Une suite, c’est une liste de nombres rangés dans un ordre précis : le premier, le deuxième, le troisième… Elle décrit une évolution : un capital placé, une population, une température relevée jour après jour. Dans ce chapitre, tu apprends à définir une suite, à étudier ses variations, à reconnaître les deux grandes familles (arithmétiques et géométriques) et à calculer des sommes.
1. Qu’est-ce qu’une suite ?
Une suite numérique \((u_n)\) associe à chaque entier naturel \(n\) un nombre réel noté \(u_n\), appelé terme de rang \(n\). Le nombre \(n\) s’appelle l’indice. On écrit \((u_n)\) pour la suite entière et \(u_n\) pour un seul terme.
Attention à la différence entre \(u_{n+1}\) (le terme qui suit \(u_n\)) et \(u_n + 1\) (le nombre \(u_n\) augmenté de 1). Dans \(u_{n+1}\), c’est l’indice qui augmente, pas la valeur.
2. Deux modes de génération
Le terme \(u_n\) est donné directement en fonction de \(n\) : \(u_n = f(n)\). On calcule n’importe quel terme sans connaître les précédents.
On donne le premier terme et une relation qui permet de passer d’un terme au suivant : \(u_{n+1} = f(u_n)\). Pour atteindre \(u_{20}\), il faut en principe calculer tous les termes précédents.
Soit \(u_n = n^2 - 3n + 1\). Alors \(u_0 = 1\), \(u_1 = 1 - 3 + 1 = -1\), \(u_2 = 4 - 6 + 1 = -1\), \(u_3 = 9 - 9 + 1 = 1\) et \(u_4 = 16 - 12 + 1 = 5\).
Soit \(u_0 = 5\) et \(u_{n+1} = 2u_n - 3\). Alors \(u_1 = 2 \times 5 - 3 = 7\), \(u_2 = 2 \times 7 - 3 = 11\) et \(u_3 = 2 \times 11 - 3 = 19\).
| n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(u_n = n^2 - 3n + 1\) | 1 | -1 | -1 | 1 | 5 |
3. Sens de variation
Une suite \((u_n)\) est croissante si, pour tout entier \(n\), \(u_{n+1} \geqslant u_n\). Elle est décroissante si \(u_{n+1} \leqslant u_n\), et constante si \(u_{n+1} = u_n\). Elle est monotone si elle est de l’un de ces trois types.
- Exprime \(u_{n+1}\) en fonction de \(n\) (ou de \(u_n\)).
- Calcule la différence \(u_{n+1} - u_n\) et simplifie-la.
- Étudie son signe pour tout \(n\) : positive, la suite est croissante ; négative, elle est décroissante.
Si tous les termes sont strictement positifs, on peut aussi comparer \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) à 1.
Pour \(u_n = 2n^2 + n\) : \(u_{n+1} = 2(n+1)^2 + (n+1) = 2n^2 + 5n + 3\). Donc \(u_{n+1} - u_n = 4n + 3 > 0\) pour tout \(n \geqslant 0\) : la suite est strictement croissante.
Pour \(u_n = n^2 - 6n\), on trouve \(u_0 = 0\), \(u_1 = -5\), \(u_2 = -8\), \(u_3 = -9\), \(u_4 = -8\) : la suite décroît puis croît. Elle n’est pas monotone. Comparer deux termes ne suffit jamais : il faut la différence pour tout \(n\).
4. Suites arithmétiques
Une suite \((u_n)\) est arithmétique de raison \(r\) si, pour tout \(n\), \(u_{n+1} = u_n + r\). On ajoute toujours le même nombre.
Si \((u_n)\) est arithmétique de raison \(r\), alors \(u_n = u_0 + nr\), et plus généralement \(u_n = u_p + (n - p)r\). Elle est croissante si \(r > 0\), décroissante si \(r < 0\), constante si \(r = 0\).
Dans un repère, les points \((n\,;\,u_n)\) d’une suite arithmétique sont alignés : la pente de la droite est la raison.
