Jusqu’ici, l’intégrale de Riemann vivait sur un segment, pour des fonctions bornées. Or l’analyse réclame bien davantage : des fonctions qui explosent en un point, des intervalles qui s’étendent jusqu’à l’infini, des limites et des sommes infinies qu’on voudrait échanger avec le signe intégral, des fonctions définies elles-mêmes par une intégrale. Ce chapitre construit l’outil général, puis ses trois grands théorèmes, et se termine par la fonction Gamma.
1. Fonctions intégrables sur un intervalle
Soit \( I \) un intervalle de \( \mathbb{R} \) et \( f : I \to \mathbb{K} \) (\( \mathbb{K}=\mathbb{R} \) ou \( \mathbb{C} \)) continue par morceaux. On dit que \( f \) est intégrable sur \( I \) si \( \displaystyle\int_I |f| \) est finie, c’est-à-dire si les intégrales de \( |f| \) sur les segments contenus dans \( I \) restent bornées. On note alors \( \displaystyle\int_I f \) son intégrale.
Les intégrales de référence, à connaître par cœur, sont réunies ci-dessous.
| Fonction | Intervalle | Intégrable si et seulement si |
|---|---|---|
| \( t \mapsto \dfrac{1}{t^{\alpha}} \) | \( [1,+\infty[ \) | \( \alpha > 1 \) |
| \( t \mapsto \dfrac{1}{t^{\alpha}} \) | \( ]0,1] \) | \( \alpha < 1 \) |
| \( t \mapsto e^{-at} \) | \( [0,+\infty[ \) | \( a > 0 \) |
| \( t \mapsto \ln t \) | \( ]0,1] \) | toujours (\( \int_0^1 \ln t\,dt=-1 \)) |
Sur la figure, la courbe orange (\( 1/t \)) décroît trop lentement : l’aire sous elle croît comme \( \ln X \) et n’est pas bornée. La courbe violette (\( 1/t^2 \)) décroît assez vite pour que l’aire totale sur \( [1,+\infty[ \) vaille exactement \( 1 \).
2. Intégrales généralisées et comparaison
Si \( f \) est continue sur \( [a,b[ \) avec \( b\le+\infty \), l’intégrale \( \int_a^b f \) est dite convergente lorsque \( x\mapsto\int_a^x f \) possède une limite finie en \( b \). Pour une fonction positive, convergence et intégrabilité sont équivalentes. Plus généralement, l’intégrabilité (la convergence absolue) entraîne la convergence ; la réciproque est fausse, comme le montre \( \int_1^{+\infty}\frac{\sin t}{t}\,dt \), convergente sans être absolument convergente.
Soit \( f \) et \( g \) continues par morceaux sur \( [a,b[ \), \( g \) positive et intégrable. Si \( |f|\le g \), ou si \( f=O(g) \) ou \( f=o(g) \) au voisinage de \( b \), alors \( f \) est intégrable. Si \( f \) et \( g \) sont positives et équivalentes en \( b \), elles sont simultanément intégrables ou non.
- Repérer les points « difficiles » : les bornes infinies et les points où la fonction n’est pas définie ou bornée ; découper l’intervalle pour n’avoir qu’un problème par morceau.
- En chaque point difficile, chercher un équivalent simple (puissance de \( t \), exponentielle).
- Conclure par comparaison avec une intégrale de référence, puis recoller les morceaux.
Soit \( f(t)=\dfrac{1}{\sqrt t\,(1+t^2)} \) sur \( ]0,+\infty[ \). Au voisinage de \( 0 \), \( f(t)\sim t^{-1/2} \) avec \( \tfrac12<1 \) : intégrable. Au voisinage de \( +\infty \), \( f(t)\sim t^{-5/2} \) avec \( \tfrac52>1 \) : intégrable. Donc \( f \) est intégrable sur \( ]0,+\infty[ \).
Pour \( 0<\varepsilon<1 \), une primitive de \( \ln \) est \( t\ln t-t \), donc \( \displaystyle\int_\varepsilon^1\ln t\,dt=-1-\varepsilon\ln\varepsilon+\varepsilon \). Comme \( \varepsilon\ln\varepsilon\to0 \), on obtient \( \displaystyle\int_0^1\ln t\,dt=-1 \).
Une fonction continue qui tend vers \( 0 \) en \( +\infty \) n’est pas forcément intégrable : \( t\mapsto \frac{1}{1+t} \) en est le contre-exemple. Inversement, une fonction intégrable ne tend pas forcément vers \( 0 \).
