Séries entières : cours de maths Licence L2

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Cours de maths en Licence L2 : Séries entières — Zyro, l’explorateur de Planète Maths

Une série entière est une « fonction polynomiale de degré infini » \(\sum a_n x^n\). Son étude repose sur une seule question : pour quelles valeurs de la variable la somme a-t-elle un sens ? La réponse est un disque, dont le rayon commande toute la théorie : dérivation, intégration, développements des fonctions usuelles et résolution d’équations différentielles.

Sommaire

1. Séries entières et fonction somme

Série entière

Soit \((a_n)_{n\ge 0}\) une suite de nombres complexes. On appelle série entière de coefficients \(a_n\) la série de fonctions \(\sum_{n\ge 0} a_n z^n\) de la variable \(z\in\mathbb{C}\) (ou \(x\in\mathbb{R}\)). Pour chaque \(z\) où elle converge, on note \(S(z)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n\) sa somme.

Trois exemples guident la suite : \(\sum z^n\) (série géométrique), \(\sum \dfrac{z^n}{n!}\) (exponentielle) et \(\sum n!\,z^n\), qui ne converge qu’en \(z=0\).

2. Lemme d’Abel et rayon de convergence

Lemme d’Abel

Si la suite \((a_n r_0^n)\) est bornée pour un réel \(r_0>0\), alors pour tout \(z\) tel que \(|z|\lt r_0\), la série \(\sum a_n z^n\) converge absolument.

Preuve. Soit \(M\) un majorant de \(|a_n|r_0^n\) et \(q=|z|/r_0<1\). Alors \(|a_n z^n| = |a_n| r_0^n\, q^n \le M q^n\), terme général d’une série géométrique convergente.

Rayon de convergence

Le rayon de convergence est \(R=\sup\{ r\ge 0 \;:\; (a_n r^n) \text{ est bornée}\}\in[0,+\infty]\).

Théorème

Si \(|z|\lt R\), la série \(\sum a_n z^n\) converge absolument. Si \(|z|>R\), elle diverge grossièrement (son terme général n’est pas borné).

3. Disque de convergence et comportement au bord

L’ensemble \(\{|z|\lt R\}\) est le disque ouvert de convergence ; sur \(\mathbb{R}\), c’est l’intervalle \(]-R,R[\). Sur le cercle \(|z|=R\), le théorème ne dit rien et chaque cas se traite à part.

Exemple 1 : trois séries, même rayon, trois bords

Les séries \(\sum z^n\), \(\sum \dfrac{z^n}{n}\) et \(\sum \dfrac{z^n}{n^2}\) ont toutes pour rayon \(R=1\). Au bord \(|z|=1\) : la première diverge partout (le terme général ne tend pas vers 0) ; la deuxième diverge en \(z=1\) (série harmonique) mais converge en \(z=-1\) (série alternée) ; la troisième converge en tout point du cercle (convergence absolue, \(\sum 1/n^2<\infty\)). Pour la deuxième, le domaine réel de convergence est \([-1,1[\).

Erreur classique

Le rayon ne donne que l’intérieur du disque. Conclure « elle converge en \(x=R\) » ou « elle diverge en \(x=R\) » sans étude directe du bord est faux.

4. Calculer un rayon de convergence

Méthodes

Règle de d’Alembert. Si \(\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|\to \ell\in[0,+\infty]\), alors \(R=1/\ell\) (avec \(1/0=+\infty\) et \(1/{+\infty}=0\)).
Cauchy–Hadamard. Si \(|a_n|^{1/n}\to \ell\), alors \(R=1/\ell\).
Comparaison. Si \(a_n=O(b_n)\), alors \(R_a\ge R_b\) ; si \(a_n\sim b_n\), alors \(R_a=R_b\).
Séries lacunaires (puissances \(x^{2n}\), \(x^{3n+1}\)…) : appliquer d’Alembert aux modules \(|u_n(x)|\) de la série elle-même, pas aux coefficients.

Exemple 2 : un rayon par d’Alembert

Pour \(u_n(x)=\dfrac{x^{2n}}{n\,5^n}\) (\(n\ge 1\)) : \(\left|\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\right| = \dfrac{|x|^2}{5}\cdot\dfrac{n}{n+1}\to\dfrac{|x|^2}{5}\). La série converge si \(|x|^2<5\), diverge si \(|x|^2>5\) : \(R=\sqrt5\).

Zyro

« Sur ma planète, on dit qu’une série entière est une bulle : à l’intérieur tout est calme, à l’extérieur ça explose, et sur la paroi il faut aller regarder de près. »

5. Opérations sur les séries entières

Somme et produit de Cauchy

Soient \(\sum a_n z^n\) et \(\sum b_n z^n\) de rayons \(R_a\) et \(R_b\). Pour \(|z|<\min(R_a,R_b)\) :

la somme \(\sum (a_n+b_n)z^n\) a un rayon \(R\ge\min(R_a,R_b)\), avec égalité si \(R_a\ne R_b\) ;
le produit de Cauchy \(\sum c_n z^n\), avec \(c_n=\sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}\), a un rayon \(\ge\min(R_a,R_b)\) et sa somme vaut \(\left(\sum a_n z^n\right)\left(\sum b_n z^n\right)\).

Multiplier par une constante non nulle ou par \(z^p\) ne change pas le rayon. Remplacer \(z\) par \(\lambda z\) (\(\lambda\ne 0\)) le divise par \(|\lambda|\).

