Nombres relatifs : cours de maths 5ème

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Cours de maths en 5ème : Nombres relatifs — Zyro, l’explorateur de Planète Maths

Il fait moins huit degrés au sommet de la station, ton compte de jeu affiche un score négatif, un plongeur se trouve à douze mètres sous la mer : comment écrire tout cela avec des nombres ? Jusqu’ici, tu ne connaissais que les nombres « sans signe ». Dans ce chapitre, tu découvres les nombres relatifs, qui peuvent être positifs ou négatifs. Tu apprendras à les placer, à les comparer, puis à calculer avec eux, sans te tromper de signe.

Sommaire

1. Nombres positifs et nombres négatifs

Nombres relatifs

Un nombre positif s’écrit avec le signe + (ou sans signe) : $+3$, $+4{,}5$. Un nombre négatif s’écrit avec le signe − : $-7$, $-0{,}2$. Les nombres positifs et les nombres négatifs forment la famille des nombres relatifs. Le nombre $0$ est à part : il sert de frontière entre les deux familles.

Les nombres négatifs servent à décrire ce qui se trouve « de l’autre côté de zéro » : une température sous le point de congélation, une profondeur sous le niveau de la mer, une dette, un étage de parking en sous-sol, un score qui recule.

Exemple 1

Traduire par un nombre relatif :

« Il fait 9 degrés en dessous de zéro » s’écrit $-9$ °C.
« Le sommet culmine à 420 m d’altitude » s’écrit $+420$ m.
« Le plongeur est à 15 m sous la surface » s’écrit $-15$ m.

2. Droite graduée et repérage

Pour représenter les nombres relatifs, on trace une droite graduée : on choisit une origine $O$ d’abscisse $0$, un sens (vers la droite, les nombres augmentent) et une unité de longueur. Les nombres positifs sont à droite de l’origine, les nombres négatifs à gauche.

Abscisse

Le nombre relatif qui repère un point sur une droite graduée s’appelle l’abscisse de ce point. On écrit $A(-3)$ pour dire que le point $A$ a pour abscisse $-3$.

Dans le plan, on utilise deux droites graduées perpendiculaires, qui forment un repère. Un point est alors repéré par un couple de nombres relatifs : son abscisse (lue sur l’axe horizontal) puis son ordonnée (lue sur l’axe vertical).

Exemple 2

Sur le repère ci-dessus, le point $E$ a pour coordonnées $(3\,;\,2)$, le point $F$ a pour coordonnées $(-4\,;\,1)$ et le point $G$ a pour coordonnées $(-2\,;\,-3)$. Pour $G$, on part de l’origine, on recule de 2 vers la gauche, puis on descend de 3.

Attention

On donne toujours l’abscisse en premier, puis l’ordonnée. Le point $(1\,;\,4)$ n’est pas le point $(4\,;\,1)$.

3. Comparer des nombres relatifs

Sur une droite graduée dirigée vers la droite, un nombre est plus grand qu’un autre s’il est situé plus à droite.

Règles de comparaison

Un nombre négatif est plus petit que $0$, et $0$ est plus petit que tout nombre positif.
Un nombre négatif est plus petit que tout nombre positif.
Deux nombres positifs : le plus grand est celui qui a la plus grande distance à zéro.
Deux nombres négatifs : le plus grand est celui qui est le plus proche de zéro.

Exemple 3

Compare $-8$ et $-3$. Les deux nombres sont négatifs ; $-3$ est plus proche de zéro que $-8$. Donc $-8 < -3$.

Range dans l’ordre croissant : $2$ ; $-1{,}5$ ; $-1{,}05$ ; $0$ ; $-4$. On obtient $-4 < -1{,}5 < -1{,}05 < 0 < 2$.

Astuce de Zyro

Quand tu compares deux nombres négatifs, la tentation est de dire que $-9$ est « plus grand » que $-2$ parce que 9 est plus grand que 2. Imagine plutôt un thermomètre : $-9$ °C est bien plus froid que $-2$ °C, donc $-9 < -2$.

4. L’opposé d’un nombre

Nombres opposés

Deux nombres sont opposés lorsque leur somme est égale à $0$. Sur une droite graduée, leurs points sont symétriques par rapport à l’origine. On obtient l’opposé d’un nombre en changeant son signe.

