Dériver, tu sais le faire : on passe d’une fonction à sa pente. Dans ce chapitre, on remonte le chemin. Connaissant la vitesse d’un mobile, comment retrouver sa position ? Connaissant la vitesse de refroidissement d’une tasse de thé, comment prévoir sa température dans vingt minutes ? Les primitives et les équations différentielles répondent à ces questions, et elles servent partout : physique, biologie, économie.
1. Primitive d’une fonction
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\). Une primitive de \(f\) sur \(I\) est une fonction \(F\), dérivable sur \(I\), telle que \(F^{\prime}(x) = f(x)\) pour tout \(x\) de \(I\).
Par exemple, \(F(x) = x^2\) est une primitive de \(f(x) = 2x\) sur \(\mathbb{R}\), mais \(x^2 - 2\) et \(x^2 + 3\) aussi : une constante disparaît quand on dérive. Il n’y a donc pas une primitive, mais toute une famille.
Si \(f\) est continue sur un intervalle \(I\), alors \(f\) admet des primitives sur \(I\). Si \(F\) est l’une d’elles, les primitives de \(f\) sur \(I\) sont exactement les fonctions \(x \mapsto F(x) + c\), où \(c\) est un réel quelconque.
De plus, pour tous réels \(x_0\) dans \(I\) et \(y_0\), il existe une seule primitive \(G\) de \(f\) telle que \(G(x_0) = y_0\).
Sur la figure, les trois courbes se déduisent l’une de l’autre par une translation verticale : en \(x = 1\), toutes ont la même pente \(f(1) = 2\), mais elles passent par des points différents \(F_1\), \(F_2\), \(F_3\). Fixer la valeur en un point (une condition initiale) sélectionne une seule courbe.
N’oublie jamais le « \(+ c\) » quand tu demandes toutes les primitives. En revanche, quand l’énoncé impose une valeur en un point, tu dois déterminer \(c\) et donner une seule fonction.
2. Primitives usuelles
Lire le tableau des dérivées « de droite à gauche » donne les primitives des fonctions de référence.
| Fonction \(f\) | Une primitive \(F\) | Sur l’intervalle |
|---|---|---|
| \(k\) (constante) | \(kx\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x^n\), \(n\) entier, \(n \neq -1\) | \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) | \(\mathbb{R}\) si \(n \geqslant 0\), sinon \(]0\,;+\infty[\) ou \(]-\infty\,;0[\) |
| \(\dfrac{1}{x^2}\) | \(-\dfrac{1}{x}\) | \(]0\,;+\infty[\) |
| \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) | \(2\sqrt{x}\) | \(]0\,;+\infty[\) |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(\ln x\) | \(]0\,;+\infty[\) |
| \(e^{x}\) | \(e^{x}\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\cos x\) | \(\sin x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\sin x\) | \(-\cos x\) | \(\mathbb{R}\) |
La linéarité de la dérivation s’étend : si \(F\) et \(G\) sont des primitives de \(f\) et \(g\), alors \(F + G\) est une primitive de \(f + g\), et \(kF\) est une primitive de \(kf\).
Primitives de \(f(x) = 4x^3 - 6x + 5 + 2e^{x}\) sur \(\mathbb{R}\).
On primitive terme à terme : \(F(x) = 4 \times \dfrac{x^4}{4} - 6 \times \dfrac{x^2}{2} + 5x + 2e^{x} + c = x^4 - 3x^2 + 5x + 2e^{x} + c\).
3. Primitives de formes composées
La dérivée d’une fonction composée fait apparaître un facteur \(u^{\prime}\). En lisant ces formules à l’envers, on obtient les primitives suivantes, où \(u\) est une fonction dérivable.
