Un abonnement qui augmente de 3 € chaque mois, un livret qui rapporte 2 % chaque année, une population de renards qui diminue d’un dixième à chaque saison : dans tous ces cas, on passe d’un terme au suivant toujours de la même façon. Les suites arithmétiques et géométriques sont les deux modèles les plus simples de ces évolutions. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à les reconnaître, à écrire n’importe quel terme sans calculer tous les précédents, à les additionner et à comparer une croissance linéaire avec une croissance exponentielle.
1. Suites arithmétiques : on ajoute toujours la même chose
Une suite \((u_n)\) est arithmétique s’il existe un réel \(r\) tel que, pour tout entier naturel \(n\), \[ u_{n+1} = u_n + r. \] Le réel \(r\) s’appelle la raison de la suite.
Pour passer d’un terme au suivant, on ajoute toujours \(r\). Autrement dit, la différence \(u_{n+1} - u_n\) est constante et vaut \(r\). Pour savoir si une suite est arithmétique, on calcule donc cette différence et on regarde si elle ne dépend pas de \(n\).
La suite \(12\), \(17\), \(22\), \(27\), … a pour différences \(17 - 12 = 5\), \(22 - 17 = 5\), \(27 - 22 = 5\) : elle semble arithmétique de raison \(r = 5\). En revanche, la suite \(2\), \(4\), \(8\), \(14\), … a pour différences \(2\), \(4\), \(6\) : elle n’est pas arithmétique.
Vérifier la différence sur deux ou trois termes ne démontre rien : cela te donne seulement une idée. Pour prouver qu’une suite est arithmétique, il faut montrer que \(u_{n+1} - u_n\) est égal à la même constante pour tout \(n\).
2. Le terme général d’une suite arithmétique
Si \((u_n)\) est arithmétique de raison \(r\), alors pour tout entier \(n\) : \[ u_n = u_0 + n\,r. \] Plus généralement, pour tous entiers \(n\) et \(p\) : \(u_n = u_p + (n - p)\,r\).
Pourquoi ? Pour aller de \(u_0\) à \(u_n\), on fait \(n\) pas, et chaque pas ajoute \(r\) : on a donc ajouté \(n\) fois \(r\). Cette formule est une fonction affine de \(n\) : les points \((n\,;\,u_n)\) sont alignés sur une droite de pente \(r\).
La suite \((u_n)\) est arithmétique de premier terme \(u_0 = -4\) et de raison \(r = 3\). Alors \(u_n = -4 + 3n\), et donc \(u_{25} = -4 + 3 \times 25 = 71\).
- Écris la formule \(u_n = u_p + (n - p)\,r\) avec les deux termes connus.
- Isole \(r\) : \(r = \dfrac{u_n - u_p}{n - p}\).
- Si on te demande \(u_0\), utilise \(u_0 = u_p - p\,r\).
Par exemple, si \(u_7 = 19\) et \(u_{12} = 44\), alors \(r = \dfrac{44 - 19}{12 - 7} = 5\) et \(u_0 = 19 - 7 \times 5 = -16\).
3. Suites géométriques : on multiplie toujours par la même chose
Une suite \((v_n)\) est géométrique s’il existe un réel \(q\) tel que, pour tout entier naturel \(n\), \[ v_{n+1} = q \times v_n. \] Le réel \(q\) s’appelle la raison de la suite.
Ici on multiplie par \(q\) à chaque étape : le quotient \(\dfrac{v_{n+1}}{v_n}\) est constant (tant que les termes ne sont pas nuls). Si \(v_0 = 5\) et \(q = 3\), on obtient \(5\), \(15\), \(45\), \(135\), …
La suite \(81\), \(27\), \(9\), \(3\), … a pour quotients \(\dfrac{27}{81} = \dfrac13\), \(\dfrac{9}{27} = \dfrac13\), \(\dfrac{3}{9} = \dfrac13\) : elle semble géométrique de raison \(q = \dfrac13\). La suite \(10\), \(7\), \(4\), \(1\), … n’est pas géométrique (les quotients valent \(0{,}7\), puis \(\dfrac47\)) ; elle est arithmétique de raison \(-3\).
4. Le terme général d’une suite géométrique
Si \((v_n)\) est géométrique de raison \(q\), alors pour tout entier \(n\) : \[ v_n = v_0 \times q^n. \] Plus généralement, \(v_n = v_p \times q^{\,n-p}\).
