Trigonométrie : cours de maths 1ère

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Cours de maths en 1ère : Trigonométrie — Zyro, l’explorateur de Planète Maths

Une grande roue qui tourne, une aiguille d’horloge, le va-et-vient d’une balançoire, la marée qui monte et descend : tous ces mouvements se répètent et se décrivent avec deux fonctions, le cosinus et le sinus. En 1ère, tu quittes les degrés pour une nouvelle unité d’angle, le radian, tu enroules la droite des réels autour d’un cercle, puis tu étudies deux fonctions qui, elles aussi, tournent en rond.

Sommaire

1. Le radian

Radian

Un angle d’un radian intercepte, sur un cercle de rayon \(r\), un arc de longueur exactement \(r\). Le radian est l’unité d’angle « naturelle » en mathématiques.

Le périmètre d’un cercle vaut \(2\pi r\) : un tour complet mesure donc \(2\pi\) radians. Les degrés et les radians sont proportionnels.

Conversion

\(180^\circ\) correspond à \(\pi\) radians. Ainsi, une mesure de \(\alpha\) degrés vaut \(\dfrac{\alpha\pi}{180}\) radians. Sur un cercle de rayon \(r\), un angle de \(\theta\) radians intercepte un arc de longueur \(\ell = r\theta\).

Degrés	\(0^\circ\)	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)	\(90^\circ\)	\(180^\circ\)	\(360^\circ\)
Radians	\(0\)	\(\dfrac{\pi}{6}\)	\(\dfrac{\pi}{4}\)	\(\dfrac{\pi}{3}\)	\(\dfrac{\pi}{2}\)	\(\pi\)	\(2\pi\)

Exemple 1

Convertis \(135^\circ\) en radians, puis \(\dfrac{5\pi}{6}\) en degrés.

\(135^\circ = \dfrac{135\pi}{180} = \dfrac{3\pi}{4}\) rad. Et \(\dfrac{5\pi}{6}\) rad \(= \dfrac{5}{6} \times 180^\circ = 150^\circ\).

Exemple 2

Quelle longueur parcourt le bout d’une aiguille de \(4\) cm qui tourne d’un angle de \(\dfrac{2\pi}{5}\) rad ?

\(\ell = r\theta = 4 \times \dfrac{2\pi}{5} = \dfrac{8\pi}{5} \approx 5{,}03\) cm.

2. Le cercle trigonométrique

Cercle trigonométrique

Dans un repère orthonormé \((O ; I, J)\), le cercle trigonométrique est le cercle de centre \(O\) et de rayon \(1\), orienté dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d’une montre).

Imagine la droite des réels comme un fil gradué, enroulé autour du cercle à partir du point \(I(1\,;\,0)\). Le réel \(x\) vient se poser sur un point \(M\) du cercle : on dit que \(x\) est une mesure en radians de l’angle orienté \((\overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OM})\). Un réel positif enroule dans le sens direct, un réel négatif dans le sens contraire.

Comme un tour complet mesure \(2\pi\), les réels \(x\) et \(x + 2k\pi\) (avec \(k\) entier relatif) désignent le même point \(M\). Parmi toutes les mesures d’un angle, une seule appartient à l’intervalle \(]-\pi\,;\,\pi]\) : c’est la mesure principale.

Trouver la mesure principale

Écris le réel sous la forme d’une fraction de \(\pi\).
Ajoute ou retire des multiples de \(2\pi\) (c’est-à-dire des tours entiers) pour tomber dans \(]-\pi\,;\,\pi]\).

Exemple 3

Mesure principale de \(\dfrac{25\pi}{4}\) et de \(-\dfrac{17\pi}{3}\).

\(\dfrac{25\pi}{4} = \dfrac{24\pi}{4} + \dfrac{\pi}{4} = 6\pi + \dfrac{\pi}{4}\) : on retire \(3\) tours, la mesure principale est \(\dfrac{\pi}{4}\).

\(-\dfrac{17\pi}{3} = -\dfrac{18\pi}{3} + \dfrac{\pi}{3} = -6\pi + \dfrac{\pi}{3}\) : on ajoute \(3\) tours, la mesure principale est \(\dfrac{\pi}{3}\).

