Aires, durées et monnaie : cours de maths CM1

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Cours de maths en CM1 : Aires, durées et monnaie — Zyro, l’explorateur de Planète Maths

Combien de carrelage faut-il pour recouvrir une cuisine ? Combien de temps dure un film ? Combien doit-on rendre au vendeur de glaces ? Dans ce chapitre, tu apprends à mesurer trois grandeurs de la vie de tous les jours : l’aire, la durée et la monnaie.

Sommaire

1. Qu’est-ce qu’une aire ?

Définition L’aire d’une surface mesure la place qu’elle occupe. C’est « la quantité de surface » à l’intérieur d’une figure.

Quand on peint un mur, on peint sa surface : plus le mur est grand, plus il faut de peinture. L’aire ne se confond pas avec le périmètre, qui est la longueur du tour de la figure. Le périmètre se mesure en cm ou en m ; l’aire se mesure avec des unités d’aire comme le centimètre carré (\(\text{cm}^2\)) ou le mètre carré (\(\text{m}^2\)).

Un carré de 1 cm de côté a une aire de \(1\text{ cm}^2\). Un carré de 1 m de côté a une aire de \(1\text{ m}^2\).

2. Comparer des aires

Pour savoir quelle surface est la plus grande, on peut superposer les figures, les découper et recoller les morceaux, ou compter les carreaux d’un quadrillage. Deux figures de formes différentes peuvent avoir la même aire.

Exemple 1 Sur le dessin, la forme A (en escalier) compte \(3 + 3 + 2 + 2 + 1 + 1 = 12\) carreaux. La forme B est un rectangle de 4 colonnes et 3 rangées : \(4 \times 3 = 12\) carreaux. Les deux formes ont la même aire, alors qu’elles ne se ressemblent pas.

Attention Deux figures qui ont le même périmètre n’ont pas forcément la même aire. Un rectangle de 6 cm sur 3 cm et un rectangle de 5 cm sur 4 cm ont tous deux un périmètre de 18 cm, mais leurs aires sont différentes.

3. Mesurer une aire avec un carreau unité

Pour mesurer une aire, on choisit un carreau unité et on compte combien de carreaux recouvrent la surface. Le résultat est un nombre suivi de l’unité. Si le carreau mesure 1 cm de côté, on écrit l’aire en \(\text{cm}^2\).

Méthode : compter les carreaux

Repère le carreau unité (par exemple 1 cm²).
Compte les carreaux entiers, rangée par rangée, sans en oublier ni en compter deux fois.
Écris le résultat avec l’unité : « L’aire est de 24 cm². »

Exemple 2 Le rectangle dessiné est recouvert de 4 rangées de 6 carreaux. On peut compter un par un, ou calculer \(6 \times 4 = 24\). Son aire est de \(24\text{ cm}^2\).

4. L’aire du rectangle

Propriété L’aire d’un rectangle est égale au produit de sa longueur par sa largeur, exprimées dans la même unité :
\[ \mathcal{A} = L \times \ell \]
Si la longueur est en cm et la largeur en cm, l’aire est en \(\text{cm}^2\). Un carré est un rectangle dont les côtés sont égaux : son aire vaut côté \(\times\) côté.

Exemple 3 Un jardin rectangulaire mesure 12 m de long et 7 m de large. Son aire est \(12 \times 7 = 84\), donc \(84\text{ m}^2\). Un carré de 9 cm de côté a pour aire \(9 \times 9 = 81\text{ cm}^2\).

On peut aussi chercher une longueur manquante : si l’aire d’un rectangle est \(56\text{ cm}^2\) et sa longueur 8 cm, sa largeur est \(56 \div 8 = 7\) cm, car \(8 \times 7 = 56\).

Pour une figure en L, on la découpe en rectangles, on calcule l’aire de chacun, puis on additionne.

