le programme affiche \(n = 12\).

Danger : boucle infinie

Si la suite converge vers une limite qui n’atteint jamais le seuil (par exemple chercher \(u_n \gt 4\) pour une suite qui tend vers \(3\)), la boucle ne s’arrête jamais. Avant d’écrire l’algorithme, vérifie que le seuil sera franchi.

À retenir

Récurrence : initialisation, hérédité (on utilise l’hypothèse), conclusion. Les deux premières étapes sont indispensables.
Arithmétique : \(u_n = u_0 + nr\). Géométrique : \(u_n = u_0 q^n\), avec \(\lim q^n = 0\) si \(-1 \lt q \lt 1\) et \(+\infty\) si \(q \gt 1\).
Pour la monotonie : signe de \(u_{n+1} - u_n\), ou comparaison du quotient à \(1\) pour des termes positifs.
Formes indéterminées : on factorise le terme dominant ou on multiplie par la quantité conjuguée.
Gendarmes : encadrement par deux suites de même limite. Comparaison : minorer par une suite qui tend vers \(+\infty\).
Croissante majorée (ou décroissante minorée) : converge. Pour \(u_{n+1} = f(u_n)\), la limite vérifie \(f(\ell) = \ell\).
Seuil : boucle while ; attention à ne pas viser un seuil que la suite ne franchit jamais.