Partager une pizza, doser une recette, lire l’avancement d’une barre de chargement : les fractions sont partout. En 4ème, tu ne te contentes plus de les lire, tu les fais travailler : simplifier, additionner, multiplier, diviser. Ce chapitre te donne la méthode pour chaque opération et les pièges à éviter.
1. Fractions égales et simplification
Une fraction ne change pas de valeur quand on multiplie, ou quand on divise, son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul :
\[ \dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times k}{b \times k} = \dfrac{a \div k}{b \div k} \quad (b \neq 0,\ k \neq 0) \]
Simplifier une fraction, c’est la remplacer par une fraction égale avec des nombres plus petits. Elle est irréductible quand on ne peut plus la simplifier, c’est-à-dire quand son numérateur et son dénominateur n’ont pas d’autre diviseur commun que \(1\).
- Cherche un diviseur commun au numérateur et au dénominateur (utilise les critères : pair, multiple de \(3\), de \(5\), de \(9\)…).
- Divise les deux nombres par ce diviseur.
- Recommence tant que c’est possible, ou divise d’un coup par le plus grand diviseur commun (PGCD).
Simplifier \(\dfrac{84}{126}\). Les deux nombres sont pairs : \(\dfrac{84}{126} = \dfrac{42}{63}\). Ils sont multiples de \(21\) : \(\dfrac{42}{63} = \dfrac{2}{3}\). La fraction \(\dfrac{2}{3}\) est irréductible, donc \(\dfrac{84}{126} = \dfrac{2}{3}\).
On ne peut pas « simplifier » une addition. Écrire \(\dfrac{3 + 5}{3 + 7} = \dfrac{5}{7}\) est faux : on ne simplifie que des facteurs, jamais des termes d’une somme.
2. Réduire au même dénominateur
Pour comparer ou additionner deux fractions, il faut qu’elles aient le même dénominateur. On choisit de préférence le plus petit multiple commun aux dénominateurs (PPCM).
- Liste les multiples de chaque dénominateur jusqu’à en trouver un commun : c’est le dénominateur commun.
- Pour chaque fraction, trouve par combien multiplier son dénominateur, puis multiplie aussi son numérateur par ce nombre.
| Dénominateur | Premiers multiples |
|---|---|
| 6 | 6 ; 12 ; 18 ; 24 ; 30 |
| 8 | 8 ; 16 ; 24 ; 32 |
Réduire \(\dfrac{5}{6}\) et \(\dfrac{3}{8}\) au même dénominateur. Le plus petit multiple commun de \(6\) et \(8\) est \(24\) : \(\dfrac{5}{6} = \dfrac{5 \times 4}{6 \times 4} = \dfrac{20}{24}\) et \(\dfrac{3}{8} = \dfrac{3 \times 3}{8 \times 3} = \dfrac{9}{24}\). Comme \(20 > 9\), on a \(\dfrac{5}{6} > \dfrac{3}{8}\).
Sur la droite graduée ci-dessus, \(\dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{12}\) et \(\dfrac{5}{6} = \dfrac{10}{12}\) : à dénominateur égal, la plus grande fraction est celle qui a le plus grand numérateur.
3. Additionner et soustraire des fractions
On n’additionne (ou ne soustrait) que des fractions de même dénominateur : on garde le dénominateur et on additionne (ou soustrait) les numérateurs.
\[ \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a + b}{c} \qquad \dfrac{a}{c} - \dfrac{b}{c} = \dfrac{a - b}{c} \]
\(\dfrac{2}{9} + \dfrac{5}{6}\) : le dénominateur commun est \(18\). \(\dfrac{2}{9} + \dfrac{5}{6} = \dfrac{4}{18} + \dfrac{15}{18} = \dfrac{19}{18}\).
\(\dfrac{7}{10} - \dfrac{2}{15}\) : le dénominateur commun est \(30\). \(\dfrac{7}{10} - \dfrac{2}{15} = \dfrac{21}{30} - \dfrac{4}{30} = \dfrac{17}{30}\).
\(3 - \dfrac{4}{5}\) : on écrit \(3 = \dfrac{15}{5}\), donc \(3 - \dfrac{4}{5} = \dfrac{15}{5} - \dfrac{4}{5} = \dfrac{11}{5}\).
On n’additionne jamais les dénominateurs : \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}\) ne vaut pas \(\dfrac{2}{5}\), mais \(\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}\). Pense toujours à simplifier le résultat à la fin.
4. Multiplier des fractions
Le produit de deux fractions est la fraction dont le numérateur est le produit des numérateurs et dont le dénominateur est le produit des dénominateurs :
\[ \dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d} \quad (b \neq 0,\ d \neq 0) \]
La figure montre pourquoi : prendre \(\dfrac{2}{3}\) de \(\dfrac{3}{4}\) revient à garder, dans un carré partagé en \(3 \times 4 = 12\) carreaux, ceux qui sont dans \(2\) colonnes et \(3\) lignes, soit \(2 \times 3 = 6\) carreaux : \(\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}\).
