Intégrales généralisées et à paramètre : cours de maths Licence L2

Rate this post

Cours de maths en Licence L2 : Intégrales généralisées et à paramètre — Zyro, l’explorateur de Planète Maths

Calculer l’aire sous une courbe qui s’étend jusqu’à l’infini, ou sous une fonction qui explose en un point : les intégrales de Riemann ne suffisent plus. Dans ce chapitre, on donne un sens précis à ces intégrales généralisées, on apprend à décider de leur convergence, puis on étudie les intégrales dépendant d’un paramètre, continuité et dérivation sous le signe intégral, jusqu’à la fonction Gamma d’Euler.

Sommaire

1. Intégrale impropre

Intégrale impropre

Soit \(f\) continue par morceaux sur \([a\,;b[\) avec \(b\in\mathbb{R}\cup\{+\infty\}\). On dit que \(\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt\) converge si la limite \(\displaystyle\lim_{X\to b^-}\int_a^X f(t)\,dt\) existe et est finie ; cette limite est alors la valeur de l’intégrale. Sinon l’intégrale diverge. Pour un intervalle ouvert aux deux bouts, on coupe en un point intermédiaire et on exige la convergence de chaque morceau.

Intégrales de Riemann

\(\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{dt}{t^{\alpha}}\) converge si et seulement si \(\alpha>1\). \(\displaystyle\int_0^{1}\frac{dt}{t^{\alpha}}\) converge si et seulement si \(\alpha<1\). Pour \(\alpha=1\) les deux divergent, à cause du logarithme.

Exemple 1

Calculons \(\displaystyle\int_0^{+\infty} t\,e^{-2t}\,dt\). Une primitive de \(t\,e^{-2t}\) est \(-\left(\dfrac{t}{2}+\dfrac14\right)e^{-2t}\). Donc \(\displaystyle\int_0^X t\,e^{-2t}dt=\dfrac14-\left(\dfrac X2+\dfrac14\right)e^{-2X}\), qui tend vers \(\dfrac14\) quand \(X\to+\infty\). L’intégrale converge et vaut \(\dfrac14\).

Exemple 2

Pour \(\displaystyle\int_0^1\ln t\,dt\) : une primitive de \(\ln t\) est \(t\ln t-t\). Entre \(\varepsilon\) et \(1\), on obtient \(-1-\varepsilon\ln\varepsilon+\varepsilon\), qui tend vers \(-1\) quand \(\varepsilon\to0^+\). L’intégrale vaut \(-1\).

2. Intégrabilité et comparaison

Pour une fonction positive, l’intégrale \(\int_a^X f\) est croissante en \(X\) : elle converge si et seulement si elle reste majorée. On dit alors que \(f\) est intégrable sur l’intervalle.

Critères de comparaison

Soient \(f,g\) continues par morceaux et positives sur \([a\,;b[\).

Si \(f\le g\) et si \(g\) est intégrable, alors \(f\) l’est ; si \(f\) ne l’est pas, \(g\) non plus.
Si \(f(t)\underset{b}{\sim}g(t)\), ou si \(f=O(g)\) ou \(f=o(g)\) au voisinage de \(b\), les mêmes conclusions valent (avec \(g\) intégrable pour \(O\) et \(o\)).

Méthode

Repère les points « dangereux » : les bornes infinies et les points où \(f\) n’est pas définie ou explose.
À chacun, cherche un équivalent simple de \(f\), de type \(\dfrac{1}{t^{\alpha}}\) ou \(e^{-ct}\).
Conclus avec les intégrales de Riemann ou l’exponentielle, point dangereux par point dangereux.

Exemple 3

Étudions \(\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{t+1}{t^3+2}\,dt\). Quand \(t\to+\infty\), \(\dfrac{t+1}{t^3+2}\sim\dfrac1{t^2}\), et \(\int_1^{+\infty}\dfrac{dt}{t^2}\) converge (\(\alpha=2>1\)). Par comparaison de fonctions positives, l’intégrale converge.

3. Convergence absolue

Convergence absolue

L’intégrale \(\int_a^b f\) converge absolument si \(\int_a^b |f|\) converge, c’est-à-dire si \(f\) est intégrable.