3. Cosinus et sinus d’un réel

Cosinus et sinus

Soit \(x\) un réel et \(M\) le point du cercle trigonométrique associé à \(x\). Le cosinus de \(x\), noté \(\cos x\), est l’abscisse de \(M\). Le sinus de \(x\), noté \(\sin x\), est son ordonnée. Ainsi \(M(\cos x\,;\,\sin x)\).

Propriétés fondamentales

Pour tout réel \(x\) :

\(-1 \leqslant \cos x \leqslant 1\) et \(-1 \leqslant \sin x \leqslant 1\) ;
\(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\) ;
\(\cos(x + 2\pi) = \cos x\) et \(\sin(x + 2\pi) = \sin x\).

La relation \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\) n’est autre que le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle formé par \(O\), \(M\) et le pied de la perpendiculaire à l’axe des abscisses : l’hypoténuse \(OM\) vaut \(1\).

Exemple 4

Sachant que \(x \in \left[\dfrac{\pi}{2}\,;\,\pi\right]\) et \(\cos x = -\dfrac{3}{5}\), calcule \(\sin x\).

\(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}\), donc \(\sin x = \dfrac{4}{5}\) ou \(\sin x = -\dfrac{4}{5}\). Pour \(x\) dans le deuxième quadrant, le point \(M\) est au-dessus de l’axe des abscisses : \(\sin x \geqslant 0\). Donc \(\sin x = \dfrac{4}{5}\).

Piège

Écrire \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\) ne donne le sinus qu’à un signe près. Il faut toujours regarder dans quel quart de cercle se trouve le point pour choisir le bon signe.

4. Les valeurs remarquables

\(x\)	\(0\)	\(\dfrac{\pi}{6}\)	\(\dfrac{\pi}{4}\)	\(\dfrac{\pi}{3}\)	\(\dfrac{\pi}{2}\)
\(\cos x\)	\(1\)	\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(0\)
\(\sin x\)	\(0\)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(1\)

Astuce de Zyro

Pour ne jamais te tromper dans la ligne des cosinus, retiens la suite \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{1}}{2}\) : le numérateur diminue. Pour les sinus, tu la lis à l’envers, et tu obtiens \(\dfrac{\sqrt{1}}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

Ces valeurs viennent de deux triangles connus : le demi-carré (angle de \(\dfrac{\pi}{4}\)) et le demi-triangle équilatéral (angles de \(\dfrac{\pi}{6}\) et \(\dfrac{\pi}{3}\)). Il faut les connaître par cœur et savoir les retrouver à partir du cercle.

5. Les angles associés

Le cercle est très symétrique : à partir de \(M(x)\), on obtient des points liés par des symétries, et leurs coordonnées se déduisent de \(\cos x\) et \(\sin x\).

Formules des angles associés

Pour tout réel \(x\) :

\(\cos(-x) = \cos x\) et \(\sin(-x) = -\sin x\) ;
\(\cos(\pi - x) = -\cos x\) et \(\sin(\pi - x) = \sin x\) ;
\(\cos(\pi + x) = -\cos x\) et \(\sin(\pi + x) = -\sin x\) ;
\(\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \sin x\) et \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos x\).

Exemple 5

Calcule \(\cos\dfrac{5\pi}{6}\) et \(\sin\dfrac{7\pi}{6}\).

\(\dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6}\), donc \(\cos\dfrac{5\pi}{6} = -\cos\dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

\(\dfrac{7\pi}{6} = \pi + \dfrac{\pi}{6}\), donc \(\sin\dfrac{7\pi}{6} = -\sin\dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{1}{2}\).

6. Résoudre cos x = a et sin x = a

Résoudre \(\cos x = a\), c’est chercher les points du cercle d’abscisse \(a\) : une droite verticale coupe le cercle en deux points symétriques par rapport à l’axe des abscisses (si \(-1 < a < 1\)). Pour \(\sin x = a\), la droite est horizontale et les deux points sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.

Équations de référence

Soit \(a\) un réel et \(k\) un entier relatif.

\(\cos x = \cos a \iff x = a + 2k\pi\) ou \(x = -a + 2k\pi\) ;
\(\sin x = \sin a \iff x = a + 2k\pi\) ou \(x = \pi - a + 2k\pi\).

Si \(a\) n’est pas dans \([-1\,;\,1]\), les équations \(\cos x = a\) et \(\sin x = a\) n’ont aucune solution.