| Forme de \(f\) | Une primitive \(F\) | Condition |
|---|---|---|
| \(u^{\prime}u^{n}\) | \(\dfrac{u^{n+1}}{n+1}\) | \(n \neq -1\) (et \(u \neq 0\) si \(n<0\)) |
| \(\dfrac{u^{\prime}}{u^{2}}\) | \(-\dfrac{1}{u}\) | \(u \neq 0\) |
| \(\dfrac{u^{\prime}}{\sqrt{u}}\) | \(2\sqrt{u}\) | \(u>0\) |
| \(\dfrac{u^{\prime}}{u}\) | \(\ln u\) | \(u>0\) |
| \(u^{\prime}e^{u}\) | \(e^{u}\) | aucune |
| \(u^{\prime}\cos u\) | \(\sin u\) | aucune |
| \(u^{\prime}\sin u\) | \(-\cos u\) | aucune |
Cas particulier très utile : si \(a \neq 0\) et si \(F\) est une primitive de \(f\), alors \(x \mapsto \dfrac{1}{a}F(ax + b)\) est une primitive de \(x \mapsto f(ax + b)\). Ainsi \(e^{3x - 1}\) a pour primitive \(\dfrac{1}{3}e^{3x - 1}\).
- Repère une fonction « intérieure » \(u(x)\) (ce qui est élevé à une puissance, sous une racine, au dénominateur, dans l’exponentielle).
- Calcule \(u^{\prime}(x)\) et regarde si elle apparaît en facteur dans \(f\).
- S’il manque seulement une constante, ajuste-la : on multiplie et on divise par la même valeur.
- Vérifie en dérivant ta primitive.
Primitive de \(f(x) = \dfrac{4x}{x^2 + 3}\) sur \(\mathbb{R}\).
Posons \(u(x) = x^2 + 3\), alors \(u^{\prime}(x) = 2x\) et \(u > 0\). Donc \(f = 2 \times \dfrac{u^{\prime}}{u}\), et une primitive est \(F(x) = 2\ln(x^2 + 3)\).
Sur ma planète, on contrôle toujours une primitive en la dérivant : si tu retrouves \(f\), tu es sûr de ton résultat. Ça prend dix secondes et ça évite les erreurs de facteur !
4. L’équation différentielle y’ = ay
Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction \(y\) et dans laquelle figure sa dérivée \(y^{\prime}\). Une solution est une fonction dérivable qui vérifie l’égalité pour tout \(x\) de l’intervalle d’étude.
Soit \(a\) un réel. Les solutions sur \(\mathbb{R}\) de l’équation \(y^{\prime} = ay\) sont les fonctions \(x \mapsto Ce^{ax}\), où \(C\) est une constante réelle.
Démonstration. Les fonctions \(Ce^{ax}\) conviennent : leur dérivée est \(aCe^{ax}\). Réciproquement, soit \(f\) une solution et \(g(x) = f(x)e^{-ax}\). Alors \(g^{\prime}(x) = f^{\prime}(x)e^{-ax} - af(x)e^{-ax} = (f^{\prime}(x) - af(x))e^{-ax} = 0\). La fonction \(g\) est constante, égale à un réel \(C\), donc \(f(x) = Ce^{ax}\).
La figure montre les solutions de \(y^{\prime} = 0{,}5\,y\) : plus on part haut, plus la courbe est haute. Elles ne se croisent jamais.
5. L’équation différentielle y’ = ay + b
Quand on ajoute un terme constant \(b\), on cherche d’abord une solution constante : si \(y = k\), alors \(y^{\prime} = 0\), donc \(0 = ak + b\) et \(k = -\dfrac{b}{a}\) (avec \(a \neq 0\)).
Soit \(a \neq 0\) et \(b\) deux réels. Les solutions sur \(\mathbb{R}\) de \(y^{\prime} = ay + b\) sont les fonctions \(x \mapsto Ce^{ax} - \dfrac{b}{a}\), où \(C\) est un réel quelconque.
En effet, \(y\) est solution si et seulement si \(z = y + \dfrac{b}{a}\) vérifie \(z^{\prime} = az\), ce qui ramène au cas précédent.
Si \(a < 0\), toutes les solutions se rapprochent de la solution constante \(-\dfrac{b}{a}\) quand \(x \to +\infty\) : c’est un état d’équilibre stable, comme sur la figure où l’équilibre vaut \(4\).
Résous \(y^{\prime} = -2y + 10\).
