Une recette pour 4 personnes qu’il faut réduire de moitié, une carte où l’on lit les trois quarts d’un trajet, une promotion sur la moitié d’un prix déjà réduit : dans la vie, on prend souvent une fraction d’une quantité, et parfois même une fraction d’une autre fraction. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à multiplier des fractions sans jamais te tromper, à simplifier malin pour garder des nombres petits, puis à découvrir les nombres inverses.
1. Rappel : une fraction, c’est un partage
Une fraction \(\dfrac{a}{b}\) (avec \(b \neq 0\)) représente \(a\) parts égales prises dans un tout partagé en \(b\) parts égales. Le nombre \(a\) est le numérateur, le nombre \(b\) est le dénominateur.
Tu sais déjà que « prendre les \(\dfrac{3}{4}\) de 20 » consiste à partager 20 en 4 parts égales (chacune vaut 5), puis à garder 3 parts : \(3 \times 5 = 15\). On peut résumer ce calcul en une seule écriture.
Prendre une fraction d’un nombre, c’est multiplier ce nombre par la fraction : les \(\dfrac{3}{4}\) de 20 s’écrivent \(\dfrac{3}{4} \times 20 = \dfrac{3 \times 20}{4} = 15\).
Retiens ce lien : le mot « de » placé entre une fraction et un nombre se traduit par le signe \(\times\). C’est ce qui donne tout son sens à la multiplication de fractions.
2. Le produit de deux fractions
Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :
\[ \dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d} \qquad (b \neq 0,\ d \neq 0) \]
Regarde la figure : un rectangle est partagé en 4 colonnes et 3 lignes, soit 12 cases. Les trois quarts de la largeur et les deux tiers de la hauteur se recouvrent sur 6 cases. Ainsi \(\dfrac{2}{3}\) de \(\dfrac{3}{4}\) du rectangle représentent \(\dfrac{6}{12}\), c’est-à-dire \(\dfrac{1}{2}\). Le calcul le confirme : \(\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{2 \times 3}{3 \times 4} = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}\).
Calcule \(A = \dfrac{5}{7} \times \dfrac{3}{8}\).
\(A = \dfrac{5 \times 3}{7 \times 8} = \dfrac{15}{56}\). Aucune simplification n’est possible car 15 et 56 n’ont aucun diviseur commun autre que 1.
Ne cherche pas de dénominateur commun pour multiplier ! Cette étape sert pour l’addition. Pour le produit, on multiplie « en haut » et « en bas » directement. Ainsi \(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}\), et non \(\dfrac{1}{5}\).
3. Multiplier un entier et une fraction
Un nombre entier est une fraction qui s’ignore : \(4 = \dfrac{4}{1}\). On peut donc appliquer la règle précédente.
\[ n \times \dfrac{a}{b} = \dfrac{n \times a}{b} \]
Seul le numérateur est multiplié par l’entier : le dénominateur ne change pas.
Sur la droite graduée, on part de 0 et on fait trois sauts de \(\dfrac{2}{5}\). On atterrit en \(\dfrac{6}{5}\), donc \(3 \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{5}\). Ici, le résultat est plus grand que 1 : le numérateur dépasse le dénominateur.
Calcule \(B = 6 \times \dfrac{5}{9}\).
\(B = \dfrac{6 \times 5}{9} = \dfrac{30}{9}\). On simplifie par 3 : \(B = \dfrac{10}{3}\).
4. Simplifier avant de multiplier
Quand les nombres sont grands, calculer le produit puis simplifier oblige à manipuler de gros nombres. Il vaut mieux simplifier d’abord : si un facteur du numérateur et un facteur du dénominateur ont un diviseur commun, on peut les simplifier, même s’ils ne sont pas dans la même fraction.
- Écris le produit sous la forme d’une seule fraction, sans effectuer les multiplications.
- Décompose si besoin les nombres en facteurs (par exemple \(14 = 2 \times 7\)).
- Barre les facteurs identiques qui se trouvent en haut et en bas.
- Multiplie les facteurs restants.
Calcule \(C = \dfrac{14}{15} \times \dfrac{25}{21}\).
\(C = \dfrac{14 \times 25}{15 \times 21} = \dfrac{2 \times 7 \times 5 \times 5}{3 \times 5 \times 3 \times 7}\). On simplifie un \(7\) et un \(5\) : \(C = \dfrac{2 \times 5}{3 \times 3} = \dfrac{10}{9}\).
