Une culture de bactéries double, puis double encore : plus il y en a, plus elle grossit vite. Ce comportement « la vitesse de variation est proportionnelle à la quantité » se retrouve en physique, en biologie, en finance. Il est décrit par une fonction étonnante : une fonction qui est égale à sa propre dérivée.
1. Une fonction égale à sa dérivée
Il existe une unique fonction \(f\) dérivable sur \(\mathbb{R}\) telle que
\[ f' = f \quad \text{et} \quad f(0) = 1. \]
Cette fonction s’appelle la fonction exponentielle et se note \(\exp\). On admet ici son existence et son unicité.
Cela signifie que pour tout réel \(x\), \(\exp'(x) = \exp(x)\), et que la courbe passe par le point \(A(0\,;\,1)\). Le nombre dérivé en \(0\) vaut donc \(\exp'(0) = \exp(0) = 1\) : la tangente en \(A\) a pour pente \(1\).
2. La fonction exponentielle ne s’annule jamais
Pour tout réel \(x\), \(\exp(x) \times \exp(-x) = 1\). En particulier \(\exp(x) \neq 0\) pour tout \(x\).
Démonstration. Posons \(\varphi(x) = \exp(x)\exp(-x)\). Cette fonction est dérivable et
\[ \varphi'(x) = \exp(x)\exp(-x) + \exp(x) \times \big(-\exp(-x)\big) = 0. \]
Donc \(\varphi\) est constante, égale à \(\varphi(0) = 1 \times 1 = 1\). Si \(\exp(x)\) était nul, le produit serait nul, ce qui est impossible. \(\square\)
3. Propriétés algébriques et notation \(e^x\)
Pour tous réels \(a\) et \(b\) et tout entier \(n\) :
\[ \exp(a+b) = \exp(a)\exp(b), \qquad \exp(-a) = \dfrac{1}{\exp(a)}, \qquad \exp(a-b) = \dfrac{\exp(a)}{\exp(b)}, \qquad \exp(na) = \big(\exp(a)\big)^n. \]
Ces règles ressemblent à celles des puissances. On pose \(e = \exp(1) \approx 2{,}718\) et on convient d’écrire, pour tout réel \(x\),
\[ \exp(x) = e^{x}. \]
Les règles précédentes se lisent alors comme les règles des exposants : \(e^{a}e^{b} = e^{a+b}\), \(\dfrac{e^{a}}{e^{b}} = e^{a-b}\), \(e^{-a} = \dfrac{1}{e^{a}}\), \((e^{a})^{n} = e^{na}\), et \(e^{0} = 1\).
Simplifier \(A = \dfrac{e^{3x+1} \times e^{-x}}{e^{x-2}}\).
On additionne les exposants du numérateur : \(e^{3x+1-x} = e^{2x+1}\). Puis on soustrait celui du dénominateur : \(A = e^{2x+1-(x-2)} = e^{x+3}\).
\(e^{a+b} = e^{a}e^{b}\), mais \(e^{a+b} \neq e^{a} + e^{b}\). Par exemple \(e^{0+0} = 1\) alors que \(e^{0}+e^{0} = 2\). De même \(e^{2x} = (e^{x})^{2}\), et non \(2e^{x}\).
4. Signe et variations
Pour tout réel \(x\), \(e^{x} > 0\).
En effet, \(e^{x} = \big(e^{x/2}\big)^{2} \geq 0\) comme carré, et \(e^{x} \neq 0\) d’après la partie 2. Comme \(\exp' = \exp > 0\), la fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(0\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|
| signe de \(\exp'(x)\) | + | + | + |
| variations de \(\exp\) | croît | \(1\) | croît |
Conséquences : \(e^{a} = e^{b} \iff a = b\) et \(e^{a} < e^{b} \iff a < b\). On peut donc résoudre des équations et des inéquations en comparant les exposants. De plus \(e^{x} > 1 \iff x > 0\) puisque \(e^{0} = 1\).
Résoudre \(e^{2x-1} \leq e^{x+4}\).
La fonction exponentielle est strictement croissante : l’inéquation équivaut à \(2x-1 \leq x+4\), c’est-à-dire \(x \leq 5\). L’ensemble des solutions est \(]-\infty\,;\,5]\).
