Suites et séries de fonctions : cours de maths Maths Spé

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Cours de maths en Maths Spé : Suites et séries de fonctions — Zyro, l’explorateur de Planète Maths

Une suite de nombres converge ou non ; une suite de fonctions peut converger de plusieurs façons, et la manière dont elle converge décide de ce qui survit à la limite : continuité, intégrale, dérivée. Ce chapitre apprend à distinguer la convergence simple, la convergence uniforme et, pour les séries, la convergence normale, puis à s’en servir pour permuter limite, somme, intégrale et dérivation. Il se termine par l’approximation d’une fonction continue par des polynômes.

Sommaire

1. Convergence simple

Convergence simple

Soit \((f_n)\) une suite de fonctions définies sur un ensemble \(I\) et à valeurs réelles ou complexes. On dit que \((f_n)\) converge simplement vers \(f\) sur \(I\) si, pour chaque \(x \in I\), la suite numérique \((f_n(x))\) converge vers \(f(x)\) :
\[ \forall x \in I,\ \forall \varepsilon > 0,\ \exists N,\ \forall n \geqslant N,\ |f_n(x) - f(x)| \leqslant \varepsilon. \]

Le rang \(N\) peut ici dépendre de \(x\) : on regarde les points un par un. La limite simple, quand elle existe, est unique.

Exemple 1 : les puissances

Pour \(f_n(x) = x^n\) sur \([0,1]\) : si \(0 \leqslant x < 1\), \(x^n \to 0\) ; si \(x = 1\), \(1^n = 1\). La limite simple est donc la fonction \(f\) valant \(0\) sur \([0,1[\) et \(1\) en \(1\). Les \(f_n\) sont continues, mais la limite ne l’est pas.

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Exemple 2 : une limite exponentielle

Pour \(g_n(x) = \left(1 + \dfrac{x}{n}\right)^n\) sur \(\mathbb{R}\), on écrit \(g_n(x) = \exp\!\big(n \ln(1 + x/n)\big)\) et \(n\ln(1+x/n) \to x\). La limite simple est \(x \mapsto e^x\).

2. Convergence uniforme

Convergence uniforme

Soit \(f_n\) et \(f\) bornées (ou au moins avec \(f_n - f\) bornée) sur \(I\). On note \(\|f_n - f\|_{\infty,I} = \sup_{x \in I}|f_n(x) - f(x)|\). La suite \((f_n)\) converge uniformément vers \(f\) sur \(I\) si
\[ \|f_n - f\|_{\infty,I} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0, \]
c’est-à-dire : \(\forall \varepsilon > 0,\ \exists N,\ \forall n \geqslant N,\ \forall x \in I,\ |f_n(x) - f(x)| \leqslant \varepsilon\).

Cette fois, le rang \(N\) ne dépend pas de \(x\) : à partir de \(N\), le graphe de \(f_n\) tout entier est contenu dans un « tube » de largeur \(2\varepsilon\) autour du graphe de \(f\).

Propriétés

La convergence uniforme sur \(I\) entraîne la convergence simple sur \(I\), vers la même limite. La réciproque est fausse (exemple 1 : la limite de \(x^n\) n’est pas continue). La convergence uniforme sur \(I\) entraîne celle sur toute partie de \(I\).

Méthode : étudier la convergence uniforme

Chercher la limite simple \(f\) (on fixe \(x\) et on fait tendre \(n\) vers l’infini).
Calculer ou majorer \(\|f_n - f\|_\infty\) : étude des variations de \(f_n - f\), ou majoration simple indépendante de \(x\).
Si cette quantité tend vers \(0\), la convergence est uniforme. Sinon, exhiber des points \(x_n\) tels que \(|f_n(x_n) - f(x_n)|\) ne tend pas vers \(0\).

Exemple 3 : une convergence uniforme sur \(\mathbb{R}\)

Soit \(g_n(x) = \dfrac{x}{1 + n x^2}\). La limite simple est \(0\). On dérive : \(g_n'(x) = \dfrac{1 - n x^2}{(1 + n x^2)^2}\), qui s’annule en \(x = \pm 1/\sqrt{n}\). La fonction \(g_n\) est impaire, donc \(\|g_n\|_\infty = g_n\!\left(\tfrac{1}{\sqrt{n}}\right) = \dfrac{1}{2\sqrt{n}} \to 0\). La convergence est uniforme sur \(\mathbb{R}\).

Exemple 4 : une bosse qui ne s’écrase pas

Soit \(h_n(x) = n x e^{-n x}\) sur \([0, +\infty[\). La limite simple est \(0\) (pour \(x > 0\), \(e^{-nx}\) l’emporte sur \(n\)). Or \(h_n\) atteint son maximum en \(x = 1/n\), où \(h_n(1/n) = e^{-1}\). Donc \(\|h_n\|_\infty = e^{-1}\) ne tend pas vers \(0\) : la convergence n’est pas uniforme sur \([0,+\infty[\). Elle l’est sur \([a, +\infty[\) pour tout \(a > 0\), car, dès que \(1/n \leqslant a\), \(\sup_{[a,+\infty[} h_n = h_n(a) = n a e^{-na} \to 0\).

