Calculer une aire, retrouver une position à partir d’une vitesse, résoudre une équation qui décrit une désintégration ou une oscillation : toutes ces tâches reposent sur l’intégration. Ce chapitre rassemble les outils de première année : intégrale d’une fonction continue par morceaux, primitives, intégration par parties, changement de variable, sommes de Riemann, formule de Taylor avec reste intégral, puis équations différentielles linéaires d’ordre 1 et 2.
1. Intégrale d’une fonction continue par morceaux
Une fonction \(f\) est continue par morceaux sur \([a\,;b]\) s’il existe une subdivision \(a = x_0 < x_1 < \dots < x_p = b\) telle que \(f\) soit continue sur chaque \(]x_{i-1}\,;x_i[\) et admette une limite finie à droite et à gauche en chaque \(x_i\). Son intégrale \(\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt\) est l’aire algébrique comprise entre la courbe et l’axe des abscisses : comptée positivement au-dessus de l’axe, négativement en dessous.
Pour \(f(x) = x^2 - 4x + 3\) sur \([0\,;4]\), les deux aires orange (de \(0\) à \(1\) et de \(3\) à \(4\)) valent chacune \(\dfrac{4}{3}\), l’aire cyan (de \(1\) à \(3\)) vaut \(\dfrac{4}{3}\) comptée négativement : l’intégrale totale vaut \(\dfrac{4}{3} - \dfrac{4}{3} + \dfrac{4}{3} = \dfrac{4}{3}\).
- Linéarité : \(\displaystyle\int_a^b (\lambda f + \mu g) = \lambda\int_a^b f + \mu\int_a^b g\).
- Relation de Chasles : \(\displaystyle\int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f\), et \(\displaystyle\int_b^a f = -\int_a^b f\).
- Positivité et croissance (pour \(a \leq b\)) : si \(f \geq 0\) alors \(\displaystyle\int_a^b f \geq 0\) ; si \(f \leq g\) alors \(\displaystyle\int_a^b f \leq \int_a^b g\).
- Inégalité triangulaire : \(\displaystyle\left|\int_a^b f\right| \leq \int_a^b |f|\).
La valeur moyenne de \(f\) sur \([a\,;b]\) est \(\mu = \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt\).
Une intégrale nulle ne signifie pas que la fonction est nulle : \(\displaystyle\int_0^2 (x-1)\,dx = 0\). Il faut ajouter les hypothèses « \(f\) continue et positive » pour conclure que \(f = 0\).
2. Primitives et théorème fondamental
Une primitive de \(f\) sur un intervalle \(I\) est une fonction dérivable \(F\) telle que \(F^{\prime} = f\) sur \(I\). Deux primitives de \(f\) sur un intervalle diffèrent d’une constante.
Si \(f\) est continue sur l’intervalle \(I\) et \(a \in I\), alors \(x \mapsto \displaystyle\int_a^x f(t)\,dt\) est l’unique primitive de \(f\) qui s’annule en \(a\). Pour toute primitive \(F\) de \(f\) :
\[ \int_a^b f(t)\,dt = F(b) - F(a) = \Big[F(t)\Big]_a^b. \]
Table des primitives à connaître (les constantes additives sont omises) :
| Fonction \(f\) | Une primitive \(F\) | Intervalle |
|---|---|---|
| \(x^n\) (\(n \in \mathbb{N}\)) | \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x^\alpha\) (\(\alpha \neq -1\)) | \(\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}\) | \(]0\,;+\infty[\) |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(\ln|x|\) | \(]0\,;+\infty[\) ou \(]-\infty\,;0[\) |
| \(e^{x}\) | \(e^{x}\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\cos x\) ; \(\sin x\) | \(\sin x\) ; \(-\cos x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\dfrac{1}{1+x^2}\) | \(\arctan x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) | \(\arcsin x\) | \(]-1\,;1[\) |
| \(u^{\prime}u^{\alpha}\) ; \(\dfrac{u^{\prime}}{u}\) ; \(u^{\prime}e^{u}\) | \(\dfrac{u^{\alpha+1}}{\alpha+1}\) ; \(\ln|u|\) ; \(e^{u}\) | là où \(u\) est dérivable (et \(u \neq 0\) pour \(\ln\)) |
Calculer \(\displaystyle\int_0^2 \dfrac{x}{1+x^2}\,dx\).
