Une suite de nombres converge ou non ; une suite de fonctions offre bien plus de façons de converger. Ce chapitre précise les modes de convergence (simple, uniforme, normale) et montre pourquoi le plus fort d’entre eux permet de passer à la limite sous les symboles de continuité, d’intégrale et de dérivée. Il se conclut par un résultat remarquable : toute fonction continue sur un segment est limite uniforme de polynômes.
1. Convergence simple
Soit \( I \) un intervalle et \( (f_n) \) une suite de fonctions de \( I \) dans \( \mathbb{R} \) (ou \( \mathbb{C} \)). On dit que \( (f_n) \) converge simplement vers \( f \) sur \( I \) si, pour chaque \( x\in I \), la suite numérique \( (f_n(x)) \) tend vers \( f(x) \). Formellement : \( \forall x\in I,\ \forall \varepsilon\gt 0,\ \exists N,\ \forall n\ge N,\ |f_n(x)-f(x)|\le\varepsilon \). Le rang \( N \) peut dépendre de \( x \).
Sur \( [0,1] \), posons \( f_n(x)=x^n \). Si \( 0\le x\lt 1 \), alors \( x^n\to 0 \) ; si \( x=1 \), \( f_n(1)=1 \). La limite simple est donc la fonction \( f \) nulle sur \( [0,1[ \) et valant \( 1 \) en \( 1 \). Toutes les \( f_n \) sont continues, mais \( f \) ne l’est pas.
La convergence simple est trop faible : elle ne transmet ni la continuité, ni l’intégrale, ni la dérivabilité. L’exemple précédent le montre pour la continuité.
2. Convergence uniforme
La suite \( (f_n) \) converge uniformément vers \( f \) sur \( I \) si \( \|f_n-f\|_\infty=\sup_{x\in I}|f_n(x)-f(x)|\to 0 \). De façon équivalente : \( \forall\varepsilon\gt 0,\ \exists N,\ \forall n\ge N,\ \forall x\in I,\ |f_n(x)-f(x)|\le\varepsilon \). Le rang \( N \) ne dépend plus de \( x \) : le graphe de \( f_n \) tout entier se loge dans un « tube » de rayon \( \varepsilon \) autour de celui de \( f \).
- Trouver la limite simple \( f \).
- Calculer ou majorer \( \|f_n-f\|_\infty \) (étude de fonction, inégalité).
- Si le majorant tend vers 0, la convergence est uniforme. Pour la réfuter, exhiber \( x_n\in I \) tel que \( |f_n(x_n)-f(x_n)| \) ne tend pas vers 0.
Soit \( f_n(x)=\dfrac{x}{1+nx^2} \) sur \( \mathbb{R} \). La limite simple est \( 0 \). Comme \( 1+nx^2\ge 2\sqrt{n}\,|x| \) (inégalité \( a+b\ge 2\sqrt{ab} \)), on a \( |f_n(x)|\le \dfrac{1}{2\sqrt{n}} \), avec égalité en \( x=1/\sqrt{n} \). Donc \( \|f_n\|_\infty=\dfrac{1}{2\sqrt n}\to 0 \) : la convergence est uniforme.
Sur \( [0,a] \) avec \( 0\lt a\lt 1 \), \( \|x^n\|_\infty=a^n\to 0 \) : convergence uniforme. Sur \( [0,1[ \), prenons \( x_n=2^{-1/n}\in[0,1[ \) : \( x_n^n=\tfrac12 \) ne tend pas vers 0, donc la convergence n’est pas uniforme. Elle l’est donc sur tout segment de \( [0,1[ \), mais pas sur \( [0,1[ \).
Convergence uniforme \( \Rightarrow \) convergence simple (vers la même limite). La réciproque est fausse.
3. Continuité de la limite
Si les \( f_n \) sont continues sur \( I \) et convergent uniformément vers \( f \), alors \( f \) est continue sur \( I \).
Démonstration. Soit \( x_0\in I \) et \( \varepsilon\gt 0 \). Choisissons \( n \) tel que \( \|f_n-f\|_\infty\le\varepsilon/3 \), puis \( \delta\gt 0 \) tel que \( |x-x_0|\le\delta \Rightarrow |f_n(x)-f_n(x_0)|\le\varepsilon/3 \). Pour un tel \( x \) : \( |f(x)-f(x_0)|\le |f(x)-f_n(x)|+|f_n(x)-f_n(x_0)|+|f_n(x_0)-f(x_0)|\le\varepsilon \). \( \square \)
En contraposée : si les \( f_n \) sont continues et la limite simple est discontinue, la convergence n’est pas uniforme. C’est ce qui arrive à \( x^n \) sur \( [0,1] \).
La réciproque est fausse : les fonctions \( f_n(x)=n^2xe^{-nx} \) convergent simplement vers la fonction nulle (continue) sur \( [0,1] \), mais \( f_n(1/n)=n/e\to+\infty \) : pas de convergence uniforme.