Erreur classique

« Les \(f_n\) tendent vers \(0\) en chaque point, donc uniformément » est faux. Pour \(x^n\), on a même \(\sup_{[0,1[} x^n = 1\) pour tout \(n\) : en prenant \(x_n = 2^{-1/n}\), on trouve \(x_n^n = \tfrac12\) alors que la limite vaut \(0\). En revanche, sur \([0,a]\) avec \(a < 1\), \(\|x^n\|_\infty = a^n \to 0\) : la convergence est uniforme sur tout segment de \([0,1[\).

3. Séries de fonctions : convergence simple, uniforme, normale

Pour une série \(\sum u_n\) de fonctions, on note \(S_N = \sum_{n=0}^{N} u_n\) la somme partielle et, lorsque la série converge simplement, \(R_N = S - S_N = \sum_{n > N} u_n\) le reste. La série converge simplement si \(S_N(x)\) converge pour tout \(x\), uniformément si \(\|R_N\|_\infty \to 0\).

Convergence normale

La série \(\sum u_n\) converge normalement sur \(I\) si les \(u_n\) sont bornées sur \(I\) et si la série numérique \(\sum \|u_n\|_{\infty,I}\) converge.

Normale \(\Rightarrow\) uniforme

Si \(\sum u_n\) converge normalement sur \(I\), alors elle converge absolument en chaque point, uniformément sur \(I\), et \(\|R_N\|_\infty \leqslant \sum_{n > N}\|u_n\|_\infty\). La réciproque est fausse : les fonctions constantes \(u_n = \dfrac{(-1)^n}{n}\) donnent une série uniformément convergente (c’est une série numérique alternée) mais \(\sum \|u_n\|_\infty = \sum \dfrac{1}{n}\) diverge.

Exemple 5

La série \(\sum_{n \geqslant 1} \dfrac{x^n}{n^2}\) converge normalement sur \([-1,1]\) : \(\|u_n\|_\infty = \dfrac{1}{n^2}\) et \(\sum \dfrac{1}{n^2}\) converge. La série géométrique \(\sum x^n\) converge normalement sur \([-a,a]\) pour tout \(a \in [0,1[\) (\(\|u_n\|_\infty = a^n\)), mais pas sur \(]-1,1[\) où \(\|u_n\|_\infty = 1\), et pas même uniformément : \(\|R_N\|_\infty = \sup \dfrac{|x|^{N+1}}{1-x}\) est infini.

4. Continuité de la limite

Théorème (continuité)

Si les \(f_n\) sont continues sur \(I\) et convergent uniformément vers \(f\) sur \(I\), alors \(f\) est continue sur \(I\). Il suffit que la convergence soit uniforme sur tout segment inclus dans \(I\).

Version séries : si les \(u_n\) sont continues et \(\sum u_n\) converge uniformément (par exemple normalement) sur \(I\), la somme \(S\) est continue sur \(I\). Pour \(\sum x^n/n^2\), la somme est continue sur \([-1,1]\), y compris en \(\pm 1\).

Usage contraposé : si les \(f_n\) sont continues et la limite simple ne l’est pas, la convergence n’est pas uniforme. C’est la façon la plus rapide de réfuter l’uniformité, comme pour \(x^n\) sur \([0,1]\).

5. Interversion limite et intégrale

Théorème (intégration sur un segment)

Si les \(f_n\) sont continues sur \([a,b]\) et convergent uniformément vers \(f\) sur \([a,b]\), alors
\[ \lim_{n \to +\infty} \int_a^b f_n(t)\,dt = \int_a^b f(t)\,dt. \]

En effet, \(\left|\int_a^b f_n - \int_a^b f\right| \leqslant (b - a)\,\|f_n - f\|_\infty \to 0\). Pour les séries : si \(\sum u_n\) converge uniformément sur \([a,b]\) (les \(u_n\) continues), alors \(\displaystyle\int_a^b \sum_{n} u_n = \sum_{n} \int_a^b u_n\) : on intègre terme à terme.

Exemple 6 : un logarithme en série

La série \(\sum_{n \geqslant 0} x^n\) converge normalement sur \([0,\tfrac12]\) de somme \(\dfrac{1}{1-x}\). On intègre terme à terme :
\[ \int_0^{1/2} \frac{dx}{1-x} = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_0^{1/2} x^n\,dx = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(1/2)^{n+1}}{n+1}. \]
Le membre de gauche vaut \(\ln 2\). Ainsi \(\displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k\,2^k} = \ln 2\).

Sans uniformité, tout peut arriver

Soit \(f_n(x) = 2 n x e^{-n x^2}\) sur \([0,1]\). La limite simple est \(0\), donc \(\int_0^1 \lim f_n = 0\). Pourtant \(\int_0^1 f_n = 1 - e^{-n} \to 1\). La convergence n’est pas uniforme (le maximum, atteint en \(1/\sqrt{2n}\), tend vers l’infini), et les deux opérations ne commutent pas.

