Ton cartable fait-il un kilomètre de trajet ? Pèse-t-il plus de cinq kilos ? Combien de temps dure ta récréation ? Pour répondre, il faut savoir mesurer et surtout changer d’unité sans se tromper. Dans ce chapitre, tu vas maîtriser les longueurs, les masses, les contenances et les durées, puis les utiliser pour résoudre de vrais problèmes.
1. Les unités de longueur
Une longueur mesure la distance entre deux points. L’unité de référence est le mètre (m). On utilise des unités plus grandes (le kilomètre) ou plus petites (le centimètre, le millimètre) selon ce qu’on mesure.
| Unité | km | hm | dam | m | dm | cm | mm |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Valeur en mètres | 1 000 | 100 | 10 | 1 | 0,1 | 0,01 | 0,001 |
Chaque unité est 10 fois plus grande que celle de droite et 10 fois plus petite que celle de gauche.
Voici une règle graduée : chaque grand intervalle vaut 1 cm, chaque petit trait vaut 1 mm.
Le segment \([AB]\) va de la graduation \(2{,}7\) cm à la graduation \(6{,}4\) cm. Sa longueur est \(6{,}4 - 2{,}7 = 3{,}7\) cm, soit \(37\) mm.
2. Convertir des longueurs avec le tableau
Convertir, c’est exprimer la même longueur avec une autre unité. Le tableau de conversion t’évite de te tromper.
- Écris le chiffre des unités du nombre sous la colonne de son unité.
- Écris les autres chiffres, un par colonne, à gauche et à droite.
- Place la virgule à droite de la colonne de la nouvelle unité.
- Complète avec des zéros si des colonnes sont vides.
Convertis \(3{,}45\) km en mètres. Le 3 va dans la colonne km, le 4 dans hm, le 5 dans dam. La nouvelle unité est le mètre : on met un 0 dans la colonne m et la virgule après elle.
\(3{,}45\text{ km} = 3\,450\text{ m}\).
Convertis \(628\) cm en mètres. Le 8 est dans la colonne cm, le 2 dans dm, le 6 dans m. La virgule se place à droite de la colonne m : \(628\text{ cm} = 6{,}28\text{ m}\).
Sur ma planète, on se répète : « vers une plus petite unité, le nombre grandit ; vers une plus grande unité, le nombre rétrécit ». Si ton résultat ne suit pas cette règle, il y a une erreur !
On ne multiplie pas toujours par 100 ! Entre le kilomètre et le mètre, il y a 1 000 (pas 100) : \(1\text{ km} = 1\,000\text{ m}\).
3. Les masses
La masse d’un objet indique « combien il y en a » de matière. L’unité de base est le gramme (g). Les unités fonctionnent comme celles des longueurs : de l’une à la suivante, on multiplie ou on divise par 10.
| Unité | kg | hg | dag | g | dg | cg | mg |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Valeur en grammes | 1 000 | 100 | 10 | 1 | 0,1 | 0,01 | 0,001 |
Pour les très grosses masses, on utilise la tonne : \(1\text{ t} = 1\,000\text{ kg}\). Le quintal vaut \(100\) kg, soit un dixième de tonne.
Convertis \(7\,250\) g en kilogrammes. On place 0 dans la colonne g, 5 dans dag, 2 dans hg et 7 dans kg. La virgule se met à droite de la colonne kg : \(7\,250\text{ g} = 7{,}25\text{ kg}\).
4. Les contenances
La contenance d’un récipient est la quantité de liquide qu’il peut contenir. L’unité de référence est le litre (L). On utilise aussi le décilitre (dL), le centilitre (cL) et le millilitre (mL).
\(1\text{ L} = 10\text{ dL} = 100\text{ cL} = 1\,000\text{ mL}\). Les unités suivent encore la règle du « 10 fois ».
Le verre doseur ci-dessus contient \(75\) cL d’eau. Comme \(100\text{ cL} = 1\text{ L}\), on divise par 100 : \(75\text{ cL} = 0{,}75\text{ L}\), soit \(750\) mL.
Un cube d’un décimètre de côté (10 cm sur 10 cm sur 10 cm) contient exactement 1 litre : \(1\text{ L} = 1\text{ dm}^3\).
