Deux mondes en apparence éloignés, les entiers et les polynômes, partagent la même charpente : une division euclidienne, un PGCD, une identité de Bézout, des briques irréductibles. Ce chapitre construit ces outils dans \(\mathbb{Z}\), puis les transpose à \(\mathbb{K}[X]\) (avec \(\mathbb{K} = \mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\)) pour étudier racines, multiplicités et factorisations.
1. Division euclidienne dans \(\mathbb{Z}\)
Pour tout entier \(a\) et tout entier \(b \geq 1\), il existe un unique couple \((q, r)\) d’entiers tel que
\[ a = bq + r \quad \text{avec} \quad 0 \leq r < b. \]
\(q\) est le quotient et \(r\) le reste.
L’unicité se démontre ainsi : si \(bq + r = bq' + r'\), alors \(b(q - q') = r' - r\) ; or \(|r' - r| < b\) et c’est un multiple de \(b\), donc \(r' = r\) puis \(q' = q\). Pour l’existence, on prend \(q = \lfloor a/b \rfloor\).
Division de \(-85\) par \(12\). On cherche le multiple de \(12\) situé juste en dessous de \(-85\) : \(12 \times (-8) = -96\). Donc \(-85 = 12 \times (-8) + 11\), avec \(0 \leq 11 < 12\). Le quotient est \(-8\) et le reste \(11\) (jamais négatif).
2. PGCD et algorithme d’Euclide
Le plus grand commun diviseur de deux entiers non tous deux nuls, noté \(a \wedge b\), est le plus grand entier qui divise à la fois \(a\) et \(b\). Deux entiers sont premiers entre eux si \(a \wedge b = 1\).
Si \(a = bq + r\), alors \(a \wedge b = b \wedge r\). En effet, les diviseurs communs de \(a\) et \(b\) sont exactement ceux de \(b\) et \(r\).
- Divise \(a\) par \(b\) : \(a = bq_1 + r_1\).
- Divise \(b\) par \(r_1\), puis \(r_1\) par \(r_2\), etc.
- Le dernier reste non nul est le PGCD, car la suite des restes décroît strictement dans les entiers positifs et finit par s’annuler.
\(1001 = 2 \times 357 + 287\) ; \(357 = 1 \times 287 + 70\) ; \(287 = 4 \times 70 + 7\) ; \(70 = 10 \times 7 + 0\). Le dernier reste non nul est \(7\), donc \(1001 \wedge 357 = 7\).
3. Théorèmes de Bézout et de Gauss
Pour tous entiers \(a, b\) non tous deux nuls, il existe des entiers \(u, v\) tels que \(au + bv = a \wedge b\). En particulier, \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux si et seulement s’il existe \(u, v\) avec \(au + bv = 1\).
Les coefficients s’obtiennent en remontant l’algorithme d’Euclide. Avec l’exemple 2 : \(7 = 287 - 4 \times 70 = 287 - 4(357 - 287) = 5 \times 287 - 4 \times 357\), puis, comme \(287 = 1001 - 2 \times 357\), on obtient \(7 = 5 \times 1001 - 14 \times 357\).
Si \(a\) divise \(bc\) et si \(a \wedge b = 1\), alors \(a\) divise \(c\).
Preuve : on écrit \(au + bv = 1\) ; en multipliant par \(c\), \(c = acu + bcv\), et \(a\) divise les deux termes, donc \(a \mid c\).
Résolvons \(17x + 12y = 1\). On a \(17 = 12 + 5\), \(12 = 2 \times 5 + 2\), \(5 = 2 \times 2 + 1\), d’où \(1 = 5 \times 17 - 7 \times 12\). Le couple \((5, -7)\) est solution. Si \((x, y)\) l’est aussi, \(17(x - 5) = -12(y + 7)\) ; comme \(17 \wedge 12 = 1\), Gauss donne \(12 \mid x - 5\). Les solutions sont donc \(x = 5 + 12k\), \(y = -7 - 17k\) avec \(k \in \mathbb{Z}\).
