Combien de fois vas-tu gagner à un jeu de tirage ? Combien de pièces défectueuses dans un lot ? Combien de réponses justes en répondant au hasard à un quiz ? Dans chaque cas, le hasard produit un nombre. Ce chapitre t’apprend à décrire ce nombre (sa loi), à le résumer par une moyenne (l’espérance) et une dispersion (la variance), puis à étudier la situation la plus célèbre : la loi binomiale.
1. Variable aléatoire et loi de probabilité
Quand on associe un nombre réel à chaque issue d’une expérience aléatoire, on définit une variable aléatoire, notée par une majuscule comme \(X\). Si \(X\) prend les valeurs \(x_1, x_2, \dots, x_n\), l’événement « \(X = x_i\) » a pour probabilité \(p_i = P(X = x_i)\).
La loi de \(X\) est la donnée de toutes les valeurs \(x_i\) et de leurs probabilités \(p_i\), souvent dans un tableau. On a toujours \(0 \leqslant p_i \leqslant 1\) et \(p_1 + p_2 + \dots + p_n = 1\).
Un sac contient 10 jetons : 5 jetons « 0 € », 3 jetons « 2 € » et 2 jetons « 10 € ». On tire un jeton au hasard et on note \(X\) le gain en euros. La loi de \(X\) est :
| \(x_i\) | 0 | 2 | 10 |
|---|---|---|---|
| \(P(X = x_i)\) | \(0{,}5\) | \(0{,}3\) | \(0{,}2\) |
Vérification : \(0{,}5 + 0{,}3 + 0{,}2 = 1\).
2. Espérance
L’espérance de \(X\) est le nombre \[ E(X) = p_1 x_1 + p_2 x_2 + \dots + p_n x_n = \sum_{i=1}^{n} p_i x_i. \] C’est la valeur moyenne que prend \(X\) quand on répète l’expérience un très grand nombre de fois.
Pour le sac de jetons : \(E(X) = 0{,}5 \times 0 + 0{,}3 \times 2 + 0{,}2 \times 10 = 0 + 0{,}6 + 2 = 2{,}6\).
En jouant très souvent, on gagne en moyenne \(2{,}60\) € par partie. Si la mise est de \(3\) €, le jeu est défavorable au joueur ; si elle est de \(2{,}60\) €, il est équitable.
Pour tous réels \(a\) et \(b\) : \(E(aX + b) = aE(X) + b\).
3. Variance et écart type
Deux jeux peuvent avoir la même espérance mais des résultats très différents : l’un régulier, l’autre plein de surprises. La variance mesure cette dispersion autour de l’espérance.
Avec \(\mu = E(X)\), la variance est \[ V(X) = \sum_{i=1}^{n} p_i (x_i - \mu)^2 = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2, \] et l’écart type est \(\sigma(X) = \sqrt{V(X)}\). Ici \(E(X^2) = \sum p_i x_i^2\).
Pour le sac de jetons : \(E(X^2) = 0{,}5 \times 0^2 + 0{,}3 \times 2^2 + 0{,}2 \times 10^2 = 1{,}2 + 20 = 21{,}2\).
Donc \(V(X) = 21{,}2 - 2{,}6^2 = 21{,}2 - 6{,}76 = 14{,}44\) et \(\sigma(X) = \sqrt{14{,}44} = 3{,}8\).
\(V(aX + b) = a^2 V(X)\) et \(\sigma(aX + b) = |a|\,\sigma(X)\). Ajouter \(b\) décale les valeurs sans changer la dispersion ; multiplier par \(a\) la multiplie par \(|a|\).
On n’a pas \(V(aX) = aV(X)\) : la variance se multiplie par \(a^2\), pas par \(a\). Et la variance n’est jamais négative : si tu en trouves une négative, tu as oublié de retrancher \(E(X)^2\) correctement.
4. Épreuve de Bernoulli et schéma de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli de paramètre \(p\) est une expérience aléatoire qui n’a que deux issues : le succès \(S\), de probabilité \(p\), et l’échec \(\overline{S}\), de probabilité \(1 - p\).
Obtenir un « 6 » en lançant un dé est une épreuve de Bernoulli de paramètre \(p = \dfrac{1}{6}\). La variable qui vaut \(1\) en cas de succès et \(0\) sinon a pour espérance \(p\) et pour variance \(p(1-p)\).
Répéter \(n\) fois, de façon identique et indépendante, une même épreuve de Bernoulli de paramètre \(p\) s’appelle un schéma de Bernoulli de paramètres \(n\) et \(p\).
Sur l’arbre ci-dessus (\(n = 3\)), trois chemins contiennent exactement deux succès : \(SSE\), \(SES\) et \(ESS\). Chacun a pour probabilité \(p^2(1-p)\). Compter ces chemins est justement le rôle des coefficients binomiaux.
5. Coefficients binomiaux
Pour \(0 \leqslant k \leqslant n\), le nombre \(\dbinom{n}{k}\) (« \(k\) parmi \(n\) ») est le nombre de chemins contenant exactement \(k\) succès dans l’arbre de \(n\) répétitions.
- \(\dbinom{n}{0} = \dbinom{n}{n} = 1\) et \(\dbinom{n}{1} = n\) ;
- symétrie : \(\dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n-k}\) ;
- relation de Pascal : \(\dbinom{n}{k} + \dbinom{n}{k+1} = \dbinom{n+1}{k+1}\).