5. Les durées
Attention : le temps ne se compte pas de 10 en 10, mais de 60 en 60 pour les heures, minutes et secondes.
| Unité | Équivalence |
|---|---|
| 1 heure (h) | 60 minutes (min) |
| 1 minute (min) | 60 secondes (s) |
| 1 jour | 24 heures |
| 1 semaine | 7 jours |
| 1 année | 12 mois, soit 365 ou 366 jours |
Convertis \(2\text{ h }15\text{ min}\) en minutes : \(2\times 60 + 15 = 135\) minutes.
Convertis \(190\) minutes en heures et minutes : \(190 = 3\times 60 + 10\), donc \(190\text{ min} = 3\text{ h }10\text{ min}\).
\(1\text{ h }30\text{ min}\) ne s’écrit pas \(1{,}30\) h. Une demi-heure vaut \(30\) min, donc \(1\text{ h }30\text{ min} = 1{,}5\) h.
6. Calculer avec des durées
- Additionne les heures entre elles et les minutes entre elles.
- Si le total des minutes est de 60 ou plus, convertis : 60 min = 1 h.
\(2\text{ h }45\text{ min} + 1\text{ h }30\text{ min} = 3\text{ h }75\text{ min}\). Comme \(75\text{ min} = 1\text{ h }15\text{ min}\), le total est \(4\text{ h }15\text{ min}\).
- Avance de l’heure de départ jusqu’à la prochaine heure pile.
- Avance ensuite d’heure pile en heure pile jusqu’à l’heure d’arrivée.
- Ajoute les morceaux.
De \(9\text{ h }40\) à \(12\text{ h }10\) : de \(9\text{ h }40\) à \(10\text{ h}\) il y a \(20\) min ; de \(10\text{ h}\) à \(12\text{ h}\) il y a \(2\) h ; de \(12\text{ h}\) à \(12\text{ h }10\) il y a \(10\) min. Total : \(2\text{ h }30\text{ min}\).
7. Lire un horaire et un calendrier
Pour éviter les confusions, on écrit souvent l’heure sur 24 heures : \(15\text{ h}\) correspond à 3 heures de l’après-midi, \(21\text{ h }30\) à 9 h 30 du soir. Une frise sur une droite graduée aide à visualiser une durée.
Sur la frise, le départ est à \(9\text{ h }30\), l’arrivée à \(11\text{ h }45\) : la durée est \(2\text{ h }15\text{ min}\).
Dans le calendrier, les mois n’ont pas tous la même longueur : janvier, mars, mai, juillet, août, octobre et décembre ont 31 jours ; avril, juin, septembre et novembre ont 30 jours ; février a 28 jours, ou 29 jours les années bissextiles (tous les 4 ans, comme 2024 ou 2028).
Ferme ton poing : chaque « bosse » est un mois de 31 jours, chaque « creux » un mois plus court. Après juillet, on revient sur la première bosse pour août.
Combien de jours séparent le \(20\) avril du \(3\) mai ? Avril a 30 jours : \(30 - 20 = 10\) jours jusqu’au 30 avril, puis \(3\) jours de plus. Total : \(13\) jours.
8. Résoudre un problème de mesures
- Lis l’énoncé et repère les grandeurs et leurs unités.
- Convertis toutes les mesures dans la même unité.
- Fais le calcul (addition, soustraction, multiplication ou division).
- Écris une phrase-réponse avec la bonne unité.
On découpe un ruban de \(3{,}5\) m en morceaux de \(25\) cm. Combien de morceaux obtient-on ? On convertit : \(3{,}5\text{ m} = 350\text{ cm}\). Puis \(350 \div 25 = 14\). On obtient 14 morceaux.
Un traiteur prépare \(12\) bouteilles de jus de \(75\) cL. Quel volume total, en litres ? \(12\times 75 = 900\) cL, soit \(9\) L.
À retenir
- Longueurs, masses et contenances : chaque unité est 10 fois plus grande que la suivante ; \(1\text{ km} = 1\,000\text{ m}\), \(1\text{ kg} = 1\,000\text{ g}\), \(1\text{ L} = 1\,000\text{ mL}\), \(1\text{ t} = 1\,000\text{ kg}\).
- Le tableau de conversion évite les erreurs : un chiffre par colonne, la virgule à droite de la nouvelle unité.
- Durées : \(1\text{ h} = 60\text{ min}\), \(1\text{ min} = 60\text{ s}\), \(1\text{ jour} = 24\text{ h}\) ; on ne calcule pas de 10 en 10.
- Pour une durée entre deux horaires, avance d’heure pile en heure pile.
- Dans un problème, convertis d’abord, calcule ensuite, puis réponds avec une phrase et l’unité.
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