Doubler une recette, lire une carte, calculer une remise en magasin, prévoir la durée d’un trajet : toutes ces situations reposent sur une même idée, la proportionnalité. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à la reconnaître, à l’utiliser avec un tableau, puis à t’en servir pour les pourcentages, les échelles, les vitesses et les graphiques.
1. Reconnaître la proportionnalité et le coefficient
Deux grandeurs sont proportionnelles lorsqu’on passe des valeurs de l’une aux valeurs de l’autre en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité.
Au marché, \(3\) kg de pommes coûtent \(7{,}50\) €, \(5\) kg coûtent \(12{,}50\) € et \(8\) kg coûtent \(20\) €. On calcule \(7{,}50 \div 3 = 2{,}5\), \(12{,}50 \div 5 = 2{,}5\) et \(20 \div 8 = 2{,}5\). Les trois quotients sont égaux : le prix est proportionnel à la masse, et le coefficient est \(2{,}5\) €/kg (le prix d’un kilogramme).
Quand les quotients ne sont pas tous égaux, il n’y a pas proportionnalité. Ainsi, l’âge d’un enfant et sa taille ne sont pas proportionnels : à \(20\) ans, personne ne mesure le double de sa taille à \(10\) ans !
Que deux nombres augmentent ensemble ne suffit pas pour dire qu’ils sont proportionnels. Il faut vérifier que tous les quotients sont égaux.
2. Le tableau de proportionnalité
On range les valeurs dans un tableau : une ligne par grandeur. Pour passer de la première ligne à la seconde, on multiplie par le coefficient.
| Masse (kg) | 3 | 5 | 8 |
|---|---|---|---|
| Prix (€) | 7,50 | 12,50 | 20 |
- Cherche le coefficient (ou le passage d’une colonne à une autre) en divisant deux valeurs connues d’une même colonne.
- Multiplie (ou divise) la valeur connue de la ligne.
- Autre méthode, le produit en croix : si \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\), alors \(a \times d = b \times c\).
Pour \(6\) personnes, une recette demande \(450\) g de farine. Pour \(10\) personnes, on calcule \(450 \times 10 \div 6 = 750\) g. Pour \(1\) personne, il faut \(450 \div 6 = 75\) g : c’est le coefficient.
Dans un tableau de proportionnalité, on peut additionner des colonnes entre elles, et multiplier ou diviser une colonne par un même nombre : on obtient encore une colonne du tableau.
3. Les pourcentages
Prendre \(t\) % d’une quantité, c’est la multiplier par \(\dfrac{t}{100}\). Par exemple, \(35\) % correspond au coefficient \(0{,}35\).
Un club compte \(240\) adhérents, dont \(35\) % ont moins de \(14\) ans. Cela fait \(240 \times 0{,}35 = 84\) adhérents.
Dans une classe de \(24\) élèves, \(18\) viennent à pied. La proportion est \(\dfrac{18}{24} = 0{,}75 = 75\) %.
Sur ma planète, on calcule \(10\) % en divisant par \(10\), puis on fabrique \(5\) % en prenant la moitié, et \(20\) % en doublant. Essaie : \(15\) % de \(80\) = \(8 + 4 = 12\) !
4. Les évolutions en pourcentage
Une quantité qui augmente de \(t\) % est multipliée par \(1 + \dfrac{t}{100}\). Si elle baisse de \(t\) %, elle est multipliée par \(1 - \dfrac{t}{100}\). Ce nombre est le coefficient multiplicateur.
Un blouson à \(80\) € augmente de \(15\) %. Le coefficient est \(1{,}15\) et le nouveau prix est \(80 \times 1{,}15 = 92\) €.
Un sac à \(120\) € est soldé à \(-30\) %. Le coefficient est \(0{,}70\), donc le prix soldé est \(120 \times 0{,}70 = 84\) €.
- Calcule la variation : valeur finale moins valeur initiale.
- Divise par la valeur initiale.
- Écris le résultat en pourcentage.
De \(50\) à \(62\) : variation \(12\), puis \(\dfrac{12}{50} = 0{,}24\), soit une hausse de \(24\) %.
Une hausse de \(20\) % suivie d’une baisse de \(20\) % ne ramène pas au prix de départ : les deux pourcentages ne portent pas sur la même valeur.
5. Les échelles
Un plan ou une carte est une reproduction proportionnelle de la réalité. L’échelle est le coefficient qui permet de passer des longueurs sur le plan aux longueurs réelles, exprimées dans la même unité.
Sur une carte à l’échelle \(\dfrac{1}{25\,000}\), la distance entre la gare et le marché mesure \(4\) cm. Sur le terrain : \(4 \times 25\,000 = 100\,000\) cm, soit \(1\) km. Dans l’autre sens, \(2{,}5\) km réels sont \(250\,000\) cm, donc \(250\,000 \div 25\,000 = 10\) cm sur la carte.
6. La vitesse moyenne
Si un déplacement est parcouru à vitesse constante, la distance est proportionnelle à la durée. La vitesse moyenne est \[ v = \dfrac{d}{t}. \] On en déduit \(d = v \times t\) et \(t = \dfrac{d}{v}\).
Un train parcourt \(150\) km en \(2\) h \(30\) min, soit \(2{,}5\) h. Sa vitesse moyenne est \(\dfrac{150}{2{,}5} = 60\) km/h. À cette vitesse, \(210\) km demandent \(\dfrac{210}{60} = 3{,}5\) h, c’est-à-dire \(3\) h \(30\) min.
Les durées ne sont pas décimales : \(2\) h \(30\) min vaut \(2{,}5\) h, mais \(2\) h \(15\) min vaut \(2{,}25\) h, et non \(2{,}15\) h.
Pour changer d’unité : \(1\) m/s \(= 3{,}6\) km/h. Ainsi \(72\) km/h \(= 72 \div 3{,}6 = 20\) m/s.
7. Les grandeurs composées
Une grandeur composée s’obtient avec deux autres grandeurs et se lit avec deux unités : km/h, L/min, g/cm³, kWh…
Un robinet délivre \(12\) L/min. En \(25\) min, il remplit \(12 \times 25 = 300\) L.
Un métal pèse \(2{,}7\) g/cm³. Un bloc de \(50\) cm³ pèse \(2{,}7 \times 50 = 135\) g.
Un radiateur de \(1{,}5\) kW qui fonctionne \(4\) h consomme \(1{,}5 \times 4 = 6\) kWh.
8. La représentation graphique
Deux grandeurs sont proportionnelles si et seulement si les points qui les représentent dans un repère sont alignés avec l’origine : on obtient une droite qui passe par l’origine \(O\).
Sur la figure, le prix des pommes en fonction de la masse est une droite passant par \(O\). Le point d’abscisse \(1\) a pour ordonnée \(2{,}5\) : c’est le coefficient. Une droite qui ne passe pas par l’origine, ou une courbe, ne représente pas une situation de proportionnalité.
À retenir
- Deux grandeurs sont proportionnelles si on passe de l’une à l’autre en multipliant par un même coefficient.
- Pour une valeur manquante : coefficient ou produit en croix.
- \(t\) % d’une quantité : on multiplie par \(\dfrac{t}{100}\).
- Hausse de \(t\) % : on multiplie par \(1 + \dfrac{t}{100}\) ; baisse de \(t\) % : par \(1 - \dfrac{t}{100}\).
- Échelle : longueur réelle = longueur sur le plan multipliée par le dénominateur.
- Vitesse : \(v = \dfrac{d}{t}\) ; \(1\) m/s \(= 3{,}6\) km/h.
- Graphique d’une proportionnalité : une droite passant par l’origine.
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