Une pizza partagée entre amis, un trajet à moitié fait, la moitié d’un verre de jus : les fractions servent à dire une partie d’un tout avec précision. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à les lire, à les placer sur une droite, à les comparer, à calculer avec elles et même à les écrire avec une virgule.
1. La fraction d’une unité
Une unité peut être un gâteau, une longueur, une durée ou n’importe quel objet qu’on a choisi comme référence. Quand on la découpe en parts toutes identiques, on obtient des fractions de cette unité.
On partage une unité en b parts égales et on en prend a parts. On obtient la fraction \(\dfrac{a}{b}\) de l’unité. Le nombre du bas, \(b\), est le dénominateur : il dit en combien de parts égales l’unité est coupée. Le nombre du haut, \(a\), est le numérateur : il dit combien de parts on prend.
Sur la bande ci-dessus, l’unité est coupée en 4 parts égales et 3 sont colorées : la partie colorée représente \(\dfrac{3}{4}\) de la bande. La partie blanche représente \(\dfrac{1}{4}\), car \(3 + 1 = 4\) parts en tout.
Inès coupe une tarte en 8 parts égales et en mange 3. Elle a mangé \(\dfrac{3}{8}\) de la tarte. Il en reste \(\dfrac{5}{8}\). Et comme \(\dfrac{3}{8} + \dfrac{5}{8} = \dfrac{8}{8}\), on retrouve la tarte entière : \(\dfrac{8}{8} = 1\).
Les parts doivent être égales. Un rectangle coupé en 4 morceaux de tailles différentes n’est pas partagé en quarts, même si on voit bien 4 morceaux.
2. Lire et écrire une fraction
Certains dénominateurs ont un nom particulier, d’autres se lisent avec la terminaison « -ième ».
| Écriture | Se lit |
|---|---|
| \(\dfrac{1}{2}\) | un demi |
| \(\dfrac{1}{3}\) | un tiers |
| \(\dfrac{3}{4}\) | trois quarts |
| \(\dfrac{7}{10}\) | sept dixièmes |
| \(\dfrac{5}{12}\) | cinq douzièmes |
Le numérateur peut être plus grand que le dénominateur. Dans ce cas, la fraction est supérieure à 1 : on a pris plus d’une unité. Par exemple, \(\dfrac{7}{4} = \dfrac{4}{4} + \dfrac{3}{4} = 1 + \dfrac{3}{4}\) : c’est une unité entière et encore trois quarts. Une fraction dont le numérateur est égal au dénominateur vaut exactement 1, et si le dénominateur est 1, la fraction est un nombre entier : \(\dfrac{6}{1} = 6\).
3. La fraction comme quotient
Une fraction n’est pas seulement un morceau d’unité : c’est aussi le résultat d’une division.
Le quotient de \(a\) par \(b\) (avec \(b\) différent de 0) est le nombre qui, multiplié par \(b\), donne \(a\). Ce nombre se note \(\dfrac{a}{b}\) et on écrit \(\dfrac{a}{b} = a \div b\).
On partage un ruban de 7 mètres en 5 morceaux de même longueur. Chaque morceau mesure \(7 \div 5 = \dfrac{7}{5}\) mètre. Vérification : cinq morceaux mis bout à bout mesurent \(5 \times \dfrac{7}{5} = 7\) mètres, c’est bien la longueur de départ.
Pour comprendre pourquoi, imagine 3 pizzas à partager entre 4 personnes. On coupe chaque pizza en 4 et chacun prend un quart de chaque pizza : il obtient 3 quarts, soit \(\dfrac{3}{4}\) de pizza. Donc \(3 \div 4 = \dfrac{3}{4}\).
4. Les fractions sur une droite graduée
Les fractions sont des nombres : on peut les placer sur une droite graduée, comme les nombres entiers et décimaux.
- Repère l’unité, c’est-à-dire le segment entre 0 et 1.
- Compte en combien de parts égales elle est coupée : c’est le dénominateur.
- Compte les parts à partir de 0 : c’est le numérateur.
Sur la droite ci-dessus, chaque unité est coupée en 4 parts. Le point A est à 3 parts de 0 : son abscisse est \(\dfrac{3}{4}\). Le point B est à 5 parts de 0 : son abscisse est \(\dfrac{5}{4}\), c’est-à-dire \(1 + \dfrac{1}{4}\). Le point C est à 9 parts de 0 : son abscisse est \(\dfrac{9}{4}\), soit \(2 + \dfrac{1}{4}\).
5. Les fractions égales
Une même quantité peut s’écrire avec plusieurs fractions. Sur les trois bandes ci-dessous, la moitié est colorée à chaque fois, mais découpée de plus en plus finement.
On ne change pas une fraction quand on multiplie ou quand on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul : \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times k}{b \times k}\) et \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \div k}{b \div k}\).
Pour compléter \(\dfrac{3}{5} = \dfrac{\ ?\ }{20}\), on remarque que \(5 \times 4 = 20\). On multiplie aussi le numérateur par 4 : \(\dfrac{3}{5} = \dfrac{12}{20}\). Pour simplifier \(\dfrac{18}{24}\), on divise en haut et en bas par 6 : \(\dfrac{18}{24} = \dfrac{3}{4}\).
On multiplie ou on divise, jamais on n’ajoute. Les fractions \(\dfrac{1}{2}\) et \(\dfrac{3}{4}\) ne sont pas égales, même si on a ajouté 2 en haut et en bas.
6. Comparer des fractions
- Si deux fractions ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur.
- Si deux fractions ont le même numérateur, la plus grande est celle dont le dénominateur est le plus petit : des parts moins nombreuses sont plus grosses.
- Une fraction est plus petite que 1 si son numérateur est plus petit que son dénominateur, et plus grande que 1 dans le cas contraire.
- Cherche un dénominateur commun, souvent le plus grand des deux si l’autre en est un diviseur.
- Écris chaque fraction avec ce dénominateur.
- Compare les numérateurs.
Comparons \(\dfrac{3}{4}\) et \(\dfrac{5}{8}\). Comme \(4 \times 2 = 8\), on écrit \(\dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{8}\). Or \(6 > 5\), donc \(\dfrac{3}{4} > \dfrac{5}{8}\).
7. Prendre une fraction d’une quantité
Pour prendre \(\dfrac{3}{4}\) de 20 jetons, on forme 4 groupes égaux, puis on garde 3 de ces groupes.
- Divise la quantité par le dénominateur : tu obtiens la valeur d’une part.
- Multiplie le résultat par le numérateur.
Ici, \(20 \div 4 = 5\) jetons par groupe, puis \(5 \times 3 = 15\) : les trois quarts de 20 valent 15.
Un jeu vidéo coûte 35 €. Un code promo en retire les \(\dfrac{2}{5}\). On calcule \(35 \div 5 = 7\), puis \(7 \times 2 = 14\). La réduction est de 14 € et le jeu coûte donc \(35 - 14 = 21\) €.
8. Additionner et soustraire des fractions de même dénominateur
Quand les parts ont la même taille, on compte simplement les parts : \(\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a+b}{c}\) et \(\dfrac{a}{c} - \dfrac{b}{c} = \dfrac{a-b}{c}\) (si \(a \geqslant b\)). Le dénominateur ne change pas.
\(\dfrac{7}{10} + \dfrac{5}{10} = \dfrac{12}{10} = 1 + \dfrac{2}{10}\) : on dépasse une unité. Et \(\dfrac{9}{8} - \dfrac{3}{8} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}\) après simplification par 2.
Sur ma planète, on dit que le dénominateur est une étiquette collée sur chaque part : on additionne les parts, jamais les étiquettes. Trois cinquièmes et un cinquième font quatre cinquièmes, pas quatre dixièmes !
Une erreur très courante : \(\dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{5} = \dfrac{5}{10}\). C’est faux ! La bonne réponse est \(\dfrac{5}{5} = 1\).
9. Écriture décimale d’une fraction
Une fraction décimale a pour dénominateur 10, 100, 1000… Elle s’écrit tout de suite avec une virgule, grâce à la numération de position.
| Fraction décimale | Écriture décimale |
|---|---|
| \(\dfrac{3}{10}\) | \(0{,}3\) |
| \(\dfrac{7}{100}\) | \(0{,}07\) |
| \(\dfrac{245}{100}\) | \(2{,}45\) |
| \(\dfrac{18}{10}\) | \(1{,}8\) |
Pour une autre fraction, on cherche d’abord une fraction égale dont le dénominateur est 10, 100 ou 1000.
- \(\dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{10} = 0{,}5\)
- \(\dfrac{3}{4} = \dfrac{75}{100} = 0{,}75\)
- \(\dfrac{1}{5} = \dfrac{2}{10} = 0{,}2\)
- \(\dfrac{1}{8} = \dfrac{125}{1000} = 0{,}125\)
Toutes les fractions n’ont pas une écriture décimale exacte. Par exemple, \(\dfrac{1}{3}\) vaut 0,333… avec des 3 qui ne s’arrêtent jamais : on ne peut pas l’écrire exactement avec un nombre fini de chiffres.
À retenir
- \(\dfrac{a}{b}\) : l’unité est partagée en \(b\) parts égales et on en prend \(a\) ; \(b\) est le dénominateur, \(a\) le numérateur.
- \(\dfrac{a}{b} = a \div b\) : une fraction est un quotient.
- Sur une droite graduée, le dénominateur dit en combien de parts l’unité est coupée, le numérateur combien on en compte depuis 0.
- On ne change pas une fraction en multipliant ou en divisant numérateur et dénominateur par le même nombre.
- Même dénominateur : le plus grand numérateur gagne. Même numérateur : le plus petit dénominateur gagne.
- Fraction d’une quantité : on divise par le dénominateur, puis on multiplie par le numérateur.
- Même dénominateur : on additionne ou on soustrait les numérateurs et on garde le dénominateur.
- Une fraction décimale (10, 100, 1000) s’écrit avec une virgule.