Gauss exige \(a \wedge b = 1\) : \(6 \mid 2 \times 3\) sans que \(6\) divise \(2\) ni \(3\), car \(6\) n’est pas premier avec \(2\).
4. Nombres premiers
Un entier \(p \geq 2\) est premier si ses seuls diviseurs positifs sont \(1\) et \(p\).
- Il existe une infinité de nombres premiers (si \(p_1, \dots, p_n\) étaient tous les premiers, \(p_1 \cdots p_n + 1\) aurait un diviseur premier absent de la liste).
- Tout entier \(n \geq 2\) s’écrit de façon unique, à l’ordre près, comme produit de nombres premiers.
- Un entier \(n \geq 2\) non premier possède un diviseur premier \(\leq \sqrt{n}\) : pour tester la primalité, il suffit d’essayer les premiers jusqu’à \(\sqrt{n}\).
Comme \(\sqrt{397} < 20\), on teste \(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19\). Les restes de la division de \(397\) par \(7, 11, 13, 17, 19\) valent \(5, 1, 7, 6, 17\) ; \(397\) est impair, sa somme de chiffres \(19\) n’est pas multiple de \(3\), et il ne finit ni par \(0\) ni par \(5\). Aucun ne divise : \(397\) est premier.
Si \(n = p_1^{\alpha_1} \cdots p_k^{\alpha_k}\), le nombre de diviseurs positifs de \(n\) vaut \((\alpha_1 + 1) \cdots (\alpha_k + 1)\). Ainsi \(7560 = 2^3 \times 3^3 \times 5 \times 7\) possède \(4 \times 4 \times 2 \times 2 = 64\) diviseurs.
5. Polynômes et degré
Un polynôme à coefficients dans \(\mathbb{K}\) s’écrit \(P = a_n X^n + \dots + a_1 X + a_0\). Si \(a_n \neq 0\), l’entier \(n\) est le degré de \(P\) et \(a_n\) son coefficient dominant.
\(\deg(P + Q) \leq \max(\deg P, \deg Q)\), avec égalité si les degrés sont différents ; \(\deg(PQ) = \deg P + \deg Q\). Le produit de deux polynômes non nuls est donc non nul.
Pour \(A\) et \(B \neq 0\), il existe un unique couple \((Q, R)\) tel que \(A = BQ + R\) avec \(\deg R < \deg B\).
Divisons \(A = X^4 + 2X^3 - X + 5\) par \(B = X^2 + X - 1\). Le terme \(X^2\) élimine \(X^4\) : \(A - X^2 B = X^3 + X^2 - X + 5\). Le terme \(X\) élimine \(X^3\) : on retranche \(XB = X^3 + X^2 - X\) et il reste \(5\), de degré \(0 < 2\). Donc \(A = (X^2 + X - 1)(X^2 + X) + 5\) : quotient \(X^2 + X\), reste \(5\).
6. Racines et multiplicité
\(a\) est racine de \(P\) (c’est-à-dire \(P(a) = 0\)) si et seulement si \(X - a\) divise \(P\). Preuve : le reste de la division de \(P\) par \(X - a\) est la constante \(P(a)\).
\(a\) est racine de multiplicité \(m \geq 1\) si \(P = (X - a)^m Q\) avec \(Q(a) \neq 0\). Sur \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\), c’est équivalent à \(P(a) = P'(a) = \dots = P^{(m-1)}(a) = 0\) et \(P^{(m)}(a) \neq 0\).
Un polynôme non nul de degré \(n\) possède au plus \(n\) racines, comptées avec leur multiplicité. Un polynôme de degré \(\leq n\) qui s’annule en \(n + 1\) points distincts est donc nul.
Sur la première courbe, trois racines simples : la courbe traverse l’axe. Sur la seconde, la racine double \(1\) correspond à un contact tangent sans traversée.