4. Intégration et dérivation terme à terme
Si les \( f_n \) sont continues sur un segment \( [a,b] \) et convergent uniformément vers \( f \), alors \( \displaystyle\int_a^b f_n\to\int_a^b f \).
En effet \( \left|\int_a^b (f_n-f)\right|\le (b-a)\,\|f_n-f\|_\infty\to 0 \). L’hypothèse d’uniformité est essentielle : avec \( f_n(x)=n^2xe^{-nx} \) sur \( [0,1] \), le changement de variable \( u=nx \) donne
\[ \int_0^1 n^2xe^{-nx}\,dx=\int_0^n ue^{-u}\,du=1-(n+1)e^{-n}\longrightarrow 1\neq 0=\int_0^1 \lim f_n . \]
Soit \( (f_n) \) une suite de fonctions de classe \( C^1 \) sur un intervalle \( I \). Si \( (f_n) \) converge simplement vers \( f \) et si \( (f_n') \) converge uniformément (sur tout segment de \( I \)) vers \( g \), alors \( f \) est de classe \( C^1 \) et \( f'=g \).
Il faut la convergence uniforme des dérivées. Les fonctions \( f_n(x)=\sin(nx)/n \) convergent uniformément vers 0, mais \( f_n'(x)=\cos(nx) \) ne converge pas en général (par exemple \( f_n'(\pi)=(-1)^n \)).
Sur \( [0,\tfrac12] \), soit \( f_n(x)=x+\dfrac{x^n}{n} \). On a \( f_n\to f:x\mapsto x \) et \( f_n'(x)=1+x^{n-1}\to 1 \) uniformément car \( \|x^{n-1}\|_\infty=2^{-(n-1)}\to 0 \). Le théorème donne \( f'=1 \), ce qui est bien la dérivée de \( x\mapsto x \).
5. Séries de fonctions et convergence normale
Une série \( \sum u_n \) de fonctions converge simplement (resp. uniformément) lorsque la suite de ses sommes partielles \( S_n=u_0+\dots+u_n \) le fait. Avec le reste \( R_n=\sum_{k\gt n}u_k \), la convergence uniforme équivaut à : convergence simple et \( \|R_n\|_\infty\to 0 \).
La série \( \sum u_n \) converge normalement sur \( I \) si la série numérique \( \sum \|u_n\|_\infty \) converge.
Convergence normale \( \Rightarrow \) convergence uniforme et absolue \( \Rightarrow \) convergence simple. En effet \( |R_n(x)|\le\sum_{k\gt n}\|u_k\|_\infty \), reste d’une série convergente. Si \( \sum u_n \) converge uniformément, alors \( \|u_n\|_\infty\to 0 \).
| Mode | Condition | Limite continue ? | Intégrale sur un segment |
|---|---|---|---|
| simple | \( f_n(x)\to f(x) \) pour tout \( x \) | pas toujours | pas toujours |
| uniforme | \( \|f_n-f\|_\infty\to 0 \) | oui | oui |
| normale (séries) | \( \sum\|u_n\|_\infty\lt\infty \) | oui | oui |
6. Critère de Weierstrass
S’il existe des réels \( M_n\ge 0 \) avec \( |u_n(x)|\le M_n \) pour tout \( x\in I \) et \( \sum M_n\lt\infty \), alors \( \sum u_n \) converge normalement sur \( I \).
Soit \( S(x)=\sum_{n\ge1}\dfrac{\sin(nx)}{n^2} \). Comme \( |\sin(nx)/n^2|\le 1/n^2 \) et \( \sum 1/n^2 \) converge, la série converge normalement sur \( \mathbb{R} \). Les termes sont continus : \( S \) est continue sur \( \mathbb{R} \), et \( |S(x)|\le\pi^2/6 \).
Les théorèmes des parties 3 et 4 s’étendent aux séries : si les \( u_n \) sont continues et \( \sum u_n \) converge uniformément sur un segment, la somme est continue et \( \int\sum u_n=\sum\int u_n \). Pour la dérivation, on suppose \( \sum u_n \) simplement convergente et \( \sum u_n' \) uniformément convergente sur tout segment.
Sur \( [0,\tfrac12] \), \( \sum x^n \) converge normalement (\( M_n=2^{-n} \)) vers \( \dfrac1{1-x} \). Donc \( \displaystyle\ln 2=\int_0^{1/2}\frac{dx}{1-x}=\sum_{n\ge0}\frac{(1/2)^{n+1}}{n+1}=\sum_{k\ge1}\frac{1}{k\,2^k} \).
Sur \( ]-1,1[ \), la série \( \sum x^n \) ne converge pas normalement : \( \|x^n\|_\infty=1 \). Elle converge pourtant normalement sur tout segment \( [-a,a] \) avec \( a