Espaces complets et point fixe : cours de maths Licence L3

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Cours de maths en Licence L3 : Espaces complets et point fixe — Zyro, l’explorateur de Planète Maths

Dans ce chapitre, on met au centre une idée simple : une suite dont les termes se rapprochent les uns des autres doit avoir une limite. Cette propriété, la complétude, est ce qui fait fonctionner l’analyse : elle donne l’existence de solutions d’équations, de points fixes et d’équations différentielles.

Sommaire

1. Suites de Cauchy

Suite de Cauchy

Soit \( (X,d) \) un espace métrique. Une suite \( (x_n) \) de \( X \) est de Cauchy si
\[ \forall \varepsilon>0,\ \exists N\in\mathbb{N},\ \forall p,q\geq N,\quad d(x_p,x_q)\leq \varepsilon. \]

L’intérêt de cette définition est de ne pas faire intervenir la limite : on peut tester la convergence « de l’intérieur », sans la connaître.

Propriétés

Toute suite convergente est de Cauchy (inégalité triangulaire : \( d(x_p,x_q)\leq d(x_p,\ell)+d(\ell,x_q) \)).
Toute suite de Cauchy est bornée.
Une suite de Cauchy qui possède une sous-suite convergente vers \( \ell \) converge elle-même vers \( \ell \).

Attention

La réciproque de la première propriété est fausse en général : une suite de Cauchy ne converge pas toujours dans l’espace considéré. C’est exactement ce qui sépare les espaces complets des autres.

Exemple 1 : une suite de Cauchy rationnelle sans limite rationnelle

Dans \( \mathbb{Q} \), posons \( x_0=1 \) et \( x_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(x_n+\dfrac{2}{x_n}\right) \). On obtient \( x_1=\dfrac{3}{2} \), \( x_2=\dfrac{17}{12} \), \( x_3=\dfrac{577}{408} \). Tous les termes sont rationnels, et la suite se resserre : \( x_2\approx 1{,}41667 \) et \( x_3\approx 1{,}41422 \). Dans \( \mathbb{R} \), elle converge vers \( \sqrt2 \) ; or \( \sqrt2\notin\mathbb{Q} \). Dans \( \mathbb{Q} \), la suite est donc de Cauchy sans converger.

2. Espaces complets et espaces de Banach

Espace complet, espace de Banach

Un espace métrique est complet si toute suite de Cauchy y converge. Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet pour la distance \( d(x,y)=\|x-y\| \).

Exemples : \( \mathbb{R} \), \( \mathbb{C} \), \( \mathbb{R}^n \) (toutes les normes y sont équivalentes), tout fermé d’un espace complet. Non complets : \( \mathbb{Q} \) et \( ]0,1[ \) avec la distance usuelle (la suite \( 1/n \) est de Cauchy dans \( ]0,1[ \) mais sa limite \( 0 \) n’y est pas).

Propriété

Un sous-ensemble d’un espace complet est complet si et seulement s’il est fermé.

3. Le théorème de Banach-Picard

Application contractante

Une application \( f:X\to X \) est contractante (ou \( k \)-contractante) s’il existe \( k\in[0,1[ \) tel que \( d(f(x),f(y))\leq k\,d(x,y) \) pour tous \( x,y \).

Théorème de Banach-Picard (point fixe)

Soit \( (X,d) \) un espace métrique complet non vide et \( f:X\to X \) une application \( k \)-contractante. Alors \( f \) possède un unique point fixe \( x^* \), et pour tout \( x_0\in X \) la suite \( x_{n+1}=f(x_n) \) converge vers \( x^* \), avec la majoration
\[ d(x_n,x^*)\leq \frac{k^n}{1-k}\,d(x_0,x_1). \]

Démonstration. Par récurrence, \( d(x_{n+1},x_n)\leq k^n d(x_1,x_0) \). Pour \( p

Méthode : appliquer le théorème

Choisir un fermé \( X \) d’un espace complet (souvent un intervalle fermé de \( \mathbb{R} \)).
Vérifier que \( f(X)\subset X \) (l’ensemble est stable).
Prouver que \( f \) est contractante : sur un intervalle, borner \( |f'| \) par \( k<1 \) (inégalité des accroissements finis).
Conclure à l’existence et à l’unicité, puis utiliser la majoration pour fixer le nombre d’itérations.