Avec \(u(x) = 1 + x^2\), on a \(u^{\prime}(x) = 2x\), donc \(\dfrac{x}{1+x^2} = \dfrac12\cdot\dfrac{u^{\prime}}{u}\) et une primitive est \(\dfrac12\ln(1+x^2)\).
\(\displaystyle\int_0^2 \dfrac{x}{1+x^2}\,dx = \dfrac12\ln 5 - \dfrac12\ln 1 = \dfrac{\ln 5}{2}\).
3. Intégration par parties
Si \(u\) et \(v\) sont de classe \(C^1\) sur \([a\,;b]\) :
\[ \int_a^b u(t)\,v^{\prime}(t)\,dt = \Big[u(t)\,v(t)\Big]_a^b - \int_a^b u^{\prime}(t)\,v(t)\,dt. \]
Elle découle de la dérivée d’un produit \((uv)^{\prime} = u^{\prime}v + uv^{\prime}\), intégrée entre \(a\) et \(b\).
- Repérer un facteur qui se simplifie en dérivant (polynôme, \(\ln\), \(\arctan\)) : ce sera \(u\).
- Prendre pour \(v^{\prime}\) le facteur dont on connaît une primitive (\(e^{x}\), \(\cos x\), ou \(1\)).
- Appliquer la formule et vérifier que la nouvelle intégrale est plus simple.
Calculer \(\displaystyle\int_0^1 x\,e^{x}\,dx\). On pose \(u(x) = x\), \(v^{\prime}(x) = e^{x}\), donc \(u^{\prime} = 1\) et \(v = e^{x}\).
\(\displaystyle\int_0^1 x\,e^{x}\,dx = \Big[x\,e^{x}\Big]_0^1 - \int_0^1 e^{x}\,dx = e - (e - 1) = 1\).
4. Changement de variable
Si \(\varphi\) est de classe \(C^1\) sur \([\alpha\,;\beta]\) et \(f\) continue sur \(\varphi([\alpha\,;\beta])\), alors
\[ \int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)} f(x)\,dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(t))\,\varphi^{\prime}(t)\,dt. \]
- Poser \(x = \varphi(t)\) et remplacer \(dx\) par \(\varphi^{\prime}(t)\,dt\).
- Changer les bornes : \(t = \alpha\) correspond à \(x = \varphi(\alpha)\).
- Calculer la nouvelle intégrale, sans revenir à l’ancienne variable.
Calculer \(\displaystyle\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,dx\). On pose \(x = \sin t\) avec \(t \in [0\,;\pi/2]\) : \(dx = \cos t\,dt\) et \(\sqrt{1-\sin^2 t} = \cos t\) (positif sur cet intervalle).
\(\displaystyle\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,dx = \int_0^{\pi/2} \cos^2 t\,dt = \int_0^{\pi/2} \dfrac{1+\cos 2t}{2}\,dt = \dfrac{\pi}{4}\), ce qui est bien l’aire d’un quart de disque de rayon \(1\).
Avant tout calcul, regarde la parité : si \(f\) est impaire, \(\displaystyle\int_{-a}^{a} f = 0\) ; si \(f\) est paire, \(\displaystyle\int_{-a}^{a} f = 2\int_0^a f\). Cela évite parfois toute intégration.
