Les étoiles d’une galaxie, les clics d’une vidéo, les pixels d’une photo : les nombres de la vie courante deviennent vite immenses. En CM2, tu apprends à lire, écrire, comparer et arrondir les nombres entiers jusqu’au milliard, sans te perdre dans les zéros.
1. Lire et écrire les grands nombres
Pour ne pas se tromper, on regroupe les chiffres par trois, en partant de la droite. Chaque groupe s’appelle une classe. Dans le tableau de numération, chaque classe contient les centaines (c), les dizaines (d) et les unités (u).
De droite à gauche : la classe des unités, la classe des milliers, la classe des millions et la classe des milliards. Un milliard, c’est mille millions ; un million, c’est mille milliers.
| milliards | millions | milliers | unités | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| c | d | u | c | d | u | c | d | u | c | d | u |
| 3 | 4 | 0 | 7 | 0 | 9 | 6 | 2 | 1 | 5 | ||
Le nombre du tableau s’écrit 3 407 096 215. On le lit classe par classe : trois milliards quatre cent sept millions quatre-vingt-seize mille deux cent quinze.
Sur ma planète, on laisse toujours un petit espace entre les classes. Sur Terre aussi : 3 407 096 215 se lit bien plus facilement que 3407096215 !
- Sépare les chiffres en classes de trois, en partant de la droite.
- Lis chaque classe comme un nombre inférieur à mille.
- Ajoute le nom de la classe : « milliards », « millions » ou « mille ». On n’écrit rien pour la classe des unités.
- Une classe qui ne contient que des zéros ne se lit pas.
« Deux cent cinq millions trois mille quarante ». La classe des millions est 205, celle des milliers est 003, celle des unités est 040. On écrit donc 205 003 040.
« Cinq milliards douze » : il n’y a ni millions ni milliers, on les remplit de zéros. Le nombre s’écrit 5 000 000 012.
Attention à l’orthographe : mille ne prend jamais de « s », mais million et milliard en prennent un au pluriel (« trois millions », « deux milliards »).
2. La valeur d’un chiffre selon sa position
Dans un nombre, un même chiffre n’a pas toujours la même valeur : tout dépend de sa position.
| milliards | millions | milliers | unités | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| c | d | u | c | d | u | c | d | u | c | d | u |
| 6 | 8 | 5 | 2 | 1 | 4 | 0 | 3 | 7 | 9 | ||
Le chiffre des dizaines de millions est le chiffre placé dans cette colonne. Le nombre de dizaines de millions est tout ce qui est écrit à gauche de cette colonne, colonne comprise.
Dans 6 852 140 379 :
- le chiffre des dizaines de millions est 5 ;
- le nombre de dizaines de millions est 685, car \(685 \times 10\,000\,000 = 6\,850\,000\,000\) ;
- le chiffre 8 est celui des centaines de millions : il vaut 800 000 000 ;
- le nombre de milliers est 6 852 140.
« Le chiffre des centaines » et « le nombre de centaines » sont deux choses différentes. Dans 5 380 296, le chiffre des centaines est 2, mais il y a 53 802 centaines en tout.
3. Décomposer un nombre
Décomposer un nombre, c’est l’écrire comme une somme de produits. On peut le faire chiffre par chiffre, ou classe par classe.
Le nombre 7 305 482 160 se décompose :
chiffre par chiffre : \(7 \times 1\,000\,000\,000 + 3 \times 100\,000\,000 + 5 \times 1\,000\,000 + 4 \times 100\,000 + 8 \times 10\,000 + 2 \times 1\,000 + 1 \times 100 + 6 \times 10\) ;
classe par classe : \(7 \times 1\,000\,000\,000 + 305 \times 1\,000\,000 + 482 \times 1\,000 + 160\).
\(9 \times 1\,000\,000 + 4 \times 10\,000 + 7 \times 100 + 3 = 9\,000\,000 + 40\,000 + 700 + 3 = 9\,040\,703\). Les colonnes absentes (milliers, centaines de mille…) donnent des zéros.