Théorème

Une intégrale absolument convergente est convergente, et \(\left|\displaystyle\int_a^b f\right|\le\displaystyle\int_a^b |f|\).

La réciproque est fausse. L’intégrale \(\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\sin t}{t}\,dt\) converge : une intégration par parties donne \(\displaystyle\int_1^X\frac{\sin t}{t}dt=\cos 1-\frac{\cos X}{X}-\int_1^X\frac{\cos t}{t^2}dt\), et \(\dfrac{|\cos t|}{t^2}\le\dfrac1{t^2}\) est intégrable. Pourtant \(\left|\dfrac{\sin t}{t}\right|\) n’est pas intégrable : l’intégrale est dite semi-convergente.

Piège

Pour une fonction de signe quelconque, un équivalent ne suffit pas. Deux fonctions équivalentes en \(+\infty\) peuvent avoir des intégrales de natures différentes si elles changent de signe. Les critères de comparaison exigent des fonctions positives.

4. Théorème de convergence dominée

Convergence dominée

Soit \((f_n)\) une suite de fonctions continues par morceaux sur un intervalle \(I\). On suppose que \((f_n)\) converge simplement vers une fonction \(f\) continue par morceaux, et qu’il existe une fonction \(\varphi\) intégrable sur \(I\), indépendante de \(n\), telle que \(|f_n|\le\varphi\) pour tout \(n\). Alors \(f\) et les \(f_n\) sont intégrables et
\[ \lim_{n\to+\infty}\int_I f_n=\int_I \lim_{n\to+\infty} f_n=\int_I f. \]

Exemple 4

Soit \(I_n=\displaystyle\int_0^{+\infty}\left(1+\frac tn\right)^{-n}dt\) pour \(n\ge2\). Pour \(t\) fixé, \(\left(1+\dfrac tn\right)^{-n}\to e^{-t}\). Pour dominer, la formule du binôme donne \(\left(1+\dfrac tn\right)^n\ge1+t+\dfrac{n-1}{2n}t^2\ge\left(1+\dfrac t2\right)^2\), donc \(0\le\left(1+\dfrac tn\right)^{-n}\le\left(1+\dfrac t2\right)^{-2}\), intégrable sur \([0\,;+\infty[\). Par convergence dominée, \(I_n\to\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-t}dt=1\). On le confirme par calcul direct : \(I_n=\dfrac{n}{n-1}\to1\).

Piège

L’hypothèse de domination ne se contourne pas. Les fonctions \(f_n(t)=n\,e^{-nt}\) tendent vers \(0\) pour tout \(t>0\), mais \(\int_0^{+\infty}f_n=1\) pour tout \(n\) : on ne peut pas échanger limite et intégrale, car aucune fonction intégrable ne les domine toutes.

5. Intégration terme à terme

Théorème d’intégration terme à terme

Soit \((u_n)\) une suite de fonctions continues par morceaux et intégrables sur \(I\), telle que \(\sum u_n\) converge simplement vers une fonction \(S\) continue par morceaux, et telle que \(\displaystyle\sum_{n}\int_I|u_n|\) converge. Alors \(S\) est intégrable et
\[ \int_I\sum_{n=0}^{+\infty}u_n=\sum_{n=0}^{+\infty}\int_I u_n. \]

Exemple 5

Pour \(t>0\), \(\dfrac{t}{e^t-1}=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}t\,e^{-nt}\). Chaque terme est positif et \(\displaystyle\int_0^{+\infty}t\,e^{-nt}dt=\dfrac1{n^2}\) (changement de variable \(u=nt\)). La série des intégrales converge, donc
\[ \int_0^{+\infty}\frac{t}{e^t-1}\,dt=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}{6}. \]

6. Continuité d’une intégrale à paramètre

Soit \(F(x)=\displaystyle\int_I f(x,t)\,dt\) pour \(x\) dans un intervalle \(J\).

