Topologie des espaces métriques : exercices de maths Licence L3 à télécharger en PDF

1 Distance discrète ★★★

Sur un ensemble \(E\), on pose \(d(x,y)=0\) si \(x=y\) et \(d(x,y)=1\) sinon.

1. Montrer que \(d\) est une distance.
2. Décrire \(B(a,\tfrac12)\) et \(B(a,2)\).
3. En déduire que toute partie de \(E\) est ouverte.

2 Calculer trois normes ★★★

Dans \(\mathbb{R}^3\), calculer \(\|x\|_1\), \(\|x\|_2\) et \(\|x\|_\infty\) pour \(x=(3,-4,12)\), puis vérifier la chaîne d’inégalités \(\|x\|_\infty\leq\|x\|_2\leq\|x\|_1\leq3\|x\|_\infty\).

3 Ni ouvert ni fermé ★★★

Montrer que \(]0,1]\) n’est ni ouvert ni fermé dans \(\mathbb{R}\).

4 Intérieur, adhérence, frontière ★★★

Déterminer l’intérieur, l’adhérence et la frontière de \(A=]-2,1[\,\cup\,]1,4]\cup\{6\}\) dans \(\mathbb{R}\).

5 Une suite du plan ★★★

Dans \((\mathbb{R}^2,\|\cdot\|_\infty)\), on pose \(u_n=\left(\tfrac1n,\,1+\tfrac1{n^2}\right)\). Montrer que \(u_n\to(0,1)\) et trouver le plus petit entier \(N\) tel que \(n\geq N\Rightarrow\|u_n-(0,1)\|_\infty\lt10^{-2}\).

6 Image réciproque de la valeur absolue ★★★

Montrer que \(x\mapsto|x|\) est continue, puis que \(\{x\in\mathbb{R}:|x|\gt1\}\) est ouvert et \(\{x:|x|\leq1\}\) est fermé.

7 Compact ou non ? ★★★

Dire, avec une justification brève, lesquelles de ces parties de \(\mathbb{R}\) sont compactes : \([-2,5]\), \(]0,1]\), \(\mathbb{Z}\), \([0,1]\cup\{7\}\), \(\mathbb{Q}\cap[0,1]\).

8 Une distance bornée sur R ★★★

On pose \(\varphi(x)=\dfrac{x}{1+|x|}\) et \(d(x,y)=|\varphi(x)-\varphi(y)|\) pour \(x,y\in\mathbb{R}\).

1. Montrer que \(\varphi\) est injective, puis que \(d\) est une distance.
2. Calculer \(d(1,3)\) et \(d(0,n)\).
3. Montrer que \(\mathbb{R}\) est borné pour \(d\).

9 Aires des boules unité ★★★

Calculer l’aire de la boule unité fermée de \(\mathbb{R}^2\) pour \(\|\cdot\|_1\), \(\|\cdot\|_2\) et \(\|\cdot\|_\infty\), et vérifier que ces boules sont emboîtées.

10 Un ouvert du plan ★★★

Montrer que \(U=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x\gt0\text{ et }y\lt x^2\}\) est ouvert. Le point \((1,0)\) est-il dans \(U\) ? Le point \((1,1)\) ?

11 Un fermé non compact et non connexe ★★★

Soit \(F=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : xy\geq1\}\). Montrer que \(F\) est fermé, qu’il n’est pas compact, et qu’il n’est pas connexe.

12 Valeurs d’adhérence ★★★

Soit \(u_n=(-1)^n+\tfrac1n\) pour \(n\geq1\). Déterminer ses valeurs d’adhérence et conclure sur la convergence.

13 L’intervalle ]0,1] n’est pas complet ★★★

Montrer que la suite \(x_n=\tfrac1n\) est de Cauchy dans \(]0,1]\) muni de la distance usuelle, mais ne converge pas dans \(]0,1]\). Que conclure ?

14 Itérations d’une contraction ★★★

Soit \(f(x)=1+\tfrac x3\) sur \(\mathbb{R}\) et \(u_0=0\), \(u_{n+1}=f(u_n)\).

1. Montrer que \(f\) est contractante et trouver son point fixe.
2. Calculer \(u_1,\dots,u_5\).
3. Combien d’itérations garantissent une erreur inférieure à \(10^{-3}\) ?

15 Valeurs intermédiaires et trois racines ★★★

Soit \(p(x)=x^3-3x+1\). Montrer par connexité que \(p\) possède exactement trois racines réelles et les localiser dans trois intervalles de longueur 1.

16 Réunion, intersection et adhérence ★★★

Soient \(A,B\subset E\).

1. Montrer que \(\overline{A\cup B}=\overline A\cup\overline B\).
2. Montrer que \(\overline{A\cap B}\subset\overline A\cap\overline B\) et donner un exemple où l’inclusion est stricte.

17 Normes non équivalentes ★★★

Sur \(C([0,1],\mathbb{R})\), on pose \(\|f\|_\infty=\sup|f|\) et \(\|f\|_1=\int_0^1|f|\). On considère \(f_n(x)=x^n\).

1. Calculer \(\|f_n\|_\infty\) et \(\|f_n\|_1\).
2. Montrer qu’il n’existe pas de constante \(c\gt0\) telle que \(\|f\|_\infty\leq c\|f\|_1\) pour toute \(f\).
3. À partir de quel \(n\) a-t-on \(\|f_n\|_1\leq0{,}01\) ?

18 Maximum sur un disque ★★★

Soit \(D=\{(x,y):x^2+y^2\leq1\}\) et \(f(x,y)=x+2y\).

1. Justifier que \(f\) atteint un maximum sur \(D\).
2. Le calculer et donner le point où il est atteint.

19 Distance à une partie ★★★

Pour \(A\subset\mathbb{R}\) non vide, on note \(d(x,A)=\inf_{a\in A}|x-a|\). On prend \(A=]1,3[\,\cup\{5\}\).

1. Calculer \(d(4,A)\), \(d(3,A)\), \(d(3{,}5;A)\).
2. Montrer que \(x\mapsto d(x,A)\) est 1-lipschitzienne, et que \(d(x,A)=0\iff x\in\overline A\).

20 Point fixe du cosinus ★★★

On définit \(x_0=1\) et \(x_{n+1}=\cos x_n\).

1. Justifier que \((x_n)\) converge vers l’unique solution \(\ell\) de \(\cos x=x\) dans \([0,1]\).
2. Avec \(k=\sin1\approx0{,}8415\) et \(|x_1-x_0|=1-\cos1\approx0{,}4597\), quel \(n\) assure \(|x_n-\ell|\leq10^{-2}\) d’après la majoration du cours ?

21 R et R² ne sont pas homéomorphes ★★★

Montrer que \(\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\) est connexe par arcs, que \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) n’est pas connexe, et en déduire qu’il n’existe pas d’homéomorphisme entre \(\mathbb{R}\) et \(\mathbb{R}^2\).