Prévoir la météo, évaluer les chances de gagner à un jeu, vérifier qu’un dé n’est pas truqué : le hasard est partout, et pourtant il obéit à des règles. En seconde, tu vas apprendre à décrire une expérience aléatoire, à calculer des probabilités avec des outils solides (événement contraire, réunion, tableaux, arbres), puis à te servir d’un échantillon pour décider si une proportion annoncée est crédible.
1. Expérience aléatoire et univers
Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît toutes les issues possibles, sans pouvoir prévoir laquelle va se produire. L’ensemble de ces issues s’appelle l’univers, noté \(\Omega\). Un événement est un ensemble d’issues, c’est-à-dire une partie de \(\Omega\). Un événement qui ne contient qu’une issue est dit élémentaire.
On lance un dé à six faces. L’univers est \(\Omega = \{1\,;2\,;3\,;4\,;5\,;6\}\). L’événement \(A\) : « obtenir un nombre pair » est \(A = \{2\,;4\,;6\}\).
On lance une pièce deux fois de suite, en notant P pour pile et F pour face. L’univers est \(\Omega = \{PP\,;PF\,;FP\,;FF\}\) : il contient 4 issues.
Quand on répète une expérience, l’ordre compte : PF et FP sont deux issues différentes. Oublier l’une des deux fausse tous les calculs.
2. Probabilité d’un événement
Définir une loi de probabilité sur \(\Omega = \{x_1\,;x_2\,;\dots\,;x_n\}\), c’est associer à chaque issue \(x_i\) un nombre \(p_i\) compris entre \(0\) et \(1\), de sorte que \(p_1 + p_2 + \dots + p_n = 1\). La probabilité d’un événement \(A\), notée \(P(A)\), est la somme des probabilités des issues qui le composent.
On en déduit que \(0 \leqslant P(A) \leqslant 1\), que \(P(\Omega) = 1\) (événement certain) et que \(P(\varnothing) = 0\) (événement impossible).
Quand toutes les issues ont la même probabilité, on a, pour tout événement \(A\) : \[ P(A) = \dfrac{\text{nombre d’issues de } A}{\text{nombre d’issues de } \Omega}. \]
Une roue est partagée en 12 secteurs identiques numérotés de 1 à 12. Les issues sont équiprobables. L’événement « le numéro est un multiple de 5 » est \(\{5\,;10\}\), donc sa probabilité est \(\dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{6}\).
Un dé a la loi suivante : \(P(1) = 0{,}1\), \(P(2) = 0{,}15\), \(P(3) = 0{,}15\), \(P(4) = 0{,}1\), \(P(5) = 0{,}2\), \(P(6) = 0{,}3\). La somme vaut bien \(1\). L’événement « le résultat est pair » a pour probabilité \(0{,}15 + 0{,}1 + 0{,}3 = 0{,}55\). Ici, les issues ne sont pas équiprobables : on additionne les probabilités, on ne compte pas les issues.
3. Événement contraire
L’événement contraire de \(A\), noté \(\overline{A}\), est constitué de toutes les issues de \(\Omega\) qui ne sont pas dans \(A\).
Pour tout événement \(A\) : \[ P(\overline{A}) = 1 - P(A). \]
On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. La probabilité de tirer un as est \(\dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8}\). La probabilité de « ne pas tirer d’as » est donc \(1 - \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}\).
Dès que tu vois « au moins un » dans un énoncé, pense au contraire : « au moins un » a pour contraire « aucun », bien plus simple à compter !
4. Réunion et intersection
L’événement \(A \cap B\) (« \(A\) et \(B\) ») est formé des issues qui réalisent à la fois \(A\) et \(B\). L’événement \(A \cup B\) (« \(A\) ou \(B\) ») est formé des issues qui réalisent \(A\), ou \(B\), ou les deux. Deux événements sont incompatibles quand \(A \cap B = \varnothing\).
Pour deux événements quelconques : \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B). \] Si \(A\) et \(B\) sont incompatibles, \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\).
Dans une classe de 28 élèves, 16 jouent de la guitare (\(A\)), 12 chantent dans la chorale (\(B\)) et 5 font les deux. On choisit un élève au hasard. Alors \(P(A) = \dfrac{16}{28}\), \(P(B) = \dfrac{12}{28}\) et \(P(A \cap B) = \dfrac{5}{28}\), d’où \[ P(A \cup B) = \dfrac{16 + 12 - 5}{28} = \dfrac{23}{28}. \] On soustrait \(P(A \cap B)\) car les 5 élèves communs ont été comptés deux fois.
5. Tableaux et arbres
Quand une situation croise deux critères, un tableau à double entrée donne directement les effectifs de chaque intersection.
On interroge 80 voyageurs sur leur mode de transport et sur le fait de voyager seul ou accompagné.
| Seul | Accompagné | Total | |
|---|---|---|---|
| Train | 22 | 18 | 40 |
| Car | 14 | 26 | 40 |
| Total | 36 | 44 | 80 |
En choisissant un voyageur au hasard : \(P(\text{Train}) = \dfrac{40}{80} = \dfrac{1}{2}\), \(P(\text{Seul}) = \dfrac{36}{80} = \dfrac{9}{20}\), \(P(\text{Train} \cap \text{Seul}) = \dfrac{22}{80} = \dfrac{11}{40}\) et \(P(\text{Train} \cup \text{Seul}) = \dfrac{40 + 36 - 22}{80} = \dfrac{54}{80} = \dfrac{27}{40}\).
Pour une succession d’épreuves, on dessine un arbre pondéré : chaque branche porte sa probabilité et, pour atteindre une issue, on multiplie les probabilités le long du chemin.
Une urne contient 3 boules rouges et 1 verte. On tire une boule, on la remet, puis on en tire une seconde. À chaque tirage, \(P(R) = \dfrac{3}{4}\) et \(P(V) = \dfrac{1}{4}\). Alors \(P(RR) = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{16}\). Les chemins qui donnent « deux couleurs différentes » sont RV et VR : \(P = \dfrac{3}{16} + \dfrac{3}{16} = \dfrac{3}{8}\).
- Écris les probabilités sur chaque branche ; leur somme sortant d’un même nœud vaut 1.
- Multiplie les probabilités le long d’un chemin pour obtenir celle d’une issue.
- Additionne les chemins qui réalisent l’événement demandé.
6. Fluctuation d’échantillonnage
Si on lance 10 fois une pièce équilibrée, obtenir 7 piles n’a rien d’extraordinaire. Si on la lance 1 000 fois, obtenir 700 piles serait très surprenant. La fréquence observée d’un caractère varie d’un échantillon à l’autre : c’est la fluctuation d’échantillonnage. Et plus l’échantillon est grand, plus elle se resserre autour de la probabilité \(p\) (c’est la loi des grands nombres, admise).
Si \(0{,}2 \leqslant p \leqslant 0{,}8\) et \(n \geqslant 25\), la fréquence \(f\) observée sur un échantillon de taille \(n\) appartient, dans au moins 95 % des cas, à l’intervalle \[ \left[\, p - \dfrac{1}{\sqrt{n}}\ ;\ p + \dfrac{1}{\sqrt{n}} \,\right]. \]
- Calcule l’intervalle de fluctuation à partir de la proportion \(p\) annoncée et de la taille \(n\).
- Calcule la fréquence \(f\) observée.
- Si \(f\) est dans l’intervalle, on ne rejette pas l’annonce. Sinon, on la met en doute (avec un risque d’erreur d’environ 5 %).
Un fabricant affirme que 60 % de ses ampoules durent plus de 1 000 heures. On teste \(n = 100\) ampoules. On a \(\dfrac{1}{\sqrt{100}} = 0{,}1\), donc l’intervalle est \([0{,}5\,;0{,}7]\). Si 52 ampoules durent longtemps, \(f = 0{,}52\) est dans l’intervalle : l’annonce n’est pas remise en cause. Si seulement 43 durent longtemps, \(f = 0{,}43\) est en dehors : on met l’annonce en doute.
Une fréquence dans l’intervalle ne prouve pas que \(p\) est la bonne valeur ; elle montre seulement que l’échantillon est compatible avec elle.
7. Simulation
Quand l’expérience est longue à répéter, on la simule avec un tableur ou un programme. Le tableur fournit un nombre aléatoire entre 0 et 1 avec ALEA(). Pour un dé à six faces, la formule =ENT(6*ALEA())+1 renvoie un entier de 1 à 6, chaque valeur étant équiprobable.
- Simule un grand nombre de répétitions (une ligne par épreuve).
- Compte les issues qui t’intéressent et calcule leur fréquence.
- Recommence plusieurs fois : tu observes la fluctuation.
Sur la courbe, la fréquence de la face 6 s’agite beaucoup au début, puis se rapproche de \(\dfrac{1}{6} \approx 0{,}167\) quand le nombre de lancers augmente. Une simulation ne donne jamais la probabilité exacte, mais une estimation d’autant meilleure que \(n\) est grand.
On simule 400 fois un tirage de deux dés et on note 66 sommes égales à 7. La fréquence est \(\dfrac{66}{400} = 0{,}165\). La probabilité exacte vaut \(\dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}167\) : l’estimation est très proche.
À retenir
- L’univers \(\Omega\) regroupe toutes les issues ; un événement est une partie de \(\Omega\).
- Une loi de probabilité attribue à chaque issue un nombre de \([0\,;1]\), la somme valant 1 ; en équiprobabilité, \(P(A) = \dfrac{\text{issues de } A}{\text{issues de } \Omega}\).
- \(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\) : le contraire est précieux pour « au moins un ».
- \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\).
- Dans un arbre, on multiplie le long d’un chemin et on additionne les chemins favorables.
- Intervalle de fluctuation : \(\left[p - \dfrac{1}{\sqrt{n}}\,;\,p + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]\) pour \(n \geqslant 25\) et \(0{,}2 \leqslant p \leqslant 0{,}8\).
- Une simulation fournit une estimation d’une probabilité, meilleure quand \(n\) grandit.
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