Droites, angles et alignement : cours de maths CM1

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Cours de maths en CM1 : Droites, angles et alignement — Zyro, l’explorateur de Planète Maths

Regarde autour de toi : le bord d’une table, les marches d’un escalier, les rails d’un train, le coin de ta feuille. Partout, il y a des lignes droites qui se croisent ou qui restent toujours à la même distance. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à les reconnaître, à les tracer avec précision, à repérer des angles et à vérifier si des points sont alignés.

Sommaire

1. Droite, demi-droite et segment

Trois objets à ne pas confondre

Un segment est un morceau de ligne droite entre deux points, appelés ses extrémités. On peut le mesurer. Le segment d’extrémités A et B se note \([AB]\).
Une demi-droite commence en un point et se prolonge sans fin d’un seul côté. La demi-droite qui commence en A et passe par B se note \([AB)\).
Une droite se prolonge sans fin des deux côtés. La droite qui passe par A et B se note \((AB)\).

AttentionSur ta feuille, tu ne dessines qu’un morceau de droite, mais une droite est toujours « infinie » : on l’imagine prolongée au-delà du dessin.

2. Les droites perpendiculaires

Deux droites qui se croisent forment quatre angles. Parfois, ces quatre angles sont tous identiques : ce sont des angles droits.

Droites perpendiculairesDeux droites sont perpendiculaires lorsqu’elles se coupent en formant un angle droit. Si ce sont les droites \((d_1)\) et \((d_2)\), on écrit \((d_1) \perp (d_2)\).

Pour montrer qu’un angle est droit sur un dessin, on le « code » avec un petit carré, comme sur la figure. Si deux droites forment un angle droit, les trois autres angles sont droits eux aussi : on peut donc coder un seul angle ou les quatre.

À savoirSi deux droites sont perpendiculaires, elles se coupent en un seul point et forment quatre angles droits.

3. Utiliser l’équerre

L’équerre est un triangle en plastique qui possède un angle droit. Elle sert à deux choses : vérifier qu’un angle est droit, et tracer des angles droits.

Méthode : tracer la perpendiculaire à une droite passant par un point

Trace la droite \((d)\) et place un point A.
Pose un côté de l’angle droit de l’équerre le long de \((d)\).
Fais glisser l’équerre sur la droite jusqu’à ce que l’autre côté de l’angle droit touche le point A.
Trace avec un crayon bien taillé le long de ce côté, puis code l’angle droit.

AttentionSeuls les deux côtés qui forment le coin de l’équerre servent à tracer un angle droit. Le grand côté, penché, ne sert pas pour cela.

4. Les droites parallèles

Droites parallèlesDeux droites sont parallèles lorsqu’elles ne se coupent jamais, même si on les prolonge très loin. Elles gardent toujours le même écart. On écrit \((d) \parallel (d’)\).

Les deux bords d’une règle, les lignes d’une page ou les rails d’une voie ferrée sont des exemples de droites parallèles.

PropriétéSi deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles.

Autre propriétéSi deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l’une est aussi perpendiculaire à l’autre.

AttentionDeux traits qui ne se touchent pas sur ta feuille ne sont pas forcément parallèles : ils peuvent se couper plus loin, quand on les prolonge.

5. Angle droit, aigu, obtus

Un angle est formé par deux demi-droites qui ont la même origine, appelée le sommet. L’angle de sommet B, dont les côtés passent par A et par C, se note \(\widehat{ABC}\). Pour classer les angles, on les compare à l’angle droit, celui du coin de l’équerre.

Trois sortes d’angles

L’angle droit est celui du coin de l’équerre, d’un quart de tour.
Un angle aigu est plus petit qu’un angle droit.
Un angle obtus est plus grand qu’un angle droit, mais plus petit qu’un angle plat (celui d’un demi-tour, formé par deux angles droits côte à côte).

Exemple : l’horlogeÀ 3 heures, la grande aiguille est sur le 12 et la petite sur le 3 : elles forment un quart de tour, donc un angle droit. À 1 heure, l’écart est plus petit : angle aigu. À 5 heures, l’écart est plus grand qu’un quart de tour mais plus petit qu’un demi-tour : angle obtus.