Une suite arithmétique vérifie \(u_3 = 11\) et \(r = 4\). Alors \(u_n = 11 + 4(n-3) = 4n - 1\), donc \(u_{20} = 4 \times 20 - 1 = 79\).
5. Suites géométriques
Une suite \((v_n)\) est géométrique de raison \(q\) si, pour tout \(n\), \(v_{n+1} = q \, v_n\). On multiplie toujours par le même nombre.
Si \((v_n)\) est géométrique de raison \(q\), alors \(v_n = v_0 \, q^n\). Pour \(v_0 > 0\) : elle est croissante si \(q > 1\), décroissante si \(0 < q < 1\), constante si \(q = 1\).
On place 500 € à 4 % par an, intérêts composés. Chaque année, le capital est multiplié par \(1{,}04\) : \(v_n = 500 \times 1{,}04^n\). Après 5 ans, \(v_5 = 500 \times 1{,}04^5 \approx 608{,}33\) €.
Augmenter de \(t\) % revient à multiplier par \(1 + \dfrac{t}{100}\) ; diminuer de \(t\) % revient à multiplier par \(1 - \dfrac{t}{100}\). Pour reconnaître une suite géométrique, cherche un pourcentage constant.
6. Somme de termes
- \(1 + 2 + 3 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}\).
- Somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique : \(S = (\text{nombre de termes}) \times \dfrac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\).
- Pour \(q \neq 1\) : \(1 + q + q^2 + \dots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}\).
Somme \(3 + 7 + 11 + \dots + 43\). C’est une suite arithmétique de raison 4. Le dernier terme vérifie \(3 + 4k = 43\), donc \(k = 10\) : il y a 11 termes. Alors \(S = 11 \times \dfrac{3 + 43}{2} = 253\).
Autre cas : \(1 + 2 + 4 + \dots + 2^9 = \dfrac{1 - 2^{10}}{1 - 2} = 1023\).
7. Comportement d’une suite
On s’intéresse à ce que devient \(u_n\) quand \(n\) devient très grand.
- Suite arithmétique de raison \(r > 0\) : les termes deviennent aussi grands qu’on veut ; avec \(r < 0\), aussi petits (très négatifs).
- Suite géométrique de raison \(q > 1\) et \(v_0 > 0\) : les termes deviennent aussi grands qu’on veut.
- Suite géométrique avec \(0 < q < 1\) : les termes se rapprochent de 0.
- Certaines suites se rapprochent d’une valeur fixe sans l’atteindre, comme \(4 + 8 \times 0{,}6^n\) qui s’approche de 4.
8. Algorithmes de seuil
Un algorithme de seuil cherche le premier rang à partir duquel une suite dépasse (ou passe sous) une valeur donnée.
On part de \(v = 500\) et \(n = 0\). Pour doubler le capital avec \(v_{n+1} = 1{,}04 \, v_n\) :
v ← 500
n ← 0
Tant que v ≤ 1000 :
v ← 1,04 × v
n ← n + 1
Fin du Tant que
On affiche n.
À la fin, \(n\) vaut 18 : \(v_{17} \approx 974{,}0\) mais \(v_{18} \approx 1012{,}9\). Le capital dépasse 1000 € au bout de 18 ans.
Dans la boucle, on change la condition pour une suite décroissante (par exemple « tant que v > seuil »). Pense à bien initialiser et à incrémenter le compteur.
À retenir
- Une suite est définie de façon explicite (\(u_n = f(n)\)) ou par récurrence (\(u_{n+1} = f(u_n)\)).
- Pour le sens de variation, étudie le signe de \(u_{n+1} - u_n\).
- Arithmétique : \(u_{n+1} = u_n + r\) et \(u_n = u_0 + nr\).
- Géométrique : \(v_{n+1} = q\,v_n\) et \(v_n = v_0\,q^n\).
- Somme arithmétique : nombre de termes \(\times\) (premier + dernier) \(\div\) 2.
- Somme géométrique : \(1 + q + \dots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}\).
- Un algorithme de seuil utilise une boucle « tant que » et un compteur.