La relation de Pascal permet de construire le triangle de Pascal : chaque nombre est la somme de celui qui est au-dessus et de celui qui est au-dessus à gauche.
| \(n \backslash k\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(0\) | 1 | ||||||
| \(1\) | 1 | 1 | |||||
| \(2\) | 1 | 2 | 1 | ||||
| \(3\) | 1 | 3 | 3 | 1 | |||
| \(4\) | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||
| \(5\) | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | |
| \(6\) | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 |
Par exemple, \(\dbinom{6}{2} = \dbinom{5}{1} + \dbinom{5}{2} = 5 + 10 = 15\). Ta calculatrice donne ces nombres avec la touche « combinaison » (souvent notée nCr).
6. La loi binomiale
Dans un schéma de Bernoulli de paramètres \(n\) et \(p\), la variable aléatoire \(X\) qui compte le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\), notée \(\mathcal{B}(n\,;\,p)\).
Si \(X\) suit \(\mathcal{B}(n\,;\,p)\), alors pour tout entier \(k\) de \(0\) à \(n\) : \[ P(X = k) = \dbinom{n}{k}\, p^k\, (1-p)^{n-k}. \]
Justification : un chemin à \(k\) succès a pour probabilité \(p^k (1-p)^{n-k}\), et il y a \(\dbinom{n}{k}\) tels chemins.
- Repère l’épreuve répétée et son résultat à deux issues (le succès).
- Vérifie que les répétitions sont identiques et indépendantes (tirages avec remise, lancers successifs…).
- Donne \(n\) (nombre de répétitions) et \(p\) (probabilité d’un succès), puis applique la formule.
Lila lance 10 fléchettes ; chacune atteint la cible avec la probabilité \(0{,}4\), indépendamment des autres. Soit \(X\) le nombre de fléchettes dans la cible : \(X\) suit \(\mathcal{B}(10\,;\,0{,}4)\).
\(P(X = 4) = \dbinom{10}{4} \times 0{,}4^4 \times 0{,}6^6 = 210 \times 0{,}0256 \times 0{,}046656 \approx 0{,}2508\).
Sur Terre comme chez moi, « au moins un succès » se calcule toujours en passant par le contraire : \(P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1-p)^n\). Ça évite d’additionner plein de termes !
7. Espérance et variance d’une loi binomiale
Si \(X\) suit \(\mathcal{B}(n\,;\,p)\), alors \[ E(X) = np, \qquad V(X) = np(1-p), \qquad \sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}. \]
Pour \(\mathcal{B}(10\,;\,0{,}4)\) : \(E(X) = 10 \times 0{,}4 = 4\), \(V(X) = 10 \times 0{,}4 \times 0{,}6 = 2{,}4\) et \(\sigma(X) = \sqrt{2{,}4} \approx 1{,}55\).
Lila atteint donc la cible en moyenne 4 fois sur 10, avec un écart typique d’environ 1,5 fléchette.
8. Intervalle de fluctuation
Quand on répète une expérience, la fréquence de succès observée varie d’un échantillon à l’autre. Quel écart est « normal » ? C’est ce que précise l’intervalle de fluctuation.
Soit \(X\) suivant \(\mathcal{B}(n\,;\,p)\). On note \(a\) le plus petit entier tel que \(P(X \leqslant a) > 0{,}025\) et \(b\) le plus petit entier tel que \(P(X \leqslant b) \geqslant 0{,}975\). L’intervalle \(\left[\dfrac{a}{n}\,;\,\dfrac{b}{n}\right]\) est l’intervalle de fluctuation à 95 % de la fréquence de succès : il contient la fréquence observée avec une probabilité d’au moins \(0{,}95\).
Une urne contient 30 % de boules bleues. On tire 40 boules avec remise : \(X\), le nombre de bleues, suit \(\mathcal{B}(40\,;\,0{,}3)\). Avec la calculatrice : \(P(X \leqslant 6) \approx 0{,}0238\) (inférieur à \(0{,}025\)) et \(P(X \leqslant 7) \approx 0{,}0553\), donc \(a = 7\). De même \(P(X \leqslant 17) \approx 0{,}968\) et \(P(X \leqslant 18) \approx 0{,}985\), donc \(b = 18\).
L’intervalle de fluctuation à 95 % est \(\left[\dfrac{7}{40}\,;\,\dfrac{18}{40}\right] = [0{,}175\,;\,0{,}45]\).
- Fais une hypothèse sur la proportion \(p\) et détermine l’intervalle de fluctuation à 95 %.
- Calcule la fréquence \(f\) observée sur l’échantillon.
- Si \(f\) est dans l’intervalle, on ne rejette pas l’hypothèse ; sinon, on la rejette avec un risque d’erreur d’environ 5 %.
À retenir
- La loi de \(X\) donne chaque valeur \(x_i\) et sa probabilité \(p_i\) ; la somme des \(p_i\) vaut \(1\).
- \(E(X) = \sum p_i x_i\) ; \(V(X) = E(X^2) - E(X)^2\) ; \(\sigma(X) = \sqrt{V(X)}\).
- \(E(aX+b) = aE(X)+b\) et \(V(aX+b) = a^2V(X)\).
- Une épreuve de Bernoulli a deux issues (succès \(p\), échec \(1-p\)) ; \(n\) répétitions indépendantes forment un schéma de Bernoulli.
- \(X \sim \mathcal{B}(n\,;\,p)\) : \(P(X=k) = \dbinom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\), \(E(X) = np\), \(V(X) = np(1-p)\).
- \(\dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n-k}\) et \(\dbinom{n}{k}+\dbinom{n}{k+1} = \dbinom{n+1}{k+1}\).
- L’intervalle de fluctuation à 95 % est \(\left[\frac{a}{n}\,;\,\frac{b}{n}\right]\) ; une fréquence hors de cet intervalle remet l’hypothèse en cause.
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