Groupes, anneaux et corps : exercices de maths Licence L3 à télécharger en PDF

1 Ordre d’un élément de \(\mathbb{Z}/18\mathbb{Z}\) ★★★

Dans le groupe additif \(\mathbb{Z}/18\mathbb{Z}\), on considère la classe de 12. Déterminer son ordre et lister les éléments du sous-groupe qu’elle engendre.

2 Vrai ou faux : sous-groupes distingués ★★★

Justifier chaque affirmation.

1. Tout sous-groupe d’un groupe abélien est distingué.
2. Tout sous-groupe d’indice 2 est distingué.
3. Le sous-groupe \(H=\{\mathrm{id},(1\,2)\}\) de \(S_3\) est distingué.

3 Un quotient de \(\mathbb{Z}/20\mathbb{Z}\) ★★★

Soit \(G=\mathbb{Z}/20\mathbb{Z}\) et \(H=\langle 5\rangle\).

1. Donner \(|H|\) puis \(|G/H|\).
2. La classe de 7 est-elle égale à celle de 2 dans \(G/H\) ?
3. Quel est l’ordre de la classe de 7 dans \(G/H\) ?

4 Orbite et stabilisateur ★★★

Un groupe \(G\) d’ordre 24 agit sur un ensemble. Un point \(x\) a une orbite de 8 éléments, un point \(y\) a un stabilisateur d’ordre 12. Donner \(|G_x|\) et \(|G\cdot y|\).

5 Somme et intersection d’idéaux de \(\mathbb{Z}\) ★★★

Déterminer un générateur de l’idéal \((12)+(18)\) et de l’idéal \((12)\cap(18)\).

6 Polynômes de degré 2 ou 3 sur \(\mathbb{F}_2\) ★★★

Dire, en justifiant, lesquels des polynômes \(X^2+1\), \(X^2+X+1\) et \(X^3+X+1\) sont irréductibles dans \(\mathbb{F}_2[X]\).

7 Le corps \(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})\) ★★★

Soit \(a=\sqrt[3]{2}\). Montrer que \([\mathbb{Q}(a):\mathbb{Q}]=3\), donner une base, puis vérifier que \((1+a)(1-a+a^2)=3\) et en déduire l’inverse de \(1+a\).

8 Groupes d’ordre 21 ★★★

Soit \(G\) un groupe d’ordre 21.

1. Montrer que \(G\) possède un unique sous-groupe d’ordre 7.
2. Quelles valeurs peut prendre \(n_3\) ?
3. \(G\) est-il simple ?

9 Groupes d’ordre 35 ★★★

Montrer que tout groupe d’ordre 35 est cyclique.

10 Le quotient \(\mathbb{Z}[i]/(2+i)\) ★★★

On définit \(\varphi : \mathbb{Z}[i]\to\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\) par \(\varphi(a+bi)=a-2b \bmod 5\).

1. Vérifier que \(\varphi\) est un morphisme d’anneaux surjectif.
2. Montrer que \(\ker\varphi=(2+i)\).
3. Conclure.

11 Calculs dans \(\mathbb{F}_4\) ★★★

Soit \(\mathbb{F}_4=\mathbb{F}_2[X]/(X^2+X+1)\) et \(\alpha\) la classe de \(X\), de sorte que \(\alpha^2=\alpha+1\).

1. Calculer \(\alpha^3\).
2. Calculer \((\alpha+1)^2\).
3. Déterminer l’inverse de \(\alpha\).

12 Critère d’Eisenstein ★★★

Montrer que \(P=X^4+10X^2-15X+20\) est irréductible sur \(\mathbb{Q}\).

13 Colorier les sommets d’un carré ★★★

On colorie les 4 sommets d’un carré en noir ou blanc. Deux coloriages sont identiques s’ils se déduisent l’un de l’autre par une rotation (de 0°, 90°, 180° ou 270°). Combien y a-t-il de coloriages distincts ?

14 Inverses dans \(\mathbb{Q}(\sqrt2)\) ★★★

Montrer que \(\mathbb{Q}[X]/(X^2-2)\) est un corps, noté \(\mathbb{Q}(\sqrt2)\) en posant \(\sqrt2\) la classe de \(X\). Calculer les inverses de \(1+\sqrt2\) et de \(3+\sqrt2\).

15 Groupes d’ordre 12 ★★★

Montrer qu’un groupe \(G\) d’ordre 12 possède un sous-groupe de Sylow distingué.

16 Groupes d’ordre 56 non simples ★★★

Montrer qu’aucun groupe d’ordre 56 n’est simple.

17 Le corps à 9 éléments ★★★

Soit \(\mathbb{F}_9=\mathbb{F}_3[X]/(X^2+1)\) et \(i\) la classe de \(X\).

1. Justifier que \(X^2+1\) est irréductible sur \(\mathbb{F}_3\).
2. Calculer les puissances \((1+i)^2\), \((1+i)^4\) et \((1+i)^8\).
3. En déduire que \(1+i\) engendre \(\mathbb{F}_9^\times\).

18 Irréductibilité de \(X^4+1\) ★★★

Montrer que \(X^4+1\) est irréductible sur \(\mathbb{Q}\) en utilisant \(P(X+1)\).

19 L’idéal \((2,X)\) de \(\mathbb{Z}[X]\) ★★★

Soit \(I=(2,X)=\{2P+XQ : P,Q\in\mathbb{Z}[X]\}\). Montrer que \(I\) n’est pas principal.

20 Compter les polynômes irréductibles de degré 2 ★★★

Combien y a-t-il de polynômes unitaires irréductibles de degré 2 dans \(\mathbb{F}_5[X]\) ? On pourra compter les polynômes réductibles.