Sur ma planète, on dit que le dénominateur est « la cave » et le numérateur « le toit » : avant de construire la maison, on regarde si un toit et une cave de deux fractions voisines peuvent se partager un même diviseur !
Cette simplification en croix n’est permise que dans un produit. Dans une somme comme \(\dfrac{2}{5} + \dfrac{5}{7}\), on n’a pas le droit de « barrer » les 5.
5. Prendre une fraction d’une fraction
Quand on dit « les \(\dfrac{1}{2}\) des \(\dfrac{3}{5}\) d’une bande », on multiplie les deux fractions : \(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{3}{10}\).
La figure le montre : on colorie trois parts sur cinq, puis on coupe chaque part en deux. La moitié de la zone colorée occupe trois petites parts sur dix.
Dans un jardin, \(\dfrac{5}{6}\) de la surface est cultivée, et les \(\dfrac{3}{10}\) de la partie cultivée sont plantés en tomates. Quelle fraction du jardin est plantée en tomates ?
On calcule \(\dfrac{3}{10}\) de \(\dfrac{5}{6}\) : \(\dfrac{3}{10} \times \dfrac{5}{6} = \dfrac{3 \times 5}{10 \times 6} = \dfrac{15}{60} = \dfrac{1}{4}\).
Un quart du jardin est planté en tomates.
6. L’inverse d’un nombre
Deux nombres sont inverses l’un de l’autre lorsque leur produit est égal à 1.
Si \(a\) et \(b\) sont deux nombres non nuls, l’inverse de \(\dfrac{a}{b}\) est \(\dfrac{b}{a}\), car \(\dfrac{a}{b} \times \dfrac{b}{a} = \dfrac{a \times b}{b \times a} = 1\). Le nombre 0 n’a pas d’inverse.
| Nombre | Son inverse | Le produit |
|---|---|---|
| \(\dfrac{2}{3}\) | \(\dfrac{3}{2}\) | 1 |
| 5 | \(\dfrac{1}{5}\) | 1 |
| \(\dfrac{1}{4}\) | 4 | 1 |
| 0,5 | 2 | 1 |
| 0 | aucun | impossible |
Pour inverser un nombre entier, on le voit comme \(\dfrac{n}{1}\) : son inverse est \(\dfrac{1}{n}\). Pour inverser un nombre décimal, on l’écrit d’abord en fraction : \(0{,}5 = \dfrac{1}{2}\), donc son inverse est \(2\).
Donne l’inverse de \(\dfrac{7}{3}\) puis de \(0{,}25\).
L’inverse de \(\dfrac{7}{3}\) est \(\dfrac{3}{7}\). Comme \(0{,}25 = \dfrac{1}{4}\), son inverse est \(4\). Vérification : \(0{,}25 \times 4 = 1\).
7. Résoudre des problèmes
- Repère la quantité de départ (le « tout »).
- Traduis chaque « les \(\dfrac{a}{b}\) de… » par une multiplication.
- Calcule en simplifiant le plus tôt possible.
- Vérifie que ton résultat est cohérent (une fraction plus petite que 1 d’une quantité donne un résultat plus petit), puis rédige une phrase-réponse avec l’unité.
Un bidon contient 18 L d’eau. On utilise les \(\dfrac{2}{3}\) de l’eau pour arroser, puis les \(\dfrac{3}{4}\) de l’eau restante pour laver des outils. Quelle quantité sert à laver des outils ?
Arrosage : \(\dfrac{2}{3} \times 18 = 12\) L. Il reste \(18 - 12 = 6\) L. Lavage : \(\dfrac{3}{4} \times 6 = \dfrac{18}{4} = 4{,}5\) L.
On utilise 4,5 L d’eau pour laver les outils.
Un résultat qui étonne : multiplier par une fraction inférieure à 1 rend le nombre plus petit, alors que multiplier par une fraction supérieure à 1 le rend plus grand. Garde ce réflexe pour contrôler tes réponses.
À retenir
- Prendre une fraction d’une quantité revient à multiplier : « de » signifie \(\times\).
- \(\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}\) : pas de dénominateur commun à chercher.
- \(n \times \dfrac{a}{b} = \dfrac{n \times a}{b}\) : le dénominateur ne change pas.
- Dans un produit, on simplifie avant de multiplier pour travailler avec de petits nombres.
- L’inverse de \(\dfrac{a}{b}\) est \(\dfrac{b}{a}\) ; un nombre multiplié par son inverse donne 1 ; 0 n’a pas d’inverse.
- Multiplier par une fraction inférieure à 1 diminue un nombre positif ; par une fraction supérieure à 1, il augmente.
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