Doubler une recette, calculer le prix de plusieurs baguettes, lire une carte, savoir si un vélo roule vite : toutes ces situations reposent sur une même idée, la proportionnalité. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à la reconnaître, à la représenter dans un tableau, puis à t’en servir pour résoudre des problèmes de la vie de tous les jours.
1. Reconnaître une situation de proportionnalité
Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque l’on obtient les valeurs de la seconde en multipliant les valeurs de la première par un même nombre.
Des mangues coûtent 3 € le kilogramme. Avec 2 kg, tu paies 6 € ; avec 4 kg, tu paies 12 €. Quand la masse double, le prix double aussi. Si tu représentes ces achats dans un repère, les points sont alignés avec l’origine.
Attention, il existe des situations où « plus on en prend, plus on paie » sans que ce soit proportionnel. Une piscine propose un abonnement de 5 € auquel on ajoute 2 € par entrée : 1 entrée coûte 7 €, 2 entrées coûtent 9 €. Deux entrées ne coûtent pas deux fois plus qu’une seule.
Ce n’est pas parce que deux grandeurs augmentent ensemble qu’elles sont proportionnelles. L’âge et la taille d’un enfant augmentent ensemble, mais à 20 ans tu ne mesures pas deux fois ta taille de 10 ans !
Le périmètre d’un carré est-il proportionnel à son côté ? Un carré de côté 2 cm a pour périmètre 8 cm ; un carré de côté 6 cm a pour périmètre 24 cm ; on trouve toujours le périmètre en multipliant le côté par 4. Oui, c’est une situation de proportionnalité. Pour l’aire, ce n’est pas le cas : côté 2 cm, aire 4 cm² ; côté 4 cm, aire 16 cm², soit quatre fois plus pour un côté doublé.
2. Le tableau de proportionnalité
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque les nombres de la deuxième ligne s’obtiennent en multipliant ceux de la première ligne par un même nombre.
Voici le prix de places de ciné-concert vendues 4 € l’unité :
Chaque nombre de la ligne du bas est le quadruple de celui du dessus. La flèche « × 4 » résume toute la situation.
3. Le coefficient de proportionnalité
Le nombre par lequel on multiplie la première ligne pour obtenir la seconde s’appelle le coefficient de proportionnalité.
- Choisis une colonne et divise le nombre du bas par celui du haut.
- Vérifie que les autres colonnes donnent le même résultat.
- Si un seul quotient est différent, ce n’est pas un tableau de proportionnalité.
Ce tableau est-il de proportionnalité ?
| Longueur (cm) | 4 | 6 | 10 |
|---|---|---|---|
| Masse (g) | 10 | 15 | 25 |
On calcule \(10 \div 4 = 2{,}5\), \(15 \div 6 = 2{,}5\) et \(25 \div 10 = 2{,}5\). Les trois quotients sont égaux : c’est un tableau de proportionnalité de coefficient \(2{,}5\).
4. Les propriétés additive et multiplicative
Additive : si on additionne deux colonnes, on obtient une colonne du tableau (les deux nombres s’additionnent aussi).
Multiplicative : si on multiplie (ou divise) une colonne par un nombre, on multiplie (ou divise) aussi le résultat par ce nombre.
Un peintre sait que 4 L de peinture couvrent 10 m². Quelle surface couvrent 12 L ? Et 6 L ?
Comme \(12 = 4 \times 3\), la surface est aussi multipliée par \(3\) : \(10 \times 3 = 30\) m².
Comme \(6 = 4 + 2\) et que 2 L couvrent \(10 \div 2 = 5\) m², on additionne : \(10 + 5 = 15\) m².
Ces propriétés ne marchent que dans un tableau de proportionnalité. Ne les utilise jamais avant d’avoir vérifié que la situation est proportionnelle.
5. La règle de trois
Quand on connaît une seule colonne et qu’on cherche une autre valeur, on passe souvent par l’unité : c’est la règle de trois.
- Écris la situation connue dans un tableau.
- Calcule la valeur pour 1 (une division).
- Multiplie cette valeur par la quantité demandée.
- Rédige une phrase de réponse avec l’unité.
7 croissants coûtent 8,40 €. Quel est le prix de 12 croissants ?
Un croissant coûte \(8{,}40 \div 7 = 1{,}20\) €. Douze croissants coûtent donc \(12 \times 1{,}20 = 14{,}40\) €.
Sur ma planète, on ne se trompe jamais de sens : je me demande toujours « combien pour 1 ? » avant de faire quoi que ce soit d’autre. Une fois la valeur de 1 trouvée, tout le reste se calcule en un seul coup !
6. Les pourcentages simples
Un pourcentage est une proportion exprimée « pour 100 ». Dire que 25 % d’une quantité sont colorés, c’est dire que 25 parts sur 100 le sont. Quelques pourcentages se calculent de tête.
| Pourcentage | 50 % | 25 % | 10 % | 75 % |
|---|---|---|---|---|
| Calcul | diviser par 2 | diviser par 4 | diviser par 10 | trois fois 25 % |
Un jeu coûte 36 € et une réduction de 25 % est appliquée. Quel est le prix à payer ?
25 % de 36 €, c’est \(36 \div 4 = 9\) €. Le prix à payer est \(36 - 9 = 27\) €.
7. Les échelles
Sur une carte ou un plan, les longueurs sont proportionnelles aux longueurs réelles. Le nombre qui permet de passer de l’une à l’autre est donné par l’échelle.
Une carte à l’échelle \(\dfrac{1}{50\,000}\) signifie que 1 cm sur la carte représente 50 000 cm dans la réalité, c’est-à-dire 500 m.
Sur une carte à l’échelle \(\dfrac{1}{50\,000}\), un sentier mesure 7 cm. Quelle est sa longueur réelle ?
\(7 \times 50\,000 = 350\,000\) cm, soit \(3\,500\) m, soit \(3{,}5\) km. Pour passer du réel à la carte, on divise : un chemin de 4 km (4 000 m) se dessine avec \(4\,000 \div 500 = 8\) cm.
8. La vitesse moyenne
Un cycliste qui roule à vitesse constante parcourt une distance proportionnelle au temps de trajet.
La vitesse moyenne est la distance parcourue en 1 heure. Elle s’obtient par \[ v = \dfrac{d}{t}. \] Une vitesse de 15 km/h signifie « 15 kilomètres en 1 heure ».
Un coureur parcourt 45 km en 3 h. Sa vitesse moyenne est \(45 \div 3 = 15\) km/h. À cette allure, il parcourt \(15 \times 4 = 60\) km en 4 h, et seulement \(15 \div 2 = 7{,}5\) km en une demi-heure.
À retenir
- Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe de l’une à l’autre en multipliant toujours par le même nombre : le coefficient.
- Pour le trouver, on divise une valeur de la deuxième ligne par la valeur correspondante de la première.
- On peut additionner des colonnes ou les multiplier par un nombre dans un tableau de proportionnalité.
- Règle de trois : on cherche d’abord la valeur pour 1, puis on multiplie.
- Pourcentages : 50 % = ÷ 2, 25 % = ÷ 4, 10 % = ÷ 10.
- Échelle : on multiplie pour aller de la carte à la réalité, on divise pour l’inverse.
- Vitesse moyenne : \(v = \dfrac{d}{t}\) et \(d = v \times t\).