5. Dérivée de \(x \mapsto e^{ax+b}\)
Soient \(a\) et \(b\) deux réels. La fonction \(g : x \mapsto e^{ax+b}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et
\[ g'(x) = a\,e^{ax+b}. \]
On la combine avec les formules de dérivation d’un produit et d’un quotient.
Dériver \(f(x) = (3x-2)\,e^{-x}\).
On pose \(u(x) = 3x-2\) et \(v(x) = e^{-x}\), donc \(u'(x) = 3\) et \(v'(x) = -e^{-x}\). Alors
\[ f'(x) = 3e^{-x} + (3x-2)\times(-e^{-x}) = (3 - 3x + 2)\,e^{-x} = (5-3x)\,e^{-x}. \]
Comme \(e^{-x} > 0\), le signe de \(f'(x)\) est celui de \(5-3x\) : \(f\) croît jusqu’à \(x = \dfrac{5}{3}\), puis décroît.
- Calculer la dérivée et la factoriser par l’exponentielle.
- Utiliser \(e^{u} > 0\) : le signe de \(f'\) est celui du facteur restant.
- Dresser le tableau de variations et calculer les valeurs remarquables.
6. Courbe représentative
La courbe de \(\exp\) est située entièrement au-dessus de l’axe des abscisses. Elle passe par \(A(0\,;\,1)\) et \(B(1\,;\,e)\), monte de plus en plus vite pour \(x > 0\) et se rapproche de l’axe des abscisses quand \(x\) devient très négatif (comportement admis).
Au point d’abscisse \(0\), la tangente a pour équation \(y = \exp'(0)(x - 0) + \exp(0)\), soit \(y = x + 1\). On admet que la courbe reste au-dessus de cette tangente : \(e^{x} \geq x + 1\) pour tout réel \(x\).
Sur ma planète, on reconnaît \(e^{-x}\) en retournant la courbe comme dans un miroir posé sur l’axe vertical : la courbe de \(x \mapsto e^{-x}\) est la symétrique de celle de \(\exp\) par rapport à l’axe des ordonnées.
7. Suites géométriques et exponentielle
Soit \(a\) un réel et \(u_n = e^{an}\). Alors
\[ u_{n+1} = e^{a(n+1)} = e^{an}\,e^{a} = e^{a}\,u_n. \]
La suite \((u_n)\) est donc géométrique de raison \(e^{a}\) et de premier terme \(u_0 = 1\). Plus généralement, \(u_n = C\,e^{an}\) est géométrique de raison \(e^{a}\) et de premier terme \(C\).
Étudier \(u_n = 3e^{-0{,}3n}\).
La raison est \(q = e^{-0{,}3} \approx 0{,}741\) et \(u_0 = 3\). Comme \(0 < q < 1\) et \(u_0 > 0\), la suite est strictement décroissante, et ses termes se rapprochent de \(0\). Par exemple \(u_5 = 3e^{-1{,}5} \approx 0{,}669\).
La raison \(e^{a}\) est supérieure à \(1\) si \(a > 0\) (suite croissante pour \(u_0 > 0\)) et comprise entre \(0\) et \(1\) si \(a < 0\) (suite décroissante pour \(u_0 > 0\)).
À retenir
- \(\exp\) est l’unique fonction dérivable vérifiant \(f' = f\) et \(f(0) = 1\) ; on note \(\exp(x) = e^{x}\).
- \(e^{a+b} = e^{a}e^{b}\), \(e^{-a} = \dfrac{1}{e^{a}}\), \((e^{a})^{n} = e^{na}\), \(e^{0} = 1\).
- \(e^{x} > 0\) pour tout \(x\) ; \(\exp\) est strictement croissante ; \(e^{a} = e^{b} \iff a = b\).
- \((e^{ax+b})' = a\,e^{ax+b}\).
- La tangente en \(A(0\,;\,1)\) est \(y = x + 1\) ; la courbe est au-dessus de l’axe des abscisses.
- \((e^{an})\) est une suite géométrique de raison \(e^{a}\).