Exemple 2 : le point fixe de \( x\mapsto \dfrac{1}{2+x} \)

Sur \( X=[0,1] \), \( f(x)=\dfrac{1}{2+x} \) vérifie \( f(X)=[\tfrac13,\tfrac12]\subset X \) et \( |f'(x)|=\dfrac{1}{(2+x)^2}\leq \dfrac14 \). Donc \( f \) est \( \tfrac14 \)-contractante : point fixe unique, solution de \( x^2+2x-1=0 \), soit \( x^*=\sqrt2-1\approx 0{,}41421 \). Avec \( x_0=0 \), \( x_1=\tfrac12 \) et la majoration devient \( d(x_n,x^*)\leq \dfrac{4^{-n}}{3/4}\times\dfrac12=\dfrac{2}{3}\,4^{-n} \). Pour obtenir \( 10^{-6} \), il suffit de \( n=10 \) itérations (\( 4^{10}=1\,048\,576 \)).

Exemple 3 : l’équation \( \cos x=x \)

Sur \( X=[0,1] \), \( \cos(X)=[\cos 1,1]\subset X \) et \( |\sin x|\leq\sin 1\approx 0{,}8415<1 \). L’application \( \cos \) est contractante sur \( X \) et l’unique solution est \( x^*\approx 0{,}739085 \). Depuis \( x_0=0{,}5 \) : \( x_1\approx0{,}8776 \), \( x_2\approx0{,}6390 \), \( x_3\approx0{,}8027 \), \( x_4\approx0{,}6948 \) : les termes oscillent autour de \( x^* \) en s’en rapprochant (voir la figure).

4. Applications contractantes : variantes et usages

Attention

Il ne suffit pas que \( d(f(x),f(y))uniforme.

Variante

Si \( X \) est complet et si une itérée \( f^p \) est contractante, alors \( f \) possède un unique point fixe (celui de \( f^p \) est fixé par \( f \), car \( f(x^*) \) est aussi point fixe de \( f^p \)).

Application aux équations différentielles. Pour \( y'=F(t,y) \) avec \( F \) lipschitzienne en \( y \), la fonction \( y \) est solution du problème de Cauchy si et seulement si c’est un point fixe de l’opérateur \( (T\varphi)(t)=y_0+\int_0^t F(s,\varphi(s))\,ds \) agissant sur l’espace de Banach \( C([0,a]) \). Pour \( a \) assez petit, \( T \) est contractante : c’est le théorème de Cauchy-Lipschitz, et les itérées de \( T \) sont les itérées de Picard.

5. Fonctions continues et convergence uniforme

Pour \( K \) compact, l’espace \( C(K) \) des fonctions continues \( K\to\mathbb{R} \) est muni de la norme \( \|f\|_\infty=\max_K|f| \).

Théorème

\( \big(C(K),\|\cdot\|_\infty\big) \) est un espace de Banach.

Preuve. Si \( (f_n) \) est de Cauchy, pour tout \( x \) la suite réelle \( (f_n(x)) \) est de Cauchy, donc converge vers \( f(x) \). Dans \( |f_p(x)-f_q(x)|\leq\varepsilon \) (\( p,q\geq N \)) on fait \( q\to\infty \) : \( |f_p(x)-f(x)|\leq\varepsilon \) pour tout \( x \), c’est-à-dire convergence uniforme. Une limite uniforme de fonctions continues est continue : \( f\in C(K) \).

Attention

La complétude dépend de la norme. L’espace \( C([0,1]) \) muni de \( \|f\|_1=\int_0^1|f| \) n’est pas complet : des fonctions continues qui montent de 0 à 1 de plus en plus vite autour de \( x=\tfrac12 \) forment une suite de Cauchy dont la limite serait l’indicatrice de \( ]\tfrac12,1] \), non continue.