L’astuce de ZyroSur ma planète, on teste un angle en posant le coin de l’équerre dedans. Si l’angle est plus étroit que le coin, il est aigu. S’il est plus large, il est obtus !

6. Comparer des angles

Pour comparer deux angles, on regarde leur ouverture, c’est-à-dire l’écart entre les deux côtés. La longueur des côtés dessinés ne compte pas : on peut toujours prolonger un côté sans changer l’angle.

ExempleLes côtés de l’angle P sont plus longs que ceux de l’angle Q. Pourtant, c’est l’angle Q qui est le plus grand : son ouverture est plus large. Pour le vérifier, on peut décalquer P sur du papier transparent et le poser sur Q, en faisant coïncider les sommets et un côté.

Méthode : ranger des angles

Compare chaque angle à l’angle droit avec le coin de l’équerre : aigu, droit ou obtus.
Range d’abord les aigus, puis le droit, puis les obtus.
Entre deux angles de même sorte, décalque l’un sur l’autre pour savoir lequel est le plus ouvert.

7. L’alignement de points

Points alignésDes points sont alignés lorsqu’ils sont tous sur une même droite. Pour le vérifier, on pose le bord de la règle sur deux des points et on regarde si les autres touchent exactement ce bord.

Sur la figure, la droite \((AB)\) passe aussi par C : les points A, B et C sont alignés. Le point D n’est pas sur cette droite.

Alignement et longueursSi A, B et C sont alignés et que B est entre A et C, alors \(AB + BC = AC\). Réciproquement, si \(AB + BC = AC\), alors B est sur le segment \([AC]\) et les trois points sont alignés.

ExempleTrois villages A, B et C vérifient \(AB = 2{,}4\text{ km}\), \(BC = 3{,}1\text{ km}\) et \(AC = 5{,}5\text{ km}\) (distances en ligne droite). Comme \(2{,}4 + 3{,}1 = 5{,}5\), le village B est sur le segment \([AC]\) : les trois villages sont alignés.

8. Tracer avec la règle et l’équerre

Méthode : tracer la parallèle à une droite \((d)\) passant par un point M

Avec l’équerre, trace la perpendiculaire à \((d)\) passant par M. Appelle-la \((\Delta)\).
Avec l’équerre toujours, trace la perpendiculaire à \((\Delta)\) passant par M.
Cette dernière droite est parallèle à \((d)\), car les deux droites sont perpendiculaires à la même droite \((\Delta)\).

Exemple : un rectangle de 5 cm sur 3 cmTrace \([AB]\) de 5 cm. En A, trace la perpendiculaire à \((AB)\) et place D à 3 cm de A. En B, trace la perpendiculaire à \((AB)\) et place C à 3 cm de B. Relie D et C. Tu obtiens le rectangle ABCD : il a quatre angles droits, et ses côtés opposés sont parallèles et de même longueur.

Exemple : repérer les angles d’une figureDans le rectangle ABCD ci-dessus, les angles \(\widehat{DAB}\), \(\widehat{ABC}\), \(\widehat{BCD}\) et \(\widehat{CDA}\) sont tous droits. Le côté \([AB]\) est parallèle à \([DC]\), et il est perpendiculaire à \([AD]\).

À retenir

Un segment a deux extrémités, une demi-droite une seule, une droite aucune.
Deux droites perpendiculaires forment quatre angles droits. L’équerre sert à les vérifier et à les tracer.
Deux droites parallèles ne se coupent jamais et gardent toujours le même écart.
Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles ; une perpendiculaire à l’une de deux parallèles l’est aussi à l’autre.
Un angle est aigu s’il est plus petit que l’angle droit, obtus s’il est plus grand (sans dépasser l’angle plat).
Pour comparer des angles, on compare leur ouverture, jamais la longueur des côtés dessinés.
Des points sont alignés s’ils sont sur une même droite : la règle permet de le vérifier.