Par exemple, l’opposé de $6$ est $-6$, l’opposé de $-2{,}5$ est $2{,}5$, et l’opposé de $0$ est $0$. On note l’opposé de $a$ par $-a$. L’opposé de l’opposé d’un nombre est le nombre lui-même : $-(-7) = 7$.

5. La distance à zéro

Distance à zéro

La distance à zéro d’un nombre relatif est la distance entre le point qui le représente et l’origine. C’est le nombre sans son signe. Elle n’est jamais négative.

Exemple 4

La distance à zéro de $-6$ est $6$. La distance à zéro de $+4{,}5$ est $4{,}5$. Deux nombres opposés, comme $-6$ et $6$, ont la même distance à zéro.

Retiens bien : si deux nombres sont positifs, le plus grand a la plus grande distance à zéro ; si deux nombres sont négatifs, c’est le contraire. La distance à zéro est l’outil central pour additionner.

6. Additionner des nombres relatifs

Ajouter un nombre positif, c’est avancer vers la droite ; ajouter un nombre négatif, c’est reculer vers la gauche. La figure montre $(-3) + (+5) = +2$.

Méthode

Même signe : on garde ce signe et on additionne les distances à zéro.
Signes contraires : on garde le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro, et on soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande.
Deux nombres opposés ont toujours pour somme $0$.

Exemple 5

$(-7) + (-5)$ : même signe négatif, $7 + 5 = 12$, donc $(-7) + (-5) = -12$.

$(+9) + (-4)$ : signes contraires, la plus grande distance est $9$ (signe +), $9 - 4 = 5$, donc le résultat est $+5$.

$(-8) + (+3)$ : la plus grande distance est $8$ (signe −), $8 - 3 = 5$, donc le résultat est $-5$.

7. Soustraire des nombres relatifs

Soustraire = ajouter l’opposé

Soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé : $a - b = a + (-b)$.

Exemple 6

$(+2) - (+4) = (+2) + (-4) = -2$.

$(-4) - (-9) = (-4) + (+9) = +5$.

$(+3{,}5) - (-1{,}5) = (+3{,}5) + (+1{,}5) = +5$.

Piège

Ne confonds pas le signe d’un nombre et le signe de l’opération. Dans $(-6) - (+2)$, le premier $-$ appartient à $-6$, le deuxième est l’opération de soustraction : on obtient $(-6) + (-2) = -8$.

8. La somme algébrique

Une suite d’additions et de soustractions de nombres relatifs s’appelle une somme algébrique. Grâce à la règle précédente, on peut tout transformer en additions, puis supprimer les parenthèses en écrivant chaque nombre avec son signe.

Méthode

Transforme chaque soustraction en addition de l’opposé.
Écris la somme sans parenthèses.
Regroupe d’un côté tous les termes positifs, de l’autre tous les termes négatifs, et calcule chaque total.
Termine par une dernière addition de deux nombres de signes contraires.

Exemple 7

Calcule $S = (+7) + (-3) - (-4) - (+9)$.

$S = 7 - 3 + 4 - 9$. Termes positifs : $7 + 4 = 11$. Termes négatifs : $-3 - 9 = -12$. Donc $S = 11 + (-12) = -1$.

On peut changer l’ordre des termes d’une somme algébrique, à condition de garder le signe devant chaque terme. C’est ce qui permet de regrouper les positifs d’un côté et les négatifs de l’autre.

À retenir

Les nombres relatifs sont positifs (signe $+$) ou négatifs (signe $-$) ; $0$ est la frontière entre les deux.
Sur une droite graduée, un point est repéré par son abscisse ; dans un repère, par ses coordonnées (abscisse, puis ordonnée).
Entre deux nombres négatifs, le plus grand est celui qui est le plus proche de zéro.
Deux nombres opposés ont une somme égale à $0$ et la même distance à zéro.
Même signe : on additionne les distances à zéro ; signes contraires : on les soustrait et on garde le signe de la plus grande.
Soustraire un nombre, c’est ajouter son opposé : $a - b = a + (-b)$.
Une somme algébrique s’écrit sans parenthèses ; on regroupe les positifs et les négatifs.