Un toit de maison, une voile de bateau, la charpente d’un pont : les triangles sont partout, parce que c’est la figure la plus solide qui existe. Dans ce chapitre, tu vas découvrir ce qui est toujours vrai pour les angles d’un triangle, reconnaître les triangles particuliers, savoir quand un triangle peut exister, le construire, puis utiliser les droites parallèles et les médiatrices pour trouver des angles et des longueurs.
1. La somme des angles d’un triangle
Dans un triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à \(180^\circ\).
Pour un triangle \(ABC\) : \[ \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ \]
Sur la figure, \(65^\circ + 47^\circ + 68^\circ = 180^\circ\). Quelle que soit la forme du triangle, grand, petit, pointu ou étalé, ce total ne change jamais. Si tu connais deux angles, le troisième s’en déduit : on soustrait leur somme à \(180^\circ\).
Dans le triangle \(KLM\), \(\widehat{K} = 52^\circ\) et \(\widehat{L} = 83^\circ\). Calcule \(\widehat{M}\).
La somme des angles d’un triangle vaut \(180^\circ\), donc \(\widehat{M} = 180^\circ - 52^\circ - 83^\circ = 45^\circ\).
Un triangle ne peut avoir qu’un seul angle droit ou obtus : deux angles de \(90^\circ\) ou plus feraient déjà \(180^\circ\), et il ne resterait plus rien pour le troisième.
2. Les triangles particuliers
Un triangle isocèle possède deux côtés de même longueur. Le sommet commun à ces deux côtés est le sommet principal, le côté opposé est la base.
Si un triangle est isocèle, alors ses deux angles à la base sont égaux.
Un triangle équilatéral a trois côtés de même longueur. Ses trois angles sont égaux, donc chacun mesure \(180^\circ \div 3 = 60^\circ\).
Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires : leur somme vaut \(90^\circ\).
Le triangle \(RST\) est isocèle en \(S\) avec \(\widehat{S} = 40^\circ\). Calcule \(\widehat{R}\) et \(\widehat{T}\).
Les angles à la base sont égaux et la somme vaut \(180^\circ\) : \(\widehat{R} + \widehat{T} = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ\). Donc \(\widehat{R} = \widehat{T} = 140^\circ \div 2 = 70^\circ\).
3. L’inégalité triangulaire
Pour aller d’un point \(A\) à un point \(B\), le chemin le plus court est la ligne droite. Passer par un troisième point \(C\) ne peut que rallonger le trajet.
Pour trois points \(A\), \(B\), \(C\) : \(AB \leqslant AC + CB\).
Trois longueurs permettent de construire un vrai triangle si et seulement si la plus grande est strictement plus petite que la somme des deux autres.
Si la plus grande longueur est égale à la somme des deux autres, les trois points sont alignés : le triangle est aplati, ce n’est plus un vrai triangle.
Peut-on construire un triangle de côtés \(3\) cm, \(4\) cm et \(8\) cm ? Et de côtés \(6\) cm, \(7\) cm et \(10\) cm ?
Premier cas : le plus grand côté est \(8\) et \(3 + 4 = 7\). Comme \(8 > 7\), c’est impossible.
Second cas : le plus grand côté est \(10\) et \(6 + 7 = 13\). Comme \(10 < 13\), le triangle existe.
Il faut comparer le plus grand côté à la somme des deux autres. Comparer deux petits côtés ne prouve rien.
4. Construire un triangle
- Vérifie avec l’inégalité triangulaire que le triangle existe.
- Trace avec la règle le plus long côté, par exemple \([EF]\).
- Avec le compas, trace un arc de centre \(E\) et de rayon égal à la deuxième longueur.
- Trace un arc de centre \(F\) et de rayon égal à la troisième longueur.
- Les deux arcs se coupent en \(G\) : relie \(G\) à \(E\) et à \(F\).
Quand on connaît un côté et les deux angles qui lui sont adjacents, on trace le côté, puis on utilise le rapporteur pour tracer les deux demi-droites ; elles se coupent au troisième sommet. Avec deux côtés et l’angle compris entre eux, on trace l’angle au rapporteur, puis on reporte les longueurs au compas ou à la règle.
Avant de te lancer, fais un petit croquis à main levée avec les mesures : tu verras tout de suite si le triangle est possible et quel côté tracer en premier.
5. Droites parallèles et angles alternes-internes
Deux droites sont coupées par une troisième, appelée sécante. Cela forme huit angles, qu’on classe par paires.
Deux angles sont alternes-internes s’ils sont situés entre les deux droites, de part et d’autre de la sécante. Ils dessinent un « Z » ou un « N ».
Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes-internes sont égaux.