5. Sommes de Riemann
Si \(f\) est continue sur \([a\,;b]\), alors
\[ S_n = \dfrac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n} f\!\left(a + k\,\dfrac{b-a}{n}\right) \xrightarrow[n \to +\infty]{} \int_a^b f(t)\,dt. \]
En particulier, sur \([0\,;1]\) : \(\dfrac1n\displaystyle\sum_{k=1}^{n} f\!\left(\dfrac kn\right) \to \int_0^1 f\). Si \(f\) est de classe \(C^1\) avec \(|f^{\prime}| \leq M\), l’erreur vérifie \(\left|S_n - \displaystyle\int_a^b f\right| \leq \dfrac{M(b-a)^2}{2n}\).
Sur la figure, la somme à droite de \(x \mapsto x^2\) avec \(n = 5\) vaut \(\dfrac15\left(\dfrac{1}{25} + \dfrac{4}{25} + \dfrac{9}{25} + \dfrac{16}{25} + \dfrac{25}{25}\right) = 0{,}44\), un peu plus que \(\dfrac13\).
Déterminer la limite de \(u_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{n}{n^2 + k^2}\).
On factorise : \(\dfrac{n}{n^2+k^2} = \dfrac1n\cdot\dfrac{1}{1 + (k/n)^2}\), donc \(u_n = \dfrac1n\displaystyle\sum_{k=1}^n f\!\left(\dfrac kn\right)\) avec \(f(x) = \dfrac{1}{1+x^2}\), continue sur \([0\,;1]\).
Ainsi \(u_n \to \displaystyle\int_0^1 \dfrac{dx}{1+x^2} = \arctan 1 - \arctan 0 = \dfrac{\pi}{4}\).
6. Formule de Taylor avec reste intégral
Si \(f\) est de classe \(C^{n+1}\) sur un intervalle \(I\) contenant \(a\) et \(x\) :
\[ f(x) = \sum_{k=0}^{n} \dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + \int_a^x \dfrac{(x-t)^n}{n!}\,f^{(n+1)}(t)\,dt. \]
Si \(|f^{(n+1)}| \leq M\) sur \(I\), le reste vérifie \(|R_n(x)| \leq M\,\dfrac{|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}\).
La preuve se fait par récurrence sur \(n\) : pour passer de \(n-1\) à \(n\), on intègre le reste par parties en dérivant \(f^{(n)}\) et en intégrant \((x-t)^{n-1}/(n-1)!\). Contrairement à Taylor-Young, qui est local, cette formule est globale et donne une erreur explicite.
Pour \(f = \sin\), \(a = 0\), \(n = 4\) : \(\sin x = x - \dfrac{x^3}{6} + R_4(x)\) (le terme de degré 4 est nul) et \(|R_4(x)| \leq \dfrac{|x|^5}{120}\) car \(|\cos| \leq 1\).
Pour \(x = 0{,}5\) : \(0{,}5 - \dfrac{0{,}125}{6} \approx 0{,}47917\) avec une erreur d’au plus \(\dfrac{0{,}03125}{120} \approx 2{,}6 \times 10^{-4}\).
7. Équations différentielles linéaires d’ordre 1
Soit \(a\) et \(b\) continues sur un intervalle \(I\). L’équation \((E)\) : \(y^{\prime} + a(x)\,y = b(x)\) a pour équation homogène \((H)\) : \(y^{\prime} + a(x)\,y = 0\). Si \(A\) est une primitive de \(a\), les solutions de \((H)\) sont \(y = C\,e^{-A(x)}\), avec \(C \in \mathbb{R}\).
La solution générale de \((E)\) est la somme d’une solution particulière et de la solution générale de \((H)\). Pour toute condition \(y(x_0) = y_0\) avec \(x_0 \in I\), il existe une unique solution.
- Résoudre \((H)\) et écrire \(y_H = C\,e^{-A(x)}\).
- Chercher une solution particulière : forme analogue au second membre, ou variation de la constante \(y = C(x)\,e^{-A(x)}\) qui donne \(C^{\prime}(x) = b(x)\,e^{A(x)}\).
