Nombres et calculs : cours de maths 2de

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Cours de maths en 2de : Nombres et calculs — Zyro, l’explorateur de Planète Maths

Mesurer une distance, convertir une durée, comparer la taille d’un virus à celle d’une galaxie : on manipule sans cesse des nombres de natures très différentes. En seconde, on met de l’ordre dans cette collection : tu vas classer les nombres dans leurs ensembles, calculer proprement avec les puissances et les racines, décrire des ensembles de réels par des intervalles, mesurer des écarts avec la valeur absolue, et enfin donner des valeurs approchées honnêtes de résultats trop longs pour être écrits entièrement.

Sommaire

1. Les ensembles de nombres

Les nombres se rangent dans des ensembles de plus en plus vastes, chacun contenant le précédent.

Les cinq ensembles

\(\mathbb{N}\) : les entiers naturels \(0, 1, 2, 3, \dots\) ;
\(\mathbb{Z}\) : les entiers relatifs, naturels ou négatifs : \(\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\) ;
\(\mathbb{D}\) : les nombres décimaux, qui s’écrivent \(\dfrac{k}{10^n}\) avec \(k\in\mathbb{Z}\) et \(n\in\mathbb{N}\) (un nombre fini de chiffres après la virgule) ;
\(\mathbb{Q}\) : les nombres rationnels, quotients \(\dfrac{p}{q}\) d’un entier relatif \(p\) par un entier non nul \(q\) ;
\(\mathbb{R}\) : les nombres réels, ceux qui repèrent tous les points d’une droite graduée.

On a donc la chaîne d’inclusions \(\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\). Le symbole \(\in\) relie un nombre à un ensemble (\(-3\in\mathbb{Z}\)), le symbole \(\subset\) relie deux ensembles. Pour classer un nombre, on cherche le plus petit ensemble qui le contient.

Exemple : classer des nombres

\(\dfrac{12}{4}=3\) est un entier naturel. \(-2{,}5=\dfrac{-25}{10}\) est décimal, pas entier. \(\dfrac{5}{6}\) est rationnel mais pas décimal. \(\sqrt{49}=7\) appartient à \(\mathbb{N}\). Enfin \(\sqrt{7}\) n’est qu’un réel : on va voir pourquoi dans la partie suivante.

2. Rationnels et irrationnels

Un rationnel a toujours une écriture décimale qui s’arrête ou qui se répète : \(\dfrac{1}{3}=0{,}333\dots\) et \(\dfrac{4}{11}=0{,}3636\dots\). Un réel qui n’est pas rationnel est dit irrationnel : sa partie décimale ne se répète jamais.

Reconnaître un décimal

Une fraction irréductible \(\dfrac{a}{b}\) est un nombre décimal si et seulement si les seuls diviseurs premiers de \(b\) sont \(2\) et \(5\). Ainsi \(\dfrac{7}{8}=0{,}875\) et \(\dfrac{3}{20}=0{,}15\) sont décimaux, alors que \(\dfrac{4}{9}\) et \(\dfrac{5}{6}\) ne le sont pas.

Théorème

Le nombre \(\sqrt{2}\) est irrationnel.

Démonstration (par l’absurde). Supposons \(\sqrt{2}=\dfrac{p}{q}\) avec \(\dfrac{p}{q}\) irréductible. Alors \(p^2=2q^2\), donc \(p^2\) est pair, donc \(p\) est pair : \(p=2k\). On obtient \(4k^2=2q^2\), soit \(q^2=2k^2\), donc \(q\) est pair aussi. Les entiers \(p\) et \(q\) sont tous deux pairs : la fraction n’était pas irréductible, ce qui est absurde. \(\square\)

Le nombre \(\sqrt{2}\) existe bel et bien : c’est la longueur de la diagonale d’un carré de côté \(1\), donc un point précis de la droite graduée. Le nombre \(\pi\) est aussi irrationnel (résultat admis).

Attention

Une calculatrice affiche \(1{,}41421356\) pour \(\sqrt{2}\) : c’est une valeur approchée, pas le nombre lui-même. Dans un calcul, on garde le symbole \(\sqrt{2}\) le plus longtemps possible.

3. Puissances

Pour \(a\neq 0\) et \(n\) entier, \(a^n\) est le produit de \(n\) facteurs égaux à \(a\), \(a^0=1\) et \(a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\). Par exemple \(2^{-3}=\dfrac{1}{8}\).

Règles de calcul

Pour \(a\) et \(b\) non nuls, \(m\) et \(n\) entiers relatifs :

\[ a^m\times a^n=a^{m+n}\qquad \dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\qquad (a^m)^n=a^{mn}\qquad (ab)^n=a^n b^n \]

Exemple

Simplifier \(A=\dfrac{3^5\times 3^{-2}}{3^{4}}\). On regroupe en haut : \(3^5\times3^{-2}=3^{3}\). Puis \(A=\dfrac{3^3}{3^4}=3^{3-4}=3^{-1}=\dfrac{1}{3}\).

4. Racines carrées

Racine carrée

Pour \(a\ge 0\), \(\sqrt{a}\) est l’unique nombre positif dont le carré vaut \(a\). Donc \((\sqrt{a})^2=a\), et \(\sqrt{a^2}=|a|\) pour tout réel \(a\).

Règles

Pour \(a\ge 0\) et \(b>0\) : \(\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}\) et \(\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\).

Erreur classique

En général \(\sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b}\) : \(\sqrt{9+16}=5\) alors que \(\sqrt{9}+\sqrt{16}=7\).

Méthode : simplifier une racine

Cherche le plus grand carré parfait qui divise le nombre sous la racine.
Écris le nombre comme produit de ce carré et d’un entier.
Sépare avec \(\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}\) et calcule la racine du carré parfait.