Ici \(a = -2\) et \(b = 10\), donc \(-\dfrac{b}{a} = 5\). Les solutions sont \(y(x) = Ce^{-2x} + 5\), avec \(C \in \mathbb{R}\).
6. Condition initiale
Une équation différentielle a une infinité de solutions. Une condition du type \(y(x_0) = y_0\) permet d’en choisir une seule.
Pour \(a\), \(b\), \(x_0\) et \(y_0\) donnés, l’équation \(y^{\prime} = ay + b\) admet une unique solution vérifiant \(y(x_0) = y_0\).
- Écris la forme générale des solutions avec la constante \(C\).
- Remplace \(x\) par \(x_0\) et \(y\) par \(y_0\) pour obtenir une équation en \(C\).
- Résous-la, puis écris la solution complète.
- Vérifie la condition initiale et l’équation.
Solution de \(y^{\prime} = 3y - 12\) vérifiant \(y(0) = 1\).
Forme générale : \(y(x) = Ce^{3x} + 4\) car \(-\dfrac{b}{a} = \dfrac{12}{3} = 4\). La condition \(y(0) = 1\) donne \(C + 4 = 1\), donc \(C = -3\). La solution est \(y(x) = -3e^{3x} + 4\).
7. Modèles d’évolution
Quand la vitesse de variation d’une grandeur est proportionnelle à cette grandeur (éventuellement à un écart près), on obtient une équation différentielle.
- Décroissance radioactive : \(N^{\prime} = -\lambda N\), donc \(N(t) = N_0 e^{-\lambda t}\) ; la demi-vie \(t_{1/2}\) vérifie \(e^{-\lambda t_{1/2}} = \dfrac{1}{2}\), soit \(t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}\).
- Croissance exponentielle d’une population sans contrainte : \(P^{\prime} = kP\) avec \(k > 0\).
- Refroidissement (loi de Newton) : \(T^{\prime} = -k(T - T_{\text{ext}})\), soit \(T^{\prime} = -kT + kT_{\text{ext}}\).
Un thé à \(80\) °C est servi dans une pièce à \(20\) °C. La température \(T\) (en °C) au bout de \(t\) minutes vérifie \(T^{\prime} = -0{,}05\,(T - 20) = -0{,}05\,T + 1\), avec \(T(0) = 80\).
Ici \(-\dfrac{b}{a} = \dfrac{1}{0{,}05} = 20\), donc \(T(t) = Ce^{-0{,}05t} + 20\) et \(T(0) = 80\) donne \(C = 60\) : \(T(t) = 20 + 60e^{-0{,}05t}\).
Le thé atteint \(40\) °C quand \(60e^{-0{,}05t} = 20\), soit \(e^{-0{,}05t} = \dfrac{1}{3}\), donc \(t = 20\ln 3 \approx 22\) minutes.
Dans \(y^{\prime} = ay + b\), le réel \(a\) est le coefficient de \(y\), pas celui de \(y^{\prime}\). Si l’équation est donnée sous la forme \(2y^{\prime} = 6y - 4\), divise d’abord par \(2\) pour obtenir \(y^{\prime} = 3y - 2\).
À retenir
- \(F\) est une primitive de \(f\) si \(F^{\prime} = f\) ; deux primitives diffèrent d’une constante.
- Une condition \(F(x_0) = y_0\) détermine une seule primitive.
- Les formes composées : \(u^{\prime}u^{n}\), \(\dfrac{u^{\prime}}{u}\), \(\dfrac{u^{\prime}}{\sqrt{u}}\), \(u^{\prime}e^{u}\) ont pour primitives \(\dfrac{u^{n+1}}{n+1}\), \(\ln u\), \(2\sqrt{u}\), \(e^{u}\).
- \(y^{\prime} = ay\) a pour solutions \(Ce^{ax}\).
- \(y^{\prime} = ay + b\) (\(a \neq 0\)) a pour solutions \(Ce^{ax} - \dfrac{b}{a}\).
- Avec \(y(x_0) = y_0\), la constante \(C\) est unique : on la calcule puis on vérifie.
- Modèles : décroissance radioactive, croissance de population, refroidissement de Newton.
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