3. Le théorème de convergence dominée
Soit \( (f_n) \) une suite de fonctions continues par morceaux sur \( I \). On suppose : (i) \( f_n \) converge simplement sur \( I \) vers une fonction \( f \) continue par morceaux ; (ii) il existe une fonction \( \varphi \) continue par morceaux, positive et intégrable sur \( I \), telle que \( |f_n|\le\varphi \) pour tout \( n \). Alors \( f \) est intégrable et
\[ \lim_{n\to+\infty}\int_I f_n=\int_I \lim_{n\to+\infty} f_n=\int_I f. \]
L’idée est que la fonction \( \varphi \), indépendante de \( n \), empêche la masse de « s’échapper » vers l’infini ou de se concentrer en un point.
Soit \( I_n=\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{e^{-t}}{1+t/n}\,dt \). Pour tout \( t\ge0 \), \( f_n(t)=\dfrac{e^{-t}}{1+t/n}\to e^{-t} \). De plus \( 0\le f_n(t)\le e^{-t} \), fonction intégrable sur \( [0,+\infty[ \). Le théorème donne \( I_n\to\int_0^{+\infty}e^{-t}dt=1 \).
Avec \( f_n(t)=n\,e^{-nt} \), chaque intégrale sur \( [0,+\infty[ \) vaut \( 1 \), alors que \( f_n(t)\to0 \) pour tout \( t>0 \) : la limite des intégrales (\( 1 \)) diffère de l’intégrale de la limite (\( 0 \)). Aucune fonction \( \varphi \) intégrable ne domine toute la suite (voir les exercices).
4. Intégration terme à terme
Soit \( (f_n) \) une suite de fonctions continues par morceaux et intégrables sur \( I \) telle que \( \sum f_n \) converge simplement vers une fonction \( S \) continue par morceaux et que la série \( \sum\int_I|f_n| \) converge. Alors \( S \) est intégrable et
\[ \int_I\sum_{n=0}^{+\infty}f_n=\sum_{n=0}^{+\infty}\int_I f_n. \]
Lorsque les \( f_n \) sont positives, l’égalité reste vraie dans \( [0,+\infty] \).
Pour \( t\ge0 \), \( \dfrac{e^{-t}}{1-e^{-t}/2}=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{e^{-(k+1)t}}{2^k} \), série de fonctions positives avec \( \int_0^{+\infty}\frac{e^{-(k+1)t}}{2^k}dt=\frac{1}{2^k(k+1)} \). Avec le changement de variable \( u=e^{-t} \), le membre de gauche s’intègre en \( \int_0^1\frac{du}{1-u/2}=-2\ln\frac12=2\ln2 \). Donc
\[ \sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{2^k(k+1)}=2\ln 2. \]
5. Intégrales à paramètre : continuité
Soit \( A \) un intervalle, \( I \) un intervalle et \( f : A\times I\to\mathbb{K} \). On étudie \( F(x)=\displaystyle\int_I f(x,t)\,dt \).
On suppose : (i) pour tout \( t \), \( x\mapsto f(x,t) \) est continue sur \( A \) ; (ii) pour tout \( x \), \( t\mapsto f(x,t) \) est continue par morceaux ; (iii) il existe \( \varphi \) intégrable sur \( I \) avec \( |f(x,t)|\le\varphi(t) \) pour tout \( (x,t)\in A\times I \). Alors \( F \) est définie et continue sur \( A \).
La continuité étant une propriété locale, il suffit de vérifier la domination sur tout segment de \( A \), ce qui rend la méthode beaucoup plus souple.
Soit \( F(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{e^{-xt}}{1+t^2}dt \) pour \( x\ge0 \). Pour tout \( x\ge0 \) et tout \( t\ge0 \), \( \left|\dfrac{e^{-xt}}{1+t^2}\right|\le\dfrac{1}{1+t^2} \), intégrable sur \( [0,+\infty[ \). Donc \( F \) est continue sur \( [0,+\infty[ \), y compris en \( 0 \), et \( F(0)=\frac\pi2 \).
6. Dérivation sous l’intégrale
On suppose : (i) pour tout \( x\in A \), \( t\mapsto f(x,t) \) est intégrable sur \( I \) ; (ii) pour tout \( t \), \( x\mapsto f(x,t) \) est de classe \( C^1 \) sur \( A \) ; (iii) pour tout \( x \), \( t\mapsto\frac{\partial f}{\partial x}(x,t) \) est continue par morceaux ; (iv) il existe \( \varphi \) intégrable sur \( I \) avec \( \left|\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\right|\le\varphi(t) \) sur \( A\times I \) (ou sur tout segment de \( A \)). Alors \( F \) est de classe \( C^1 \) et \( F'(x)=\displaystyle\int_I\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\,dt \).