Réciproque : si deux angles alternes-internes sont égaux, alors les deux droites sont parallèles.
Sur la figure, \((d)\) et \((d’)\) sont parallèles et \(a = 65^\circ\). Quelle est la mesure de \(b\) ?
Les angles \(a\) et \(b\) sont alternes-internes et les droites sont parallèles, donc \(b = a = 65^\circ\).
N’oublie pas non plus que deux angles adjacents qui forment ensemble un angle plat (une droite) ont pour somme \(180^\circ\).
6. Angles correspondants
Deux angles sont correspondants s’ils sont du même côté de la sécante et, chacun, du même côté de sa droite (tous deux au-dessus, ou tous deux au-dessous). L’un se retrouve en « glissant » l’autre le long de la sécante.
Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles correspondants sont égaux.
Réciproque : si deux angles correspondants sont égaux, alors les deux droites sont parallèles.
Deux droites coupées par une sécante forment deux angles correspondants de \(108^\circ\) et \(110^\circ\). Les droites sont-elles parallèles ?
Si elles l’étaient, les angles correspondants seraient égaux. Comme \(108^\circ \neq 110^\circ\), les droites ne sont pas parallèles.
7. La médiatrice d’un segment
La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment qui passe par son milieu.
Un point appartient à la médiatrice de \([AB]\) si et seulement s’il est à égale distance de \(A\) et de \(B\) : \(MA = MB\).
- Ouvre le compas un peu plus que la moitié de \(AB\).
- Trace un arc de centre \(A\) au-dessus et en dessous du segment, puis un arc de même rayon de centre \(B\).
- Les arcs se coupent en deux points : la droite qui passe par eux est la médiatrice.
Le point \(M\) est sur la médiatrice de \([AB]\) avec \(MA = 5{,}3\) cm. Que vaut \(MB\) ? Le point \(P\), tel que \(PA = 4\) cm et \(PB = 4{,}5\) cm, est-il sur cette médiatrice ?
\(M\) est sur la médiatrice, donc \(MB = MA = 5{,}3\) cm. Pour \(P\), on a \(PA \neq PB\), donc \(P\) n’est pas sur la médiatrice.
8. Le cercle circonscrit à un triangle
Le cercle circonscrit à un triangle est le cercle qui passe par ses trois sommets.
Son centre \(O\) est à la même distance des trois sommets : \(OA = OB = OC\). D’après la propriété précédente, \(O\) est donc sur la médiatrice de \([AB]\), sur celle de \([BC]\) et sur celle de \([AC]\). Les trois médiatrices d’un triangle se coupent en un même point : le centre du cercle circonscrit.
- Trace les médiatrices de deux côtés.
- Leur point d’intersection est le centre \(O\).
- Pointe le compas en \(O\), ouvre-le jusqu’à un sommet et trace le cercle.
Le cercle circonscrit à \(ABC\) a pour centre \(O\) et pour rayon \(3\) cm. On sait que \(\widehat{AOB} = 100^\circ\). Calcule \(\widehat{OAB}\).
\(OA = OB = 3\) cm : le triangle \(OAB\) est isocèle en \(O\), donc \(\widehat{OAB} = \widehat{OBA} = (180^\circ - 100^\circ) \div 2 = 40^\circ\).
À retenir
- La somme des angles d’un triangle vaut toujours \(180^\circ\).
- Triangle isocèle : deux angles égaux à la base ; équilatéral : trois angles de \(60^\circ\) ; rectangle : deux angles aigus de somme \(90^\circ\).
- Un triangle existe si le plus grand côté est strictement plus petit que la somme des deux autres.
- Pour construire un triangle de trois côtés connus : un côté à la règle, deux arcs de compas.
- Deux droites parallèles coupées par une sécante forment des angles alternes-internes égaux et des angles correspondants égaux ; la réciproque permet de prouver un parallélisme.
- La médiatrice de \([AB]\) est l’ensemble des points \(M\) tels que \(MA = MB\) ; les trois médiatrices d’un triangle se coupent au centre de son cercle circonscrit.
Entraîne-toi : défi express de 5ème
Automatismes 5ème : combien de réponses en 60 secondes ?
🚀 Zyro te conseille la suite
✏️ Exercices de mathsTriangles et angles : exercices de maths 5ème
📝 Contrôles de mathsTriangles et angles : contrôle de maths 5ème
🎯 QCM de mathsTriangles et angles : QCM de maths 5ème
✏️ Exercices de mathsParallélogrammes : exercices de maths 5ème
✏️ Exercices de mathsAires et périmètres : exercices de maths 5ème
📝 Contrôles de mathsParallélogrammes : contrôle de maths 5ème