Une série entière est un « polynôme de degré infini » : une somme \(\sum a_n z^n\) dont on étudie la convergence et dont on fait un objet de calcul. Ce chapitre fournit l’outil qui permet de calculer des sommes, de résoudre des équations différentielles et de définir proprement l’exponentielle complexe.
1. Séries entières et lemme d’Abel
Soit \((a_n)_{n\geq 0}\) une suite de nombres complexes. On appelle série entière de coefficients \(a_n\) la série de fonctions \(\sum_{n\geq 0} a_n z^n\) de la variable \(z\in\mathbb{C}\) (ou \(x\in\mathbb{R}\) lorsqu’on se limite au cas réel).
Pour chaque valeur de \(z\), on se demande si la série numérique \(\sum a_n z^n\) converge. Le résultat fondamental est le suivant.
Si la suite \((a_n z_0^n)\) est bornée, alors pour tout complexe \(z\) tel que \(|z|\lt |z_0|\), la série \(\sum a_n z^n\) converge absolument.
Preuve. Soit \(M\) un majorant de \(|a_n z_0^n|\). Alors \(|a_n z^n| \leq M\left|\dfrac{z}{z_0}\right|^n\), terme général d’une série géométrique convergente puisque \(\left|\dfrac{z}{z_0}\right|\lt 1\). Le théorème de comparaison conclut.
Le rayon de convergence de \(\sum a_n z^n\) est \(R=\sup\{\, r\geq 0 \;:\; (a_n r^n) \text{ est bornée}\,\}\in[0\,;+\infty]\).
2. Disque de convergence
Si \(R\) est le rayon de convergence de \(\sum a_n z^n\) :
- si \(|z|\lt R\), la série converge absolument ;
- si \(|z|\gt R\), la série diverge grossièrement (le terme général ne tend pas vers 0) ;
- si \(|z|=R\), aucune conclusion générale n’est possible.
Sur la droite réelle, le disque devient l’intervalle de convergence \(]-R\,;R[\), dont les bornes se traitent séparément.
Sur le cercle \(|z|=R\), tout peut arriver. Les trois séries \(\sum z^n\), \(\sum \dfrac{z^n}{n}\) et \(\sum \dfrac{z^n}{n^2}\) ont toutes pour rayon 1 ; la première diverge en tout point du cercle, la deuxième converge en \(z=-1\) et diverge en \(z=1\), la troisième converge en tout point du cercle.
- Règle de d’Alembert. Si les \(a_n\) sont non nuls et si \(\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|\to \ell\in[0\,;+\infty]\), alors \(R=\dfrac{1}{\ell}\) (avec \(1/0=+\infty\) et \(1/{+\infty}=0\)).
- Comparaison. Si \(|a_n|\leq |b_n|\) alors \(R_a\geq R_b\) ; si \(a_n=O(b_n)\), même conclusion.
- Séries lacunaires. Si certains coefficients sont nuls, on pose une nouvelle variable (par exemple \(t=z^2\)) pour revenir à une série sans trous.
La règle de d’Alembert ne s’applique pas directement à \(\sum z^{2n}\) : un coefficient sur deux est nul et le quotient \(a_{n+1}/a_n\) n’existe pas. On pose \(t=z^2\) et on revient au rayon en \(t\).
Rayon de \(\sum \dfrac{n}{3^n} z^n\). Ici \(a_n=\dfrac{n}{3^n}\), donc \(\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dfrac{n+1}{3n}\to\dfrac13\). Ainsi \(R=3\).
Rayon de \(\sum \dfrac{z^{2n}}{5^n}\). Avec \(t=z^2\), la série \(\sum (t/5)^n\) converge si et seulement si \(|t|\lt 5\). Donc la série converge pour \(|z|^2\lt 5\) et diverge pour \(|z|^2\gt 5\) : \(R=\sqrt5\).
3. Opérations sur les séries entières
Soient \(\sum a_n z^n\) et \(\sum b_n z^n\) de rayons \(R_a\) et \(R_b\).
- Somme : \(\sum (a_n+b_n) z^n\) a un rayon \(R\geq\min(R_a,R_b)\), avec égalité si \(R_a\neq R_b\).
- Produit de Cauchy : pour \(|z|\lt\min(R_a,R_b)\), \(\left(\sum a_n z^n\right)\left(\sum b_n z^n\right)=\sum c_n z^n\) avec \(c_n=\sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}\). Le rayon du produit est au moins \(\min(R_a,R_b)\).