En itérant, on obtient la classe \( C^k \), puis \( C^\infty \), pourvu que chaque dérivée partielle soit dominée.
Pour \( x>0 \), \( L(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-xt}dt=\frac1x \). Sur \( [a,+\infty[ \) avec \( a>0 \), \( |t^ke^{-xt}|\le t^ke^{-at} \), intégrable : on peut dériver autant de fois qu’on veut. On obtient \( L^{(n)}(x)=(-1)^n\displaystyle\int_0^{+\infty}t^ne^{-xt}dt=\frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}} \), donc \( \displaystyle\int_0^{+\infty}t^ne^{-xt}dt=\frac{n!}{x^{n+1}} \).
Ici \( \sup_{x>0}t\,e^{-xt}=t \) n’est pas intégrable sur \( ]0,+\infty[ \) : la domination globale échoue. C’est la domination sur \( [a,+\infty[ \), pour tout \( a>0 \), qui sauve la démonstration.
7. La fonction Gamma
Pour \( x>0 \), \( \Gamma(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\,dt \).
L’intégrale converge : en \( 0 \), \( t^{x-1}e^{-t}\sim t^{x-1} \) avec \( 1-x<1 \) ; en \( +\infty \), \( t^{x-1}e^{-t}=o(1/t^2) \).
- \( \Gamma \) est de classe \( C^\infty \) sur \( ]0,+\infty[ \) et \( \Gamma^{(k)}(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}(\ln t)^k\,t^{x-1}e^{-t}dt \) ; en particulier \( \Gamma''>0 \) : \( \Gamma \) est strictement convexe.
- \( \Gamma(x+1)=x\,\Gamma(x) \) pour tout \( x>0 \), et \( \Gamma(n+1)=n! \) pour \( n\in\mathbb{N} \).
- \( \Gamma(\tfrac12)=\sqrt\pi \) (on admet \( \int_0^{+\infty}e^{-u^2}du=\frac{\sqrt\pi}{2} \)).
- \( \Gamma(x)\sim\dfrac1x \) quand \( x\to0^+ \).
La relation fonctionnelle vient d’une intégration par parties : \( \int_\varepsilon^A t^xe^{-t}dt=\big[-t^xe^{-t}\big]_\varepsilon^A+x\int_\varepsilon^A t^{x-1}e^{-t}dt \), et les termes tout intégrés tendent vers \( 0 \) quand \( \varepsilon\to0 \) et \( A\to+\infty \). Avec \( \Gamma(1)=\int_0^{+\infty}e^{-t}dt=1 \), la récurrence donne les factorielles. Enfin, \( \Gamma(x)=\Gamma(x+1)/x \) et la continuité de \( \Gamma \) en \( 1 \) donnent l’équivalent en \( 0 \).
\( \displaystyle\int_0^{+\infty}t^{3/2}e^{-t}dt=\Gamma(\tfrac52)=\tfrac32\cdot\tfrac12\,\Gamma(\tfrac12)=\frac{3\sqrt\pi}{4} \). De même, avec \( u=t^2 \), \( \displaystyle\int_0^{+\infty}t^2e^{-t^2}dt=\tfrac12\Gamma(\tfrac32)=\frac{\sqrt\pi}{4} \).
Face à une intégrale de la forme « puissance fois exponentielle », pense Gamma : un changement de variable linéaire (\( u=at \)) ou quadratique (\( u=t^2 \)) la ramène presque toujours à \( \Gamma \) en une ligne.
À retenir
- \( f \) est intégrable sur \( I \) si \( \int_I|f| \) est finie ; références : \( \frac1{t^\alpha} \) intégrable en \( +\infty \) ssi \( \alpha>1 \), en \( 0 \) ssi \( \alpha<1 \), et \( e^{-at} \) en \( +\infty \) si \( a>0 \).
- On étudie l’intégrabilité par comparaison, équivalents et découpage de l’intervalle.
- Convergence dominée : convergence simple plus une domination \( |f_n|\le\varphi \) intégrable et indépendante de \( n \).
- Intégration terme à terme : valable si \( \sum\int|f_n| \) converge, ou pour des termes positifs.
- Continuité et dérivation sous \( \int \) : continuité de la dépendance en \( x \) et domination, vérifiée sur tout segment ; \( F'=\int\partial_xf \).
- \( \Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}dt \), \( \Gamma(x+1)=x\Gamma(x) \), \( \Gamma(n+1)=n! \), \( \Gamma(\frac12)=\sqrt\pi \), \( \Gamma \) strictement convexe de classe \( C^\infty \).
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