Les espaces vectoriels donnent un cadre unique pour manipuler des vecteurs du plan, des polynômes, des matrices ou des fonctions. Ce chapitre fixe le vocabulaire (sous-espaces, bases, dimension, sommes directes) puis étudie les applications qui respectent la structure : les applications linéaires, leur noyau, leur image et le théorème du rang. Dans tout le chapitre, \(\mathbb{K}\) désigne \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\).
1. Espaces vectoriels
Un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel est un ensemble \(E\) muni d’une addition \(+\) (qui en fait un groupe commutatif, d’élément neutre \(0_E\)) et d’une multiplication externe par les scalaires de \(\mathbb{K}\) vérifiant, pour tous \(u,v\in E\) et \(\lambda,\mu\in\mathbb{K}\) :
\[\lambda(u+v)=\lambda u+\lambda v,\quad (\lambda+\mu)u=\lambda u+\mu u,\quad (\lambda\mu)u=\lambda(\mu u),\quad 1\cdot u=u.\]
Exemples usuels : \(\mathbb{K}^n\), l’espace \(\mathbb{K}[X]\) des polynômes, l’espace \(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\) des matrices, l’espace \(\mathcal{F}(I,\mathbb{R})\) des fonctions définies sur un intervalle \(I\), l’espace des suites réelles. De la définition on déduit \(0\cdot u=0_E\) et \((-1)\cdot u=-u\).
2. Sous-espaces vectoriels
Une partie \(F\) de \(E\) est un sous-espace vectoriel si et seulement si \(0_E\in F\) et, pour tous \(u,v\in F\) et \(\lambda,\mu\in\mathbb{K}\), on a \(\lambda u+\mu v\in F\).
Une intersection de sous-espaces est un sous-espace ; une réunion ne l’est en général pas. Le sous-espace engendré par une famille \((u_1,\dots,u_p)\) est \(\operatorname{Vect}(u_1,\dots,u_p)=\{\lambda_1u_1+\dots+\lambda_pu_p\}\), le plus petit sous-espace qui la contient.
Soit \(F=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : x+2y-z=0\}\). Le vecteur nul vérifie l’équation, et si \(u,v\in F\), alors \(\lambda u+\mu v\) la vérifie aussi par linéarité de l’équation : \(F\) est un sous-espace. Un élément s’écrit \((x,y,x+2y)=x(1,0,1)+y(0,1,2)\). Donc \(F=\operatorname{Vect}((1,0,1),(0,1,2))\), et ces deux vecteurs ne sont pas proportionnels.
L’ensemble \(\{(x,y) : x+y=1\}\) n’est pas un sous-espace : il ne contient pas \((0,0)\). Pensez toujours à tester le vecteur nul en premier.
3. Familles libres, génératrices, bases
Une famille \((u_1,\dots,u_p)\) est libre si \(\lambda_1u_1+\dots+\lambda_pu_p=0\) entraîne \(\lambda_1=\dots=\lambda_p=0\) ; elle est génératrice si \(\operatorname{Vect}(u_1,\dots,u_p)=E\) ; c’est une base si elle est libre et génératrice.
Dans une base \(\mathcal{B}=(e_1,\dots,e_n)\), tout vecteur \(u\) s’écrit de façon unique \(u=x_1e_1+\dots+x_ne_n\) : les \(x_i\) sont ses coordonnées.
Soit \(\mathcal{F}=((1,1,0),(0,1,1),(1,0,1))\). Le déterminant de ces trois vecteurs vaut \(1(1-0)-1(0-1)+0=2\neq0\). La famille est donc libre, et comme elle compte 3 vecteurs dans un espace de dimension 3, c’est une base de \(\mathbb{R}^3\).
Pour montrer qu’une famille est libre, écrivez toujours la combinaison linéaire nulle et résolvez le système : c’est la seule méthode qui marche partout, y compris pour des polynômes ou des fonctions.
4. Dimension
Si \(E\) possède une famille génératrice finie, alors \(E\) admet une base, et toutes les bases ont le même nombre d’éléments, noté \(\dim E\). De plus toute famille libre se complète en une base (théorème de la base incomplète).
Si \(\dim E=n\) : une famille libre a au plus \(n\) vecteurs, une famille génératrice en a au moins \(n\), et une famille de \(n\) vecteurs est une base dès qu’elle est libre ou génératrice. Un sous-espace \(F\) vérifie \(\dim F\leq\dim E\), avec égalité si et seulement si \(F=E\). Exemples : \(\dim\mathbb{K}^n=n\), \(\dim\mathbb{K}_n[X]=n+1\), \(\dim\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})=np\).
Si \(F\) et \(G\) sont deux sous-espaces de dimension finie : \(\dim(F+G)=\dim F+\dim G-\dim(F\cap G)\).
5. Somme directe et supplémentaires
La somme \(F+G=\{f+g : f\in F,\ g\in G\}\) est directe, notée \(F\oplus G\), si \(F\cap G=\{0\}\). Si de plus \(F\oplus G=E\), on dit que \(F\) et \(G\) sont supplémentaires dans \(E\).
Ainsi \(E=F\oplus G\) signifie que tout vecteur de \(E\) s’écrit de manière unique \(u=f+g\) avec \(f\in F\), \(g\in G\). En dimension finie, \(E=F\oplus G\) équivaut à \(F\cap G=\{0\}\) et \(\dim F+\dim G=\dim E\). Tout sous-espace d’un espace de dimension finie possède un supplémentaire (on complète une base de \(F\) en une base de \(E\)), mais il n’est pas unique.