Soit \(P = X^4 - 5X^3 + 6X^2 + 4X - 8\). On a \(P(2) = 0\), \(P'(2) = 0\), \(P''(2) = 0\) mais \(P^{(3)}(2) = 18 \neq 0\) : \(2\) est racine triple, et \(P = (X - 2)^3 (X + 1)\).
7. Factorisation dans \(\mathbb{R}[X]\) et \(\mathbb{C}[X]\)
Tout polynôme non constant à coefficients complexes possède au moins une racine dans \(\mathbb{C}\). Par conséquent, il est scindé : \(P = a_n (X - z_1) \cdots (X - z_n)\), où les racines sont répétées selon leur multiplicité.
Dans \(\mathbb{R}[X]\), les polynômes irréductibles sont ceux de degré \(1\) et ceux de degré \(2\) de discriminant strictement négatif. Si \(P\) est réel et \(z\) racine non réelle, alors \(\bar{z}\) est racine de même multiplicité : on regroupe \((X - z)(X - \bar{z}) = X^2 - 2\,\mathrm{Re}(z)\,X + |z|^2\).
\(X^4 + 4 = (X^2 + 2)^2 - (2X)^2 = (X^2 - 2X + 2)(X^2 + 2X + 2)\), chaque facteur ayant un discriminant égal à \(-4\) : c’est la factorisation dans \(\mathbb{R}[X]\). Dans \(\mathbb{C}[X]\), les racines sont \(1 + i\), \(1 - i\), \(-1 + i\), \(-1 - i\).
Chez moi, on dit qu’un polynôme réel de degré impair a toujours une racine réelle : les racines non réelles vont par paires conjuguées, donc il en reste forcément au moins une réelle, sans partenaire conjugué !
8. Relations coefficients-racines
Si \(aX^2 + bX + c\) a pour racines \(x_1, x_2\) : \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\) et \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}\).
Si \(aX^3 + bX^2 + cX + d\) a pour racines \(x_1, x_2, x_3\) : \(\sigma_1 = x_1 + x_2 + x_3 = -\dfrac{b}{a}\), \(\sigma_2 = x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \dfrac{c}{a}\), \(\sigma_3 = x_1x_2x_3 = -\dfrac{d}{a}\).
Ces relations viennent du développement de \(a(X - x_1)(X - x_2)(X - x_3)\). Elles permettent de calculer des expressions symétriques des racines sans les connaître, par exemple \(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = \sigma_1^2 - 2\sigma_2\).
\(P = X^3 - 6X^2 + 11X - 6\) a pour racines \(1, 2, 3\). On trouve \(\sigma_1 = 6\), \(\sigma_2 = 2 + 3 + 6 = 11\), \(\sigma_3 = 6\), conformes aux coefficients \(-(-6)\), \(11\) et \(-(-6)\).
À retenir
- Division euclidienne : \(a = bq + r\) avec \(0 \leq r < b\) (entiers) ou \(\deg R < \deg B\) (polynômes).
- Algorithme d’Euclide : le dernier reste non nul est le PGCD ; on remonte pour obtenir Bézout \(au + bv = a \wedge b\).
- Gauss : \(a \mid bc\) et \(a \wedge b = 1\) impliquent \(a \mid c\).
- Tout entier \(\geq 2\) se décompose de façon unique en nombres premiers ; on teste la primalité jusqu’à \(\sqrt{n}\).
- \(a\) est racine de \(P\) si et seulement si \((X - a) \mid P\) ; la multiplicité se lit avec les dérivées successives.
- Dans \(\mathbb{C}[X]\) tout polynôme est scindé ; dans \(\mathbb{R}[X]\) les facteurs irréductibles sont de degré \(1\) ou \(2\).
- Relations coefficients-racines : \(S = -b/a\), \(P = c/a\) en degré 2, et les trois fonctions symétriques en degré 3.
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