Continuité sous le signe intégral

Si pour tout \(t\) l’application \(x\mapsto f(x,t)\) est continue, si pour tout \(x\) l’application \(t\mapsto f(x,t)\) est continue par morceaux, et s’il existe \(\varphi\) intégrable sur \(I\) avec \(|f(x,t)|\le\varphi(t)\) pour tout \(x\in J\), alors \(F\) est définie et continue sur \(J\).

La domination peut se vérifier seulement sur chaque segment de \(J\), ou sur chaque intervalle \([a\,;+\infty[\) avec \(a>0\) : la continuité est une propriété locale.

7. Dérivation sous le signe intégral

Règle de Leibniz

Si, pour tout \(x\), \(t\mapsto f(x,t)\) est intégrable, si \(\dfrac{\partial f}{\partial x}\) existe et est continue en \(x\), continue par morceaux en \(t\), et si \(\left|\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,t)\right|\le\varphi(t)\) avec \(\varphi\) intégrable, alors \(F\) est de classe \(C^1\) et
\[ F'(x)=\int_I\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\,dt. \]

Exemple 6

Soit \(F(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-xt}\frac{\sin t}{t}\,dt\) pour \(x>0\). Sur \([a\,;+\infty[\) avec \(a>0\), \(\left|\dfrac{\partial}{\partial x}\right|=|\,{-\sin t}\,e^{-xt}|\le e^{-at}\), intégrable. Donc \(F'(x)=-\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-xt}\sin t\,dt=-\dfrac1{1+x^2}\), d’où \(F(x)=C-\arctan x\). Comme \(F(x)\to0\) en \(+\infty\) (domination par \(e^{-t}\)), \(C=\dfrac\pi2\) et \(F(1)=\dfrac\pi4\).

8. La fonction Gamma

Fonction Gamma d’Euler

Pour \(x>0\), \(\displaystyle\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\,dt\). L’intégrale converge en \(0\) car \(t^{x-1}e^{-t}\sim t^{x-1}\) avec \(x-1>-1\), et en \(+\infty\) car \(t^{x-1}e^{-t}=o\!\left(\dfrac1{t^2}\right)\).

Propriétés

\(\Gamma(1)=1\), \(\Gamma(x+1)=x\,\Gamma(x)\) (intégration par parties), donc \(\Gamma(n+1)=n!\) pour tout entier \(n\). De plus \(\Gamma\!\left(\tfrac12\right)=\sqrt\pi\), \(\Gamma\) est de classe \(C^\infty\) et convexe sur \(]0\,;+\infty[\) avec \(\Gamma''(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}(\ln t)^2\,t^{x-1}e^{-t}dt>0\).

Exemple 7

\(\Gamma\!\left(\tfrac52\right)=\tfrac32\,\Gamma\!\left(\tfrac32\right)=\tfrac32\cdot\tfrac12\,\Gamma\!\left(\tfrac12\right)=\dfrac{3\sqrt\pi}{4}\). Et \(\displaystyle\int_0^{+\infty}t^3e^{-2t}dt=\dfrac{\Gamma(4)}{2^4}=\dfrac{6}{16}=\dfrac38\) par le changement de variable \(u=2t\).

Astuce de Zyro

Quand tu vois une exponentielle multipliée par une puissance de \(t\) sur \([0\,;+\infty[\), pense Gamma : un changement de variable \(u=ct\) ramène presque toujours à \(\Gamma(x)\).

À retenir

Une intégrale impropre converge si la limite de l’intégrale sur un segment qui grandit existe et est finie.
Riemann : \(\int_1^{+\infty}t^{-\alpha}dt\) converge si et seulement si \(\alpha>1\), \(\int_0^1t^{-\alpha}dt\) si et seulement si \(\alpha<1\).
Comparaison et équivalents : uniquement pour des fonctions positives ; la convergence absolue implique la convergence.
Convergence dominée et terme à terme : toujours vérifier une domination intégrable indépendante de \(n\).
Continuité et dérivation sous \(\int\) : domination de \(f\), puis de \(\partial_xf\), éventuellement sur des segments ou des \([a\,;+\infty[\).
\(\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)\), \(\Gamma(n+1)=n!\), \(\Gamma(1/2)=\sqrt\pi\).