6. Dérivation et intégration

Théorème de dérivation terme à terme

Si \(f(x)=\sum a_n x^n\) sur \(]-R,R[\) avec \(R>0\), alors \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^\infty\) sur \(]-R,R[\), et
\[ f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} n\,a_n x^{n-1},\qquad \int_0^x f(t)\,dt=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}. \]
Les séries dérivée et primitive ont le même rayon \(R\). De plus \(a_n=\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}\) : les coefficients sont uniques.

Exemple 3 : deux sommes par dérivation

Pour \(|x|<1\), \(\sum_{n\ge 0}x^n=\dfrac1{1-x}\). On dérive : \(\sum_{n\ge1}n x^{n-1}=\dfrac1{(1-x)^2}\). On intègre \(\dfrac{1}{1+t}\) : \(\ln(1+x)=\sum_{n\ge1}(-1)^{n-1}\dfrac{x^n}{n}\). Avec \(x=\tfrac12\), \(\sum_{n\ge1} n\,2^{-(n-1)}=4\).

7. Développement en série entière et séries usuelles

Développable en série entière

Une fonction \(f\) est développable en série entière en 0 s’il existe \(r>0\) et une série entière de somme \(f\) sur \(]-r,r[\). Alors cette série est la série de Taylor \(\sum \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\).

Réciproque fausse

Une fonction \(\mathcal{C}^\infty\) n’est pas toujours développable : \(f(x)=e^{-1/x^2}\) (prolongée par \(f(0)=0\)) a toutes ses dérivées nulles en 0, sa série de Taylor est nulle, mais \(f\) ne l’est pas.

Pour développer, on ramène la fonction aux séries du tableau (changement de variable, produit, fractions partielles, dérivation ou intégration).

Fonction	Développement en 0	Rayon
\(e^x\)	\(\displaystyle\sum_{n\ge0}\frac{x^n}{n!}\)	\(+\infty\)
\(\cos x\)	\(\displaystyle\sum_{n\ge0}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}\)	\(+\infty\)
\(\sin x\)	\(\displaystyle\sum_{n\ge0}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\)	\(+\infty\)
\(\operatorname{ch}x,\ \operatorname{sh}x\)	\(\displaystyle\sum\frac{x^{2n}}{(2n)!},\ \sum\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\)	\(+\infty\)
\(\dfrac1{1-x}\)	\(\displaystyle\sum_{n\ge0}x^n\)	\(1\)
\(\ln(1+x)\)	\(\displaystyle\sum_{n\ge1}(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}\)	\(1\)
\(\arctan x\)	\(\displaystyle\sum_{n\ge0}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\)	\(1\)
\((1+x)^\alpha\)	\(\displaystyle\sum_{n\ge0}\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n\)	\(1\) si \(\alpha\notin\mathbb{N}\)

Exemple 4 : développer \(x\,e^{x^2}\)

Avec \(e^u=\sum u^n/n!\) et \(u=x^2\) : \(x\,e^{x^2}=\sum_{n\ge0}\dfrac{x^{2n+1}}{n!}\), pour tout réel \(x\). Le rayon est \(+\infty\).

8. Équations différentielles par séries entières

Méthode

Chercher \(y=\sum a_n x^n\) et calculer \(y'\), \(y''\) terme à terme.
Reporter dans l’équation, regrouper les puissances de \(x\) et décaler les indices pour que chaque somme soit en \(x^n\).
Identifier les coefficients de \(x^n\) : relation de récurrence sur les \(a_n\), avec les conditions initiales.
Résoudre la récurrence, puis déterminer le rayon et reconnaître la somme si possible.

Exemple 5 : \((1-x)y'=2y\), \(y(0)=1\)

Le coefficient de \(x^n\) dans \((1-x)y'\) est \((n+1)a_{n+1}-n\,a_n\). L’équation donne \((n+1)a_{n+1}=(n+2)a_n\), donc \(a_{n+1}=\dfrac{n+2}{n+1}a_n\) et, avec \(a_0=1\), \(a_n=n+1\). Ainsi \(y=\sum (n+1)x^n=\dfrac1{(1-x)^2}\), de rayon \(1\). On vérifie : \(y'=\dfrac{2}{(1-x)^3}\) et \((1-x)y'=\dfrac2{(1-x)^2}=2y\).

Séries entières Licence L2 : sommes partielles de la série de ln(1+x) jusqu’à n = 3, 6 et 9, qui épousent la courbe sur ]−1 ; 1[ et s’en écartent au-delà du rayon 1

À retenir

Le rayon \(R\) sépare convergence absolue (\(|z|\lt R\)) et divergence (\(|z|>R\)) ; le bord se traite à part.
Pour calculer \(R\) : d’Alembert, Cauchy–Hadamard, comparaison ; pour les séries lacunaires, d’Alembert sur les modules.
Somme et produit de Cauchy : rayon \(\ge\min(R_a,R_b)\).
Dérivation et intégration terme à terme conservent le rayon ; \(a_n=f^{(n)}(0)/n!\).
Savoir par cœur les développements de \(e^x\), \(\cos\), \(\sin\), \(\operatorname{ch}\), \(\operatorname{sh}\), \(\tfrac1{1-x}\), \(\ln(1+x)\), \(\arctan\), \((1+x)^\alpha\).
Équation différentielle : poser \(y=\sum a_nx^n\), obtenir une récurrence sur \(a_n\).