5. Lire l’heure

Sur une horloge à aiguilles, la petite aiguille montre les heures et la grande aiguille montre les minutes. Quand la grande aiguille est sur le 1, il s’est écoulé 5 minutes ; sur le 2, 10 minutes ; sur le 4, 20 minutes, et ainsi de suite de 5 en 5.

Ici, la petite aiguille a dépassé le 3 et la grande est sur le 4 : il est 3 h 20 min. Après-midi, on peut aussi dire 15 h 20. Pour passer de l’heure du matin à celle de l’après-midi, on ajoute 12 : 3 h du soir, c’est 15 h.

Astuce de Zyro Sur ma planète, une journée dure beaucoup plus longtemps ! Sur la Terre, retiens simplement qu’une journée est faite de 24 heures et que 15 h, c’est 3 h de l’après-midi.

6. Heures, minutes et secondes

Équivalences à connaître 1 jour = 24 h ; 1 h = 60 min ; 1 min = 60 s ; 1 quart d’heure = 15 min ; 1 demi-heure = 30 min.

Durée	En minutes
1 h	60 min
2 h	120 min
1 h 30 min	90 min
3 h 15 min	195 min

Méthode : convertir des minutes en heures et minutes

Cherche combien de fois 60 « entre » dans le nombre de minutes. Pour 135 min : \(135 = 2 \times 60 + 15\), donc 135 min = 2 h 15 min.

Dans l’autre sens, pour 2 h 15 min : \(2 \times 60 + 15 = 135\) min.

Attention Le temps ne se compte pas en base 10 : une heure a 60 minutes et non 100. Ainsi 1 h 75 min n’existe pas : c’est 2 h 15 min.

7. Calculer une durée

Pour trouver la durée entre deux heures, on avance par étapes : d’abord jusqu’à l’heure pleine suivante, puis par heures entières, puis on termine avec les dernières minutes.

Exemple 4 Un spectacle commence à 14 h 15 et se termine à 16 h 40. De 14 h 15 à 15 h, il y a 45 min. De 15 h à 16 h, il y a 1 h. De 16 h à 16 h 40, il y a 40 min. Au total : \(45 + 60 + 40 = 145\) min, soit 2 h 25 min.

Pour trouver une heure d’arrivée, on fait l’inverse : on ajoute la durée à l’heure de départ, en changeant d’heure à chaque fois qu’on dépasse 60 minutes. Départ à 9 h 50, trajet de 1 h 30 min : 9 h 50 + 10 min = 10 h, puis 20 min de plus et 1 h : 11 h 20.

8. Problèmes avec la monnaie

En France, on paie en euros (€) et en centimes. 1 € = 100 centimes. On écrit 2,35 € pour 2 euros et 35 centimes. Pour additionner ou soustraire des prix, on aligne les virgules, comme pour les nombres décimaux.

Méthode : rendre la monnaie

Calcule le total des achats en additionnant les prix.
Calcule la monnaie rendue : somme donnée \(-\) total.
Vérifie : total + monnaie rendue = somme donnée.

Exemple 5 Inès achète une glace à 2,40 € et une gaufre à 3,10 €. Total : \(2{,}40 + 3{,}10 = 5{,}50\) €. Elle donne un billet de 10 €. On lui rend \(10 - 5{,}50 = 4{,}50\) €. Vérification : \(5{,}50 + 4{,}50 = 10\).

Pour acheter plusieurs objets au même prix, on multiplie : 4 stylos à 1,50 € coûtent \(4 \times 1{,}50 = 6\) €.

À retenir

L’aire mesure la surface d’une figure, en \(\text{cm}^2\) ou en \(\text{m}^2\) ; le périmètre mesure son tour.
Pour mesurer une aire, on compte des carreaux unité.
Aire d’un rectangle : longueur \(\times\) largeur. Aire d’un carré : côté \(\times\) côté.
1 h = 60 min et 1 min = 60 s ; on calcule une durée par étapes.
1 € = 100 centimes ; monnaie rendue = somme donnée \(-\) total des achats.