Avec \(a_n=b_n=1\), on a \(c_n=\sum_{k=0}^{n}1=n+1\). Donc pour \(|z|\lt1\),
\[\sum_{n=0}^{+\infty}(n+1)z^n=\left(\dfrac{1}{1-z}\right)^2=\dfrac{1}{(1-z)^2}.\]
La figure ci-dessus compare la fonction \(x\mapsto\dfrac1{1-x}\) à la somme partielle \(1+x+x^2+x^3\) : l’approximation est excellente près de 0 et se dégrade lorsque \(x\) approche de la borne \(1\) du rayon.
4. Dérivation et intégration terme à terme
Soit \(f(x)=\sum_{n\geq0} a_n x^n\) de rayon \(R\gt0\). La série dérivée \(\sum n a_n x^{n-1}\) et la série des primitives \(\sum \dfrac{a_n}{n+1}x^{n+1}\) ont le même rayon \(R\). De plus, sur \(]-R\,;R[\) :
- \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^\infty\) et \(f'(x)=\sum_{n\geq1} n a_n x^{n-1}\) ;
- \(\int_0^x f(t)\,dt=\sum_{n\geq0}\dfrac{a_n}{n+1}x^{n+1}\) ;
- \(f^{(k)}(0)=k!\,a_k\) : les coefficients sont uniques.
Conséquence pratique : on obtient de nouveaux développements en dérivant ou en intégrant des développements connus, sans changer le rayon.
Pour \(|t|\lt1\), \(\dfrac1{1+t}=\sum_{n\geq0}(-1)^n t^n\). On intègre de 0 à \(x\) :
\[\ln(1+x)=\sum_{n\geq1}(-1)^{n-1}\dfrac{x^n}{n},\quad |x|\lt1.\]
5. Fonction développable en série entière
Une fonction \(f\) définie sur \(]-r\,;r[\) est développable en série entière en 0 s’il existe une série entière de rayon \(R\geq r\) dont la somme vaut \(f(x)\) pour tout \(x\in]-r\,;r[\).
Si \(f\) est développable en série entière, elle est de classe \(\mathcal{C}^\infty\) et ses coefficients sont nécessairement \(a_n=\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}\) : le développement n’est autre que la série de Taylor. La réciproque est fausse.
La fonction \(f(x)=e^{-1/x^2}\) pour \(x\neq0\), \(f(0)=0\), est de classe \(\mathcal{C}^\infty\) avec \(f^{(n)}(0)=0\) pour tout \(n\). Sa série de Taylor est nulle, mais \(f\) ne l’est pas : \(f\) n’est pas développable en série entière.
- Reconnaître une combinaison, un produit, une dérivée ou une primitive de développements usuels ;
- ou montrer que le reste de Taylor \(R_n(x)=f(x)-\sum_{k\leq n}\dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k\) tend vers 0 (par exemple avec l’inégalité de Taylor–Lagrange) ;
- ou résoudre une équation différentielle vérifiée par \(f\) (voir la partie 8).
6. Développements usuels
| Fonction | Développement en série entière | Rayon |
|---|---|---|
| \(e^x\) | \(\displaystyle\sum_{n\geq0}\dfrac{x^n}{n!}\) | \(+\infty\) |
| \(\cos x\) | \(\displaystyle\sum_{n\geq0}(-1)^n\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}\) | \(+\infty\) |
| \(\sin x\) | \(\displaystyle\sum_{n\geq0}(-1)^n\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\) | \(+\infty\) |
| \(\operatorname{ch}x\) | \(\displaystyle\sum_{n\geq0}\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}\) | \(+\infty\) |
| \(\operatorname{sh}x\) | \(\displaystyle\sum_{n\geq0}\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\) | \(+\infty\) |
| \(\dfrac1{1-x}\) | \(\displaystyle\sum_{n\geq0}x^n\) | \(1\) |
| \(\ln(1+x)\) | \(\displaystyle\sum_{n\geq1}(-1)^{n-1}\dfrac{x^n}{n}\) | \(1\) |
| \(\arctan x\) | \(\displaystyle\sum_{n\geq0}(-1)^n\dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}\) | \(1\) |
| \((1+x)^{\alpha}\), \(\alpha\notin\mathbb{N}\) | \(\displaystyle 1+\sum_{n\geq1}\dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n\) | \(1\) |
La figure suivante montre comment les sommes partielles de la série de l’exponentielle collent à la courbe de plus en plus loin de l’origine lorsque le degré augmente.