Cette fois, on multiplie \(n\) fois par \(q\) pour aller de \(v_0\) à \(v_n\). La représentation par des points suit une courbe qui s’emballe, comme sur la figure : on parle de croissance exponentielle.
Une machine perd \(10\) % de sa valeur chaque année et vaut \(2\,000\) € neuve. Sa valeur après \(n\) années est \(v_n = 2\,000 \times 0{,}9^n\) (on multiplie par \(1 - 0{,}10 = 0{,}9\)). Après trois ans, \(v_3 = 2\,000 \times 0{,}9^3 = 1\,458\) €.
Si \(v_2 = 12\) et \(v_5 = 96\), alors \(v_5 = v_2 \times q^3\), donc \(q^3 = \dfrac{96}{12} = 8\) et \(q = 2\) (le seul réel dont le cube vaut 8). Ensuite \(v_0 = \dfrac{v_2}{q^2} = \dfrac{12}{4} = 3\).
Sur ma planète, on dit qu’une suite arithmétique « marche » (un pas régulier) et qu’une suite géométrique « grossit » (une taille multipliée à chaque étape). Demande-toi simplement : est-ce que j’ajoute ou est-ce que je multiplie ?
5. Sens de variation
Pour savoir si une suite monte ou descend, on étudie le signe de \(u_{n+1} - u_n\) : positif, la suite est croissante ; négatif, elle est décroissante ; nul, elle est constante.
Pour une suite arithmétique de raison \(r\) : \(u_{n+1} - u_n = r\). Elle est croissante si \(r > 0\), décroissante si \(r < 0\), constante si \(r = 0\).
Pour une suite géométrique de raison \(q > 0\) et de premier terme \(v_0 > 0\) : elle est croissante si \(q > 1\), décroissante si \(0 < q < 1\), constante si \(q = 1\). Si \(v_0 < 0\), le sens de variation est inversé. Si \(q < 0\), les termes changent de signe à chaque rang : la suite n’est ni croissante ni décroissante.
Pourquoi ? Pour une suite géométrique, \(v_{n+1} - v_n = v_0\,q^n\,(q - 1)\) : le signe dépend de \(v_0\), de \(q - 1\) et de \(q^n\), qui est positif quand \(q > 0\).
La suite \(u_n = 12 - 3n\) est arithmétique de raison \(-3\) : elle est décroissante. La suite \(v_n = 50 \times 0{,}7^n\) est géométrique de raison \(0{,}7\) avec \(v_0 > 0\) : elle est décroissante, et ses termes se rapprochent de \(0\). La suite \(w_n = -3 \times 2^n\) est géométrique de raison \(2 > 1\) mais avec \(w_0 < 0\) : elle est décroissante.
6. Sommes de termes consécutifs
La somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique vaut \[ S = (\text{nombre de termes}) \times \dfrac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}. \] En particulier, \(u_0 + u_1 + \dots + u_n = (n + 1) \times \dfrac{u_0 + u_n}{2}\), et \(1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}\).
L’idée : écris la somme à l’endroit puis à l’envers et additionne colonne par colonne. Chaque colonne donne la même valeur \(u_0 + u_n\), et il y a \(n + 1\) colonnes ; cela compte la somme deux fois, d’où la division par \(2\).
Pour tout réel \(q \neq 1\) et tout entier \(n\) : \[ 1 + q + q^2 + \dots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}. \] Pour une suite géométrique, \(v_0 + v_1 + \dots + v_n = v_0 \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}\).
Preuve rapide : si \(S = 1 + q + \dots + q^n\), alors \(qS = q + \dots + q^{n+1}\). En soustrayant, presque tout s’annule : \(S - qS = 1 - q^{n+1}\), soit \(S(1 - q) = 1 - q^{n+1}\).
Calcule \(7 + 10 + 13 + \dots + 64\). C’est la somme des termes \(u_0\) à \(u_{19}\) de \(u_n = 7 + 3n\) (car \(7 + 3 \times 19 = 64\)), soit \(20\) termes : \(S = 20 \times \dfrac{7 + 64}{2} = 710\).
Calcule \(3 + 6 + 12 + \dots + 3 \times 2^9\). Le premier terme est \(3\), la raison \(2\), il y a \(10\) termes : \(S = 3 \times \dfrac{1 - 2^{10}}{1 - 2} = 3 \times 1\,023 = 3\,069\).
Le nombre de termes de \(u_p + \dots + u_n\) est \(n - p + 1\) et non \(n - p\). Compte toujours les termes avant d’appliquer la formule !
7. Croissance linéaire et croissance exponentielle
Les deux familles de suites décrivent deux façons de grandir. Dans une évolution linéaire (suite arithmétique), on ajoute chaque fois la même quantité. Dans une évolution exponentielle (suite géométrique), on applique chaque fois le même pourcentage.
Augmenter une quantité de \(t\) % revient à la multiplier par \(1 + \dfrac{t}{100}\) ; la diminuer de \(t\) % revient à la multiplier par \(1 - \dfrac{t}{100}\). Une évolution de \(t\) % répétée à chaque période définit une suite géométrique de raison \(q = 1 \pm \dfrac{t}{100}\).
La figure compare deux évolutions qui partent de \(100\) : l’une ajoute \(20\) à chaque période, l’autre augmente de \(20\) % à chaque période. Au début elles se ressemblent, puis la courbe exponentielle passe au-dessus et s’éloigne de plus en plus vite.
| Période n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Ajouter 20 : \(100 + 20n\) | 100 | 120 | 140 | 160 | 180 | 260 |
| Multiplier par 1,2 : \(100 \times 1{,}2^n\) | 100 | 120 | 144 | 172,8 | 207,36 | 429,98 |
Après deux périodes, l’évolution linéaire donne \(140\) et l’évolution à \(20\) % donne \(144\), car \(100 \times 1{,}2^2 = 144\). L’écart paraît faible, mais il se creuse de plus en plus vite : il atteint déjà environ \(170\) à la période \(8\).
8. Applications financières et démographiques
Intérêts simples. Si on touche chaque année un intérêt fixe calculé sur le capital de départ, le capital forme une suite arithmétique : un capital de \(2\,000\) € avec \(40\) € d’intérêts par an vaut \(C_n = 2\,000 + 40n\).
Intérêts composés. Si l’intérêt de chaque année est calculé sur tout le capital déjà accumulé, le capital forme une suite géométrique.
On place \(2\,500\) € à \(3\) % par an à intérêts composés. Le capital est multiplié par \(1{,}03\) chaque année : \(C_n = 2\,500 \times 1{,}03^n\). Après dix ans : \(C_{10} = 2\,500 \times 1{,}03^{10} \approx 3\,359{,}79\) €.
Une ville compte \(48\,000\) habitants et en perd \(2\) % par an. Sa population est modélisée par \(P_n = 48\,000 \times 0{,}98^n\). On cherche le premier rang où elle passe sous \(40\,000\) : à la calculatrice, \(P_9 \approx 40\,020\) et \(P_{10} \approx 39\,219\). C’est donc à partir de la dixième année qu’elle devient inférieure à \(40\,000\) habitants.
- Repère le premier terme \(u_0\) (la valeur de départ).
- Demande-toi : une quantité fixe est-elle ajoutée (arithmétique), ou un pourcentage fixe est-il appliqué (géométrique) ?
- Écris la raison (\(r\) ou \(q = 1 \pm t/100\)) puis la formule du terme général.
- Calcule, ou cherche à la calculatrice le premier rang qui dépasse un seuil.
À retenir
- Suite arithmétique : \(u_{n+1} = u_n + r\) ; terme général \(u_n = u_0 + nr = u_p + (n-p)r\).
- Suite géométrique : \(v_{n+1} = q\,v_n\) ; terme général \(v_n = v_0\,q^n = v_p\,q^{n-p}\).
- Sens de variation : le signe de \(r\) pour une suite arithmétique ; pour une géométrique, il dépend de \(q\) et du signe de \(v_0\) (et si \(q < 0\), la suite alterne).
- Somme arithmétique : nombre de termes \(\times\) (premier + dernier) \(\div 2\).
- Somme géométrique : \(1 + q + \dots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}\) pour \(q \neq 1\).
- Une variation de \(t\) % par période correspond à la raison \(q = 1 \pm \dfrac{t}{100}\) : intérêts simples = arithmétique, intérêts composés = géométrique.
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