6. Dérivation terme à terme

Théorème (classe \(C^1\))

Soit \(I\) un intervalle et \((f_n)\) une suite de fonctions de classe \(C^1\) sur \(I\). Si \((f_n)\) converge simplement vers \(f\) sur \(I\) et si \((f_n')\) converge uniformément vers \(g\) sur tout segment de \(I\), alors \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(I\) et \(f' = g\). De plus, la convergence de \((f_n)\) vers \(f\) est uniforme sur tout segment.

Version séries : si \(\sum u_n\) converge simplement, avec \(u_n\) de classe \(C^1\), et si \(\sum u_n'\) converge uniformément sur tout segment, alors \(S\) est de classe \(C^1\) et \(S' = \sum u_n'\).

Exemple 7

Soit \(S(x) = \sum_{n \geqslant 1} \dfrac{\sin(nx)}{n^3}\). On a \(\|u_n\|_\infty = \dfrac{1}{n^3}\) et \(u_n'(x) = \dfrac{\cos(nx)}{n^2}\) avec \(\|u_n'\|_\infty = \dfrac{1}{n^2}\) : les deux séries convergent normalement sur \(\mathbb{R}\). Donc \(S\) est de classe \(C^1\) et \(S'(x) = \sum_{n \geqslant 1} \dfrac{\cos(nx)}{n^2}\). En particulier \(S'(0) = \sum \dfrac{1}{n^2} = \dfrac{\pi^2}{6}\).

Les dérivées doivent converger

Pour \(f_n(x) = \dfrac{\sin(nx)}{n}\), on a \(\|f_n\|_\infty = \dfrac{1}{n} \to 0\) : \(f_n\) converge uniformément vers \(0\). Mais \(f_n'(x) = \cos(nx)\) ne converge même pas simplement (en \(x = \pi\), elle vaut \((-1)^n\)). La convergence uniforme de \((f_n)\) ne dit rien sur les dérivées.

7. Approximation uniforme et théorème de Weierstrass

Théorème de Weierstrass

Toute fonction continue \(f\) sur un segment \([a,b]\), à valeurs réelles ou complexes, est limite uniforme sur \([a,b]\) d’une suite de fonctions polynomiales : pour tout \(\varepsilon > 0\), il existe un polynôme \(P\) tel que \(\|f - P\|_{\infty,[a,b]} \leqslant \varepsilon\).

Une preuve explicite passe par les polynômes de Bernstein. Pour \(f\) continue sur \([0,1]\),
\[ B_n(f)(x) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f\!\left(\frac{k}{n}\right) x^k (1-x)^{n-k}, \]
et \(\|B_n(f) - f\|_\infty \to 0\). Pour \(f(x) = \left|x - \tfrac12\right|\), un point anguleux n’empêche pas l’approximation uniforme.

Suites séries fonctions Maths Spé : polynômes de Bernstein de degrés 5, 15 et 40 qui approchent uniformément la fonction valeur absolue de x moins un demi sur [0,1], malgré son point anguleux

Exemple 8 : \(B_2\) pour \(|x - \tfrac12|\)

Avec \(n = 2\), \(f(0) = \tfrac12\), \(f(\tfrac12) = 0\), \(f(1) = \tfrac12\) :
\[ B_2(f)(x) = \tfrac12 (1-x)^2 + 0 + \tfrac12 x^2 = x^2 - x + \tfrac12. \]
L’écart maximal \(\|B_2(f) - f\|_\infty = \tfrac14\) est atteint en \(x = \tfrac12\).

Weierstrass permet de remplacer une fonction continue par des polynômes, plus faciles à intégrer et à dériver, tout en contrôlant l’erreur sur tout le segment. Plus généralement, approcher une fonction pour la norme uniforme garantit que les intégrales et les valeurs en chaque point sont approchées avec la même précision. Le théorème tombe en défaut sur un intervalle non borné : \(e^x\) n’est pas limite uniforme de polynômes sur \(\mathbb{R}\).

Astuce de Zyro

Quand on te demande si une convergence est uniforme, cherche d’abord le point où l’écart est le plus grand. S’il glisse vers un bord en gardant la même hauteur, la convergence n’est pas uniforme !

À retenir

Simple : \(x\) fixé, \(f_n(x) \to f(x)\). Uniforme : \(\|f_n - f\|_\infty \to 0\) ; elle entraîne la convergence simple, pas l’inverse.
Pour une série, normale (\(\sum \|u_n\|_\infty < +\infty\)) \(\Rightarrow\) uniforme \(\Rightarrow\) simple.
Limite uniforme de fonctions continues : continue. Sur un segment, \(\int f_n \to \int f\).
Dérivation : \(f_n\) de classe \(C^1\), convergence simple de \(f_n\) et convergence uniforme de \(f_n'\) sur tout segment.
Pour réfuter l’uniformité : limite discontinue, ou points \(x_n\) avec \(|f_n(x_n) - f(x_n)| \not\to 0\).
Weierstrass : toute fonction continue sur un segment est limite uniforme de polynômes (par exemple de Bernstein).