4. Comparer des nombres
- Compte les chiffres : le nombre qui a le plus de chiffres est le plus grand.
- S’ils ont autant de chiffres, compare-les de gauche à droite, chiffre par chiffre : dès que deux chiffres de même rang diffèrent, le plus grand chiffre l’emporte.
58 304 117 et 58 340 009 ont 8 chiffres. On lit : 5 = 5, 8 = 8, 3 = 3, puis 0 < 4. Donc \(58\,304\,117 < 58\,340\,009\).
Entre deux nombres entiers écrits sans zéro inutile à gauche, celui qui a le plus de chiffres est le plus grand.
Les signes sont \(<\) (« plus petit que ») et \(>\) (« plus grand que »). Un nombre de 8 chiffres est toujours plus grand qu’un nombre de 7 chiffres : \(9\,999\,999 < 10\,000\,000\).
5. Ranger des nombres
Ranger dans l’ordre croissant, c’est du plus petit au plus grand ; dans l’ordre décroissant, c’est du plus grand au plus petit.
Range 3 075 412 ; 3 705 412 ; 307 541 ; 30 754 120.
307 541 a 6 chiffres, 3 075 412 et 3 705 412 en ont 7, et 30 754 120 en a 8. Entre les deux nombres de 7 chiffres, on compare 3 075 et 3 705 : 0 < 7, donc le premier est plus petit.
Ordre croissant : \(307\,541 < 3\,075\,412 < 3\,705\,412 < 30\,754\,120\).
6. Encadrer et arrondir
Encadrer un nombre, c’est trouver deux multiples consécutifs (de 1 000, de 10 000, de 1 000 000…) entre lesquels il se trouve. Arrondir, c’est choisir celui des deux qui est le plus proche.
- Repère la colonne à laquelle on arrondit (par exemple le million).
- Regarde le chiffre juste à droite de cette colonne.
- S’il est 0, 1, 2, 3 ou 4, on garde la colonne et on remplace la suite par des zéros.
- S’il est 5, 6, 7, 8 ou 9, on ajoute 1 à la colonne et on remplace la suite par des zéros.
| À… | Encadrement | Arrondi |
|---|---|---|
| la centaine de mille | 47 300 000 < N < 47 400 000 | 47 400 000 |
| la dizaine de mille | 47 380 000 < N < 47 390 000 | 47 380 000 |
| au million | 47 000 000 < N < 48 000 000 | 47 000 000 |
Sur la droite, N est tout près de 47 400 000 : c’est bien l’arrondi à la centaine de mille.
Pour arrondir 8 499 999 au million, on regarde seulement le chiffre des centaines de mille : c’est 4, donc l’arrondi est 8 000 000. On ne s’occupe pas des 9 qui suivent. Et dès qu’on tombe sur un 5, on monte : 2 650 000 000 est arrondi à 3 000 000 000 au milliard.
7. Placer des nombres sur une droite graduée
- Lis les deux nombres écrits aux extrémités de l’intervalle.
- Compte les intervalles entre deux traits, puis calcule la valeur d’une graduation : (écart total) divisé par (nombre d’intervalles).
- Avance de graduation en graduation depuis le nombre de départ.
Entre 2 000 000 et 3 000 000 il y a 10 intervalles, donc une graduation vaut \(1\,000\,000 \div 10 = 100\,000\). Le point B est sur un trait numéroté : \(2\,800\,000\). Le point A est au milieu entre 2 300 000 et 2 400 000 : \(2\,350\,000\).
À retenir
- On regroupe les chiffres par trois : unités, milliers, millions, milliards.
- 1 000 milliers = 1 million ; 1 000 millions = 1 milliard.
- Le chiffre d’une colonne n’est pas le nombre d’unités de cette colonne.
- Pour comparer : d’abord le nombre de chiffres, puis de gauche à droite.
- Pour arrondir : on regarde le chiffre à droite ; 0 à 4 on garde, 5 à 9 on monte.
- Sur une droite graduée, calcule d’abord la valeur d’une graduation.
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