Sur ma planète, on retient les développements par parité : \(\cos\) et \(\operatorname{ch}\) n’ont que des puissances paires, \(\sin\) et \(\operatorname{sh}\) que des puissances impaires. Une fonction paire n’a jamais de terme impair !
7. Exponentielle complexe
Pour tout \(z\in\mathbb{C}\), on pose \(e^{z}=\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{z^n}{n!}\). Le rayon de convergence est \(+\infty\) (d’Alembert : \(\frac{1}{n+1}\to0\)).
- \(e^{z+w}=e^{z}e^{w}\) pour tous complexes \(z,w\) (produit de Cauchy et formule du binôme) ; en particulier \(e^z\neq0\) et \(\dfrac1{e^z}=e^{-z}\) ;
- formule d’Euler : \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\) pour tout réel \(\theta\) ;
- \(e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y)\) : \(|e^{z}|=e^{\operatorname{Re}z}\) et \(\arg e^{z}=\operatorname{Im}z\ [2\pi]\).
La formule d’Euler vient du regroupement des termes pairs et impairs : \(i^{2n}=(-1)^n\) et \(i^{2n+1}=i(-1)^n\), donc les termes pairs de \(\sum \frac{(i\theta)^n}{n!}\) forment le développement de \(\cos\theta\) et les termes impairs celui de \(i\sin\theta\).
Résoudre \(e^{z}=-e\). On écrit \(-e=e\cdot e^{i\pi}=e^{1+i\pi}\). Comme \(e^{z}=e^{z'}\) équivaut à \(z-z'\in 2i\pi\mathbb{Z}\), les solutions sont \(z=1+i\pi+2ik\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\).
8. Résolution d’équations différentielles
- On cherche une solution \(y=\sum a_n x^n\) de rayon \(R\gt0\) (analyse) ;
- on dérive terme à terme, on reporte dans l’équation et on identifie les coefficients de \(x^n\) : on obtient une relation de récurrence sur \((a_n)\) ;
- on calcule \(a_n\) à l’aide des conditions initiales, puis le rayon (synthèse) ;
- on reconnaît la somme, en général à l’aide des développements usuels.
Résoudre \(y'-2xy=0\), \(y(0)=1\). Avec \(y=\sum a_n x^n\), on a \(y'=\sum (n+1)a_{n+1}x^n\) et \(2xy=\sum 2a_{n-1}x^n\) (avec \(a_{-1}=0\)). L’identification donne \(a_0=1\), \(a_1=0\) et \((n+1)a_{n+1}=2a_{n-1}\). Les coefficients impairs sont nuls, et pour les pairs \((2p+2)a_{2p+2}=2a_{2p}\), c’est-à-dire \(a_{2p+2}=\dfrac{a_{2p}}{p+1}\), d’où \(a_{2p}=\dfrac{1}{p!}\). Le rayon est \(+\infty\) et \(y(x)=\sum_{p\geq0}\dfrac{(x^2)^p}{p!}=e^{x^2}\).
L’unicité de la solution du problème de Cauchy pour une équation linéaire (théorème de Cauchy–Lipschitz) garantit que la solution trouvée est la seule.
À retenir
- Le rayon \(R\) d’une série entière partage le plan en trois zones : convergence absolue pour \(|z|\lt R\), divergence grossière pour \(|z|\gt R\), cas à étudier pour \(|z|=R\).
- Pour calculer \(R\) : règle de d’Alembert, comparaison, changement de variable pour les séries lacunaires.
- Somme et produit de Cauchy : rayon \(\geq\min(R_a,R_b)\).
- Dériver ou intégrer terme à terme ne change pas le rayon ; \(a_n=\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}\) donc les coefficients sont uniques.
- Être \(\mathcal{C}^\infty\) ne suffit pas pour être développable en série entière.
- Connaître les développements usuels (\(e^x\), \(\cos\), \(\sin\), \(\operatorname{ch}\), \(\operatorname{sh}\), \(\frac1{1-x}\), \(\ln(1+x)\), \(\arctan\), \((1+x)^\alpha\)) et leurs rayons.
- \(e^{z}=\sum \frac{z^n}{n!}\) sur \(\mathbb{C}\), \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\) et \(e^{z+w}=e^ze^w\).
- Équation différentielle : coefficients indéterminés, récurrence, rayon, reconnaissance de la somme.
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