6. Le théorème de Baire

Théorème de Baire

Soit \( X \) un espace métrique complet. Toute intersection dénombrable d’ouverts denses de \( X \) est dense. De façon équivalente, si \( X\neq\emptyset \) est réunion dénombrable de fermés \( F_n \), l’un au moins des \( F_n \) est d’intérieur non vide.

Idée de la preuve. On part d’un ouvert non vide \( U \) et d’ouverts denses \( O_n \). On construit des boules fermées emboîtées \( \overline B(x_n,r_n)\subset O_n\cap \overline B(x_{n-1},r_{n-1}) \) de rayons \( r_n<2^{-n} \) ; les centres forment une suite de Cauchy, dont la limite appartient à toutes les boules, donc à \( U\cap\bigcap O_n \).

Exemple 4 : \( \mathbb{R} \) n’est pas dénombrable

Si \( \mathbb{R}=\bigcup_n\{r_n\} \), chaque singleton est un fermé d’intérieur vide. D’après Baire, un des \( \{r_n\} \) devrait être d’intérieur non vide, ce qui est absurde. Plus généralement, un espace complet sans point isolé est non dénombrable.

7. Le théorème d’Ascoli

Dans \( \mathbb{R}^n \), les compacts sont les fermés bornés ; en dimension infinie ce n’est plus vrai. Pour \( C(K) \), le critère est donné par l’équicontinuité.

Équicontinuité

Une partie \( A\subset C(K) \) est équicontinue si
\[ \forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0,\ \forall f\in A,\ \forall x,y\in K,\quad d(x,y)\leq\delta\Rightarrow |f(x)-f(y)|\leq\varepsilon. \]
Le même \( \delta \) sert pour toutes les fonctions de la famille.

Théorème d’Ascoli

Soit \( K \) un espace métrique compact. Une partie \( A\subset C(K) \) est relativement compacte pour \( \|\cdot\|_\infty \) si et seulement si \( A \) est bornée et équicontinue. Toute suite de \( A \) admet alors une sous-suite uniformément convergente.

Exemple 5 : famille lipschitzienne et famille qui s’aplatit

Soit \( A=\{f\in C^1([0,1]) : \|f\|_\infty\leq 2,\ \|f'\|_\infty\leq 3\} \). Pour \( f\in A \), \( |f(x)-f(y)|\leq3|x-y| \) : le choix \( \delta=\varepsilon/3 \) convient pour toutes les fonctions, donc \( A \) est équicontinue ; elle est bornée, donc relativement compacte. À l’inverse, \( f_n(x)=x^n \) est bornée par 1 mais non équicontinue en \( x=1 \) : \( f_n(1)-f_n(1-\tfrac1n)\to 1-e^{-1} \). Aucune sous-suite de \( (f_n) \) ne converge uniformément (la limite simple est discontinue en 1).

Astuce de Zyro

Sur ma planète, on dit qu’une suite « ne peut pas s’échapper de son espace » quand il est complet. Pour un point fixe, pense toujours aux trois questions : espace complet ? application stable ? rapport \( k<1 \) ?

À retenir

Une suite de Cauchy est bornée ; toute suite convergente est de Cauchy, la réciproque exige la complétude.
\( \mathbb{R}^n \), les fermés d’un complet et \( (C(K),\|\cdot\|_\infty) \) sont complets ; \( \mathbb{Q} \), \( ]0,1[ \) ne le sont pas.
Banach-Picard : \( f \) \( k \)-contractante (\( k<1 \)) sur un complet non vide \( \Rightarrow \) point fixe unique et \( d(x_n,x^*)\leq\dfrac{k^n}{1-k}d(x_0,x_1) \).
Baire : dans un complet, une intersection dénombrable d’ouverts denses est dense ; un complet non vide n’est pas réunion dénombrable de fermés d’intérieur vide.
Ascoli : dans \( C(K) \), relativement compact \( \Leftrightarrow \) borné et équicontinu.