- Détermine le signe du résultat : positif si les deux facteurs ont le même signe, négatif sinon.
- Décompose les nombres en facteurs et simplifie avant de multiplier.
- Multiplie les numérateurs, puis les dénominateurs.
\(\dfrac{14}{15} \times \dfrac{5}{21} = \dfrac{2 \times 7}{3 \times 5} \times \dfrac{5}{3 \times 7} = \dfrac{2}{3 \times 3} = \dfrac{2}{9}\).
\(-\dfrac{3}{8} \times \dfrac{4}{9} = -\dfrac{3 \times 4}{8 \times 9} = -\dfrac{12}{72} = -\dfrac{1}{6}\).
5. Inverse d’un nombre non nul
Deux nombres sont inverses l’un de l’autre quand leur produit vaut \(1\). L’inverse d’un nombre non nul \(\dfrac{a}{b}\) (avec \(a \neq 0\) et \(b \neq 0\)) est \(\dfrac{b}{a}\), car \(\dfrac{a}{b} \times \dfrac{b}{a} = 1\).
L’inverse de \(\dfrac{5}{7}\) est \(\dfrac{7}{5}\). L’inverse de \(4\) est \(\dfrac{1}{4}\). L’inverse de \(-\dfrac{2}{3}\) est \(-\dfrac{3}{2}\). L’inverse de \(0{,}25 = \dfrac{1}{4}\) est \(4\).
Le nombre \(0\) n’a pas d’inverse : aucun nombre multiplié par \(0\) ne donne \(1\). L’inverse garde le même signe que le nombre de départ ; il ne faut pas confondre avec l’opposé.
6. Diviser des fractions
Diviser par un nombre non nul, c’est multiplier par son inverse :
\[ \dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c} \quad (b,\ c,\ d \text{ non nuls}) \]
\(\dfrac{3}{5} \div \dfrac{9}{10} = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{10}{9} = \dfrac{30}{45} = \dfrac{2}{3}\).
\(7 \div \dfrac{2}{3} = 7 \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{21}{2}\).
Sur ma planète, on dit que diviser par une fraction, c’est « retourner la fraction et multiplier ». Avant de retourner, vérifie bien que ce n’est pas la première fraction que tu retournes !
7. Priorités opératoires avec des fractions
Les règles sont les mêmes qu’avec les entiers : on calcule d’abord dans les parenthèses, puis les multiplications et divisions (de gauche à droite), puis les additions et soustractions.
\(A = \dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{6} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\).
\(B = \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4}\right) \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{4} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{10}{12} = \dfrac{5}{6}\).
Dans \(A\), il est interdit de commencer par la soustraction : la multiplication est prioritaire. Calculer \(\left(\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{3}\right) \times \dfrac{3}{2}\) donnerait un tout autre résultat.
8. Fraction d’une quantité
Prendre \(\dfrac{a}{b}\) d’une quantité \(Q\), c’est calculer \(\dfrac{a}{b} \times Q\). En pratique : on divise \(Q\) par \(b\), puis on multiplie par \(a\).
Un collège compte \(40\) élèves en 4ème et \(\dfrac{3}{5}\) d’entre eux sont demi-pensionnaires. \(40 \div 5 = 8\), puis \(8 \times 3 = 24\) : il y a \(24\) demi-pensionnaires.
Prendre \(\dfrac{2}{9}\) de \(450\) €, c’est \(\dfrac{2}{9} \times 450 = 2 \times 50 = 100\) €.
On peut aussi prendre une fraction d’une fraction : \(\dfrac{1}{3}\) de \(\dfrac{3}{4}\) vaut \(\dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}\).
À retenir
- On ne change pas une fraction en multipliant ou en divisant haut et bas par le même nombre non nul ; on simplifie des facteurs, jamais des termes.
- Pour additionner ou soustraire, on réduit au même dénominateur, puis on garde le dénominateur.
- \(\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}\) : on simplifie avant de multiplier.
- L’inverse de \(\dfrac{a}{b}\) est \(\dfrac{b}{a}\) ; le nombre \(0\) n’a pas d’inverse.
- Diviser par une fraction, c’est multiplier par son inverse.
- Priorités : parenthèses, puis multiplications et divisions, puis additions et soustractions.
- Prendre \(\dfrac{a}{b}\) d’une quantité \(Q\), c’est calculer \(\dfrac{a}{b} \times Q\).
Entraîne-toi : défi express de 4ème
Automatismes 4ème : combien de réponses en 60 secondes ?
🚀 Zyro te conseille la suite
✏️ Exercices de mathsFractions : exercices de maths 4ème
📝 Contrôles de mathsFractions : contrôle de maths 4ème
🎯 QCM de mathsFractions : QCM de maths 4ème
✏️ Exercices de mathsPuissances : exercices de maths 4ème
✏️ Exercices de mathsCalcul littéral : exercices de maths 4ème
📝 Contrôles de mathsPuissances : contrôle de maths 4ème