Sur la figure, le plan est somme directe de la droite \(F=\operatorname{Vect}((1,2))\) et de l’axe des abscisses \(G\) : le vecteur \(u=(3,4)\) se décompose en \(2(1,2)+(1,0)\).
6. Applications linéaires, noyau, image
Une application \(f:E\to F\) est linéaire si \(f(\lambda u+\mu v)=\lambda f(u)+\mu f(v)\) pour tous \(u,v\in E\) et \(\lambda,\mu\in\mathbb{K}\). Son noyau est \(\operatorname{Ker} f=\{u\in E : f(u)=0_F\}\) et son image est \(\operatorname{Im} f=f(E)\). Ce sont des sous-espaces de \(E\) et de \(F\).
On a toujours \(f(0_E)=0_F\). L’application \(f\) est injective si et seulement si \(\operatorname{Ker} f=\{0\}\), surjective si et seulement si \(\operatorname{Im} f=F\). Si \((e_1,\dots,e_n)\) est une base de \(E\), alors \(\operatorname{Im} f=\operatorname{Vect}(f(e_1),\dots,f(e_n))\). Le rang de \(f\) est \(\operatorname{rg} f=\dim\operatorname{Im} f\).
Soit \(f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\), \(f(x,y,z)=(x+y-z,\ 2x+y+z)\). Pour \(f(x,y,z)=0\) : en soustrayant les deux équations, \(x+2z=0\), donc \(x=-2z\) puis \(y=z-x=3z\). Ainsi \(\operatorname{Ker} f=\operatorname{Vect}((-2,3,1))\), de dimension 1. L’image contient \(f(1,0,0)=(1,2)\) et \(f(0,1,0)=(1,1)\), non proportionnels : \(\operatorname{Im} f=\mathbb{R}^2\), de dimension 2. On vérifie \(1+2=3=\dim\mathbb{R}^3\).
7. Théorème du rang
Soit \(f:E\to F\) linéaire avec \(E\) de dimension finie. Alors \(\dim E=\dim\operatorname{Ker} f+\operatorname{rg} f\).
Idée de la démonstration. Soit \(H\) un supplémentaire de \(\operatorname{Ker} f\) dans \(E\). La restriction de \(f\) à \(H\) est injective (son noyau est \(H\cap\operatorname{Ker} f=\{0\}\)) et son image est \(\operatorname{Im} f\), car tout \(u=h+k\) vérifie \(f(u)=f(h)\). C’est donc un isomorphisme de \(H\) sur \(\operatorname{Im} f\), d’où \(\dim H=\operatorname{rg} f\) et \(\dim E=\dim\operatorname{Ker} f+\dim H\).
- Écrire \(f(u)=0\) et résoudre le système pour obtenir \(\operatorname{Ker} f\) et une base.
- Calculer l’image des vecteurs d’une base de \(E\) : ils engendrent \(\operatorname{Im} f\).
- Contrôler avec \(\dim E=\dim\operatorname{Ker} f+\operatorname{rg} f\).
8. Isomorphismes
Un isomorphisme est une application linéaire bijective. Sa réciproque est alors linéaire. Deux espaces sont isomorphes s’il existe un isomorphisme de l’un sur l’autre.
En dimension finie, deux espaces sont isomorphes si et seulement s’ils ont la même dimension : tout espace de dimension \(n\) est isomorphe à \(\mathbb{K}^n\), l’isomorphisme associant à un vecteur ses coordonnées dans une base. Le théorème du rang donne un critère très commode.
Si \(\dim E=\dim F<+\infty\), alors pour \(f:E\to F\) linéaire : \(f\) injective \(\Leftrightarrow\) \(f\) surjective \(\Leftrightarrow\) \(f\) bijective.
| Propriété de f : E → F | Caractérisation | En dimension finie |
|---|---|---|
| injective | \(\operatorname{Ker} f=\{0\}\) | \(\operatorname{rg} f=\dim E\) |
| surjective | \(\operatorname{Im} f=F\) | \(\operatorname{rg} f=\dim F\) |
| bijective (isomorphisme) | injective et surjective | \(\dim E=\dim F=\operatorname{rg} f\) |
Ce critère « injective équivaut à surjective » est faux si les dimensions diffèrent, et faux en dimension infinie : sur les suites, le décalage à droite est injectif mais pas surjectif.
À retenir
- Un sous-espace contient \(0\) et est stable par combinaisons linéaires ; l’intersection de sous-espaces en est un.
- Une base est une famille libre et génératrice ; tous les vecteurs s’y écrivent de façon unique.
- En dimension \(n\), une famille de \(n\) vecteurs est une base si elle est libre ou génératrice.
- \(\dim(F+G)=\dim F+\dim G-\dim(F\cap G)\), et \(E=F\oplus G\) si \(F\cap G=\{0\}\) et \(F+G=E\).
- \(f\) est injective si et seulement si \(\operatorname{Ker} f=\{0\}\) ; \(\dim E=\dim\operatorname{Ker} f+\operatorname{rg} f\).
- À dimensions égales et finies, injective, surjective et bijective sont équivalentes.
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