Méthode

Reconnais la valeur \(a\) comme \(\cos b\) ou \(\sin b\) avec un angle remarquable \(b\).
Applique la propriété ci-dessus.
Garde les solutions de l’intervalle demandé en donnant à \(k\) les valeurs utiles.

Exemple 6

Résous \(\sin x = -\dfrac{1}{2}\) dans \([0\,;\,2\pi]\).

On sait que \(\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2}\). Donc \(x = -\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi\) ou \(x = \pi + \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi = \dfrac{7\pi}{6} + 2k\pi\). Dans \([0\,;\,2\pi]\), on garde \(x = \dfrac{11\pi}{6}\) (avec \(k = 1\) dans la première série) et \(x = \dfrac{7\pi}{6}\). Donc \(S = \left\{\dfrac{7\pi}{6}\,;\,\dfrac{11\pi}{6}\right\}\).

7. Les fonctions cosinus et sinus

Les fonctions \(\cos : x \mapsto \cos x\) et \(\sin : x \mapsto \sin x\) sont définies sur \(\mathbb{R}\). Leurs courbes ondulent régulièrement entre \(-1\) et \(1\).

Sur la figure, la courbe orange est celle du cosinus et la courbe violette celle du sinus.

Parité et périodicité

La fonction cosinus est paire : \(\cos(-x) = \cos x\). Sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
La fonction sinus est impaire : \(\sin(-x) = -\sin x\). Sa courbe est symétrique par rapport à l’origine.
Les deux fonctions sont périodiques de période \(2\pi\) : leurs valeurs se répètent à l’identique tous les \(2\pi\).

Grâce à la parité et à la périodicité, il suffit d’étudier les fonctions sur \([0\,;\,\pi]\), puis de compléter par symétries et translations.

Sur \([0\,;\,\pi]\)	Variations
\(\cos\)	décroissante de \(1\) à \(-1\)
\(\sin\)	croissante de \(0\) à \(1\) sur \(\left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]\), puis décroissante de \(1\) à \(0\) sur \(\left[\dfrac{\pi}{2}\,;\,\pi\right]\)

Enfin, ces deux fonctions sont dérivables sur \(\mathbb{R}\), avec \(\cos'(x) = -\sin x\) et \(\sin'(x) = \cos x\) : à l’origine, la courbe du sinus a pour tangente la droite de pente \(\cos 0 = 1\).

Exemple 7

a) Étudie la parité de \(f(x) = x \sin x\). b) Pour \(g(x) = \cos x + \sin x\), calcule \(g\left(\dfrac{\pi}{2} + 2\pi\right) - g\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\).

a) Pour tout réel \(x\), \(f(-x) = (-x)\sin(-x) = (-x)(-\sin x) = x\sin x = f(x)\) : \(f\) est paire.

b) Pour \(g\), la période \(2\pi\) donne \(g\left(\dfrac{\pi}{2} + 2\pi\right) = g\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\), donc la différence vaut \(0\).

À retenir

\(\pi\) radians \(= 180^\circ\) ; sur un cercle de rayon \(r\), un angle de \(\theta\) radians intercepte un arc de longueur \(r\theta\).
Les réels \(x\) et \(x + 2k\pi\) repèrent le même point du cercle trigonométrique ; la mesure principale est dans \(]-\pi\,;\,\pi]\).
\(M(\cos x\,;\,\sin x)\), avec \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\) et des valeurs toujours comprises entre \(-1\) et \(1\).
Valeurs remarquables : connais les lignes de cosinus et de sinus pour \(0\), \(\dfrac{\pi}{6}\), \(\dfrac{\pi}{4}\), \(\dfrac{\pi}{3}\), \(\dfrac{\pi}{2}\).
Angles associés : \(-x\), \(\pi - x\), \(\pi + x\), \(\dfrac{\pi}{2} - x\) donnent des symétries sur le cercle.
\(\cos x = \cos a\) donne \(x = \pm a + 2k\pi\) ; \(\sin x = \sin a\) donne \(x = a + 2k\pi\) ou \(x = \pi - a + 2k\pi\).
Cosinus : paire ; sinus : impaire ; toutes deux de période \(2\pi\) ; \(\cos' = -\sin\) et \(\sin' = \cos\).