Exemple

\(\sqrt{72}=\sqrt{36\times2}=6\sqrt{2}\). Ensuite, pour \(B=\sqrt{48}-2\sqrt{12}+\sqrt{75}\) : \(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\), \(2\sqrt{12}=4\sqrt{3}\) et \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\), d’où \(B=4\sqrt{3}-4\sqrt{3}+5\sqrt{3}=5\sqrt{3}\).

Astuce de Zyro

Sur ma planète, on dit qu’un dénominateur avec une racine est « mal rangé » ! Pour le ranger, multiplie en haut et en bas par cette racine : \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

5. Intervalles de R

Un intervalle est un ensemble de réels « sans trou » compris entre deux bornes. Le crochet est tourné vers l’intérieur quand la borne est incluse, vers l’extérieur quand elle est exclue. Les bornes \(+\infty\) et \(-\infty\) ne sont jamais incluses.

Inégalité	Intervalle	Borne(s)
\(a\le x\le b\)	\([a\,;b]\)	incluses
\(a\lt x\lt b\)	\(]a\,;b[\)	exclues
\(a\le x\lt b\)	\([a\,;b[\)	\(a\) incluse, \(b\) exclue
\(x\ge a\)	\([a\,;+\infty[\)	\(a\) incluse
\(x\lt b\)	\(]-\infty\,;b[\)	\(b\) exclue

La figure représente \([-2\,;3[\) : on trouve \(-2\) dans l’intervalle mais pas \(3\). Deux intervalles se combinent : l’intersection \(\cap\) garde les réels communs, la réunion \(\cup\) garde ceux qui sont dans l’un au moins.

Exemple

Soit \(I=[-3\,;2[\) et \(J=]0\,;5]\). Les réels communs sont ceux qui sont plus grands que \(0\) (exclu) et plus petits que \(2\) (exclu) : \(I\cap J=]0\,;2[\). Tout réel de \(-3\) à \(5\) est dans l’un des deux, donc \(I\cup J=[-3\,;5]\).

6. Valeur absolue et distance

Valeur absolue

La valeur absolue d’un réel \(x\), notée \(|x|\), vaut \(x\) si \(x\ge0\) et \(-x\) si \(x\le0\). C’est la distance de \(x\) à \(0\). Plus généralement, la distance entre deux réels \(a\) et \(b\) est \(|a-b|=|b-a|\).

Ainsi \(|-4{,}5|=4{,}5\) et la distance entre \(-3\) et \(8\) est \(|8-(-3)|=11\).

Propriétés (avec \(r>0\))

\(|x-a|=r\iff x=a-r\) ou \(x=a+r\) ;
\(|x-a|\le r\iff a-r\le x\le a+r\iff x\in[a-r\,;a+r]\) ;
\(|x-a|>r\iff x\in]-\infty\,;a-r[\,\cup\,]a+r\,;+\infty[\).

Exemple

Résoudre \(|x-2|\le3\) : les réels \(x\) situés à une distance de \(2\) au plus égale à \(3\) vont de \(2-3=-1\) à \(2+3=5\). L’ensemble des solutions est \([-1\,;5]\), comme sur la figure.

7. Encadrements et arrondis

Encadrer un nombre \(x\), c’est trouver deux nombres \(m\) et \(M\) avec \(m\le x\le M\). L’amplitude de l’encadrement est \(M-m\) : plus elle est petite, plus l’encadrement est précis. Pour \(\sqrt{2}\) : \(1{,}41\lt \sqrt{2}\lt 1{,}42\), d’amplitude \(0{,}01\).

Troncature et arrondi

La troncature à \(10^{-n}\) coupe l’écriture après le \(n\)-ième chiffre. L’arrondi choisit la valeur à \(10^{-n}\) la plus proche : on augmente le dernier chiffre conservé si le chiffre suivant est \(5\) ou plus.

Exemple

Pour \(\dfrac{17}{7}=2{,}428571\dots\) : l’encadrement au centième est \(2{,}42\lt \dfrac{17}{7}\lt 2{,}43\) ; la troncature au centième est \(2{,}42\), l’arrondi au centième est \(2{,}43\) car le chiffre suivant est \(8\).

Attention

N’arrondis jamais un résultat intermédiaire : les erreurs s’accumulent. Garde la valeur exacte et arrondis uniquement la réponse finale.

8. Écriture scientifique

Écriture scientifique

Un nombre décimal non nul positif s’écrit sous forme scientifique \(a\times10^n\) avec \(1\le a\lt 10\) et \(n\in\mathbb{Z}\).

Ainsi \(4\,520\,000=4{,}52\times10^6\) et \(0{,}000038=3{,}8\times10^{-5}\). Pour comparer deux nombres en écriture scientifique, on compare d’abord les exposants, puis les facteurs \(a\). L’exposant donne l’ordre de grandeur.

Exemple

Calculer \((6\times10^5)\times(7\times10^{-9})\). On multiplie les facteurs et on ajoute les exposants : \(42\times10^{-4}\). Comme \(42\) n’est pas entre \(1\) et \(10\), on écrit \(42=4{,}2\times10\), d’où le résultat \(4{,}2\times10^{-3}\).

À retenir

\(\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\) ; \(\sqrt{2}\) et \(\pi\) sont irrationnels.
\(a^m a^n=a^{m+n}\), \(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\), \((a^m)^n=a^{mn}\), \(a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\).
\(\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}\) mais \(\sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b}\).
Crochet vers l’intérieur : borne incluse ; \(\infty\) toujours exclu.
\(|x-a|\le r\iff x\in[a-r\,;a+r]\) ; \(|a-b|\) est la distance entre \(a\) et \(b\).
On encadre sans arrondir en route ; écriture scientifique : \(a\times10^n\), \(1\le a\lt 10\).