Un relevé de températures, les notes d’une classe, les temps de trajet des élèves du lycée : face à une longue liste de nombres, personne ne peut tout retenir. Les statistiques descriptives donnent quelques nombres bien choisis pour résumer une série, la comparer à une autre et la représenter clairement. Dans ce chapitre, tu apprends à mesurer le centre d’une série, sa dispersion, et à la dessiner en boîte.
1. Effectifs et fréquences
Dans une série statistique, l’effectif \( n_i \) d’une valeur \( x_i \) est le nombre de fois où elle apparaît. L’effectif total est \( N = n_1 + n_2 + \dots + n_p \). La fréquence de \( x_i \) est \( f_i = \dfrac{n_i}{N} \) ; on l’écrit souvent en pourcentage.
La somme de toutes les fréquences vaut toujours \( 1 \) (soit \( 100\,\% \)). Voici le nombre de livres empruntés en un mois par vingt élèves :
| Livres empruntés \(x_i\) | 0 | 1 | 2 | 3 | Total |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif \(n_i\) | 4 | 6 | 6 | 4 | 20 |
| Fréquence \(f_i\) | 20 % | 30 % | 30 % | 20 % | 100 % |
La valeur 1 apparaît 6 fois sur 20 : \( f = \dfrac{6}{20} = 0{,}3 = 30\,\% \). La proportion d’élèves ayant emprunté au moins 2 livres est \( \dfrac{6+4}{20} = 50\,\% \).
2. Moyenne et médiane
La moyenne d’une série de \( N \) valeurs est \( \bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \dots + x_N}{N} \). Avec des effectifs : \( \bar{x} = \dfrac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \dots + n_p x_p}{N} \).
La médiane \( \text{Me} \) partage la série rangée par ordre croissant en deux groupes de même effectif : au moins la moitié des valeurs sont inférieures ou égales à \( \text{Me} \), et au moins la moitié sont supérieures ou égales. Si \( N \) est impair, c’est la valeur centrale ; si \( N \) est pair, c’est la moyenne des deux valeurs centrales.
Pages lues en un mois par neuf élèves : 12 ; 15 ; 15 ; 18 ; 20 ; 22 ; 25 ; 30 ; 41. La somme vaut 198, donc \( \bar{x} = \dfrac{198}{9} = 22 \). Il y a 9 valeurs : la médiane est la 5ème, soit \( \text{Me} = 20 \).
La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes : un seul « 41 » la tire vers le haut. La médiane, elle, ne bouge presque pas. Ne confonds pas les deux : la médiane n’est pas « la valeur du milieu de l’intervalle min–max ».
3. Étendue et quartiles
L’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : \( e = x_{\max} - x_{\min} \).
Le premier quartile \( Q_1 \) est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins 25 % des valeurs lui soient inférieures ou égales. Le troisième quartile \( Q_3 \) est la plus petite valeur telle qu’au moins 75 % des valeurs lui soient inférieures ou égales.
- Range la série par ordre croissant et compte les valeurs : \( N \).
- Calcule \( \dfrac{N}{4} \) et \( \dfrac{3N}{4} \), puis arrondis chacun à l’entier supérieur.
- \( Q_1 \) est la valeur de ce premier rang, \( Q_3 \) celle du second.
Temps de trajet (en minutes) de dix élèves : 8 ; 11 ; 12 ; 14 ; 15 ; 17 ; 18 ; 22 ; 25 ; 38. Ici \( N = 10 \).
- Médiane : moyenne des 5ème et 6ème valeurs, \( \text{Me} = \dfrac{15+17}{2} = 16 \).
- \( \dfrac{10}{4} = 2{,}5 \) donc rang 3 : \( Q_1 = 12 \). \( \dfrac{30}{4} = 7{,}5 \) donc rang 8 : \( Q_3 = 22 \).
- Étendue : \( 38 - 8 = 30 \) minutes.
4. Écart interquartile et diagramme en boîte
L’écart interquartile est \( Q_3 - Q_1 \). Il mesure la dispersion des 50 % de valeurs centrales et ne dépend pas des valeurs extrêmes. Dans l’exemple 3 : \( 22 - 12 = 10 \) minutes.
Le diagramme en boîte (ou boîte à moustaches) résume cinq nombres : le minimum, \( Q_1 \), la médiane, \( Q_3 \) et le maximum. La boîte va de \( Q_1 \) à \( Q_3 \) et un trait marque la médiane ; les « moustaches » rejoignent le minimum et le maximum.
Sur une boîte, imagine quatre « quarts » de la population : entre deux repères consécutifs (min, \( Q_1 \), \( \text{Me} \), \( Q_3 \), max), il y a environ un quart des valeurs. Une boîte étroite signifie des valeurs regroupées ; une moustache longue signale quelques valeurs isolées.
5. Variance et écart type
Pour une série de moyenne \( \bar{x} \), la variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne : \( V = \dfrac{(x_1-\bar{x})^2 + \dots + (x_N-\bar{x})^2}{N} \). L’écart type est \( \sigma = \sqrt{V} \), exprimé dans la même unité que les valeurs.
La variance est aussi la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne : \( V = \dfrac{x_1^2 + \dots + x_N^2}{N} - \bar{x}^2 \). Avec des effectifs : \( V = \dfrac{n_1 x_1^2 + \dots + n_p x_p^2}{N} - \bar{x}^2 \).
Série : 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12. Moyenne \( \bar{x} = 8 \). Écarts à la moyenne : \( -4 ; -2 ; 0 ; 2 ; 4 \). Donc \( V = \dfrac{16+4+0+4+16}{5} = 8 \) et \( \sigma = \sqrt{8} \approx 2{,}83 \).
Pour la série des emprunts de livres (partie 1) : \( \bar{x} = \dfrac{0\times4 + 1\times6 + 2\times6 + 3\times4}{20} = 1{,}5 \) et \( V = \dfrac{6 + 24 + 36}{20} - 1{,}5^2 = 3{,}3 - 2{,}25 = 1{,}05 \), soit \( \sigma \approx 1{,}02 \).
Plus l’écart type est petit, plus les valeurs sont resserrées autour de la moyenne. Il est toujours positif ou nul, et nul uniquement si toutes les valeurs sont égales.
6. Effet d’un changement de variable
Si on remplace chaque valeur \( x \) par \( a x + b \) (avec \( a > 0 \)), alors la moyenne, la médiane et les quartiles subissent la même transformation : \( \bar{x} \) devient \( a\bar{x} + b \). L’étendue, l’écart interquartile et l’écart type sont multipliés par \( a \) ; la variance est multipliée par \( a^2 \). Ajouter \( b \) ne change aucune mesure de dispersion.
Des températures en degrés Celsius ont pour moyenne 20 et pour écart type 3. Converties en degrés Fahrenheit par \( F = 1{,}8\,C + 32 \), la moyenne devient \( 1{,}8 \times 20 + 32 = 68 \) et l’écart type \( 1{,}8 \times 3 = 5{,}4 \).
7. Comparer deux séries
Pour comparer, on utilise un indicateur de position (moyenne ou médiane) et un indicateur de dispersion (écart type, étendue ou écart interquartile).
- Compare les positions : « en moyenne (ou en médiane), la série A est plus élevée de … ».
- Compare les dispersions : « la série A est plus régulière, car son écart type (ou son écart interquartile) est plus petit ».
- Conclus en une phrase, avec le contexte et l’unité.
Choisis la médiane et l’écart interquartile quand la série contient des valeurs aberrantes ; choisis la moyenne et l’écart type quand elle est régulière et que tu as besoin de calculs avec toutes les valeurs.
À retenir
- Fréquence \( f_i = \dfrac{n_i}{N} \) ; la somme des fréquences vaut \( 1 \).
- Moyenne : somme des valeurs divisée par l’effectif total ; sensible aux valeurs extrêmes.
- Médiane : partage la série en deux moitiés ; \( Q_1 \) et \( Q_3 \) : rangs \( \lceil N/4 \rceil \) et \( \lceil 3N/4 \rceil \).
- Étendue \( = x_{\max} - x_{\min} \) ; écart interquartile \( = Q_3 - Q_1 \).
- Variance \( V \) : moyenne des carrés des écarts à la moyenne ; écart type \( \sigma = \sqrt{V} \).
- Avec \( x \mapsto ax + b \) : moyenne \( \to a\bar{x}+b \), écart type \( \to a\sigma \), variance \( \to a^2 V \).
- Pour comparer : une position et une dispersion, puis une phrase de conclusion.
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