- Additionner, puis déterminer la constante avec la condition initiale.
Résoudre \(y^{\prime} + 2y = 6x\) avec \(y(0) = 1\).
Solutions de \((H)\) : \(y = C\,e^{-2x}\). On cherche \(y_p = \alpha x + \beta\) : \(\alpha + 2\alpha x + 2\beta = 6x\), donc \(\alpha = 3\) et \(\beta = -\dfrac32\).
Solution générale : \(y = 3x - \dfrac32 + C\,e^{-2x}\). Or \(y(0) = -\dfrac32 + C = 1\), donc \(C = \dfrac52\) et \(y(x) = 3x - \dfrac32 + \dfrac52 e^{-2x}\).
8. Équations différentielles linéaires d’ordre 2 à coefficients constants
On étudie \((E)\) : \(y^{\prime\prime} + a\,y^{\prime} + b\,y = f(x)\), avec \(a, b\) réels. L’équation caractéristique est \(r^2 + a\,r + b = 0\), de discriminant \(\Delta = a^2 - 4b\).
- Si \(\Delta > 0\), racines réelles \(r_1 \neq r_2\) : \(y = A\,e^{r_1 x} + B\,e^{r_2 x}\).
- Si \(\Delta = 0\), racine double \(r\) : \(y = (A + Bx)\,e^{rx}\).
- Si \(\Delta < 0\), racines \(\alpha \pm i\beta\) : \(y = e^{\alpha x}\big(A\cos \beta x + B\sin \beta x\big)\).
Avec les conditions \(y(x_0)\) et \(y^{\prime}(x_0)\) imposées, la solution est unique. La solution générale de \((E)\) est une solution particulière plus la solution générale de l’équation homogène.
Pour un second membre \(f(x) = e^{\lambda x}P(x)\), on cherche une solution particulière \(e^{\lambda x}Q(x)\) avec \(\deg Q = \deg P + m\), où \(m\) est l’ordre de \(\lambda\) comme racine de l’équation caractéristique (\(0\), \(1\) ou \(2\)).
Résoudre \(y^{\prime\prime} + 2y^{\prime} + 5y = 0\) avec \(y(0) = 1\) et \(y^{\prime}(0) = 0\).
\(r^2 + 2r + 5 = 0\) a pour discriminant \(4 - 20 = -16\), donc \(r = -1 \pm 2i\) et \(y = e^{-x}(A\cos 2x + B\sin 2x)\).
\(y(0) = A = 1\). Puis \(y^{\prime}(0) = -A + 2B = 0\), donc \(B = \dfrac12\) : \(y(x) = e^{-x}\left(\cos 2x + \dfrac12\sin 2x\right)\).
La courbe oscille mais l’amplitude décroît comme \(e^{-x}\) : c’est le comportement d’un ressort avec frottement.
À retenir
- L’intégrale est une aire algébrique ; elle est linéaire, croissante et vérifie la relation de Chasles.
- \(\displaystyle\int_a^b f = F(b) - F(a)\) pour toute primitive \(F\) d’une fonction continue \(f\).
- Parties : \(\displaystyle\int_a^b uv^{\prime} = [uv]_a^b - \int_a^b u^{\prime}v\) ; changement de variable : on change aussi les bornes.
- Somme de Riemann : \(\dfrac1n\displaystyle\sum_{k=1}^n f\!\left(\dfrac kn\right) \to \int_0^1 f\) pour \(f\) continue.
- Taylor avec reste intégral : reste \(\displaystyle\int_a^x \dfrac{(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)\,dt\), majoré par \(M\,|x-a|^{n+1}/(n+1)!\).
- Ordre 1 : \(y = y_p + C\,e^{-A(x)}\) ; ordre 2 : on lit la solution homogène sur les racines de \(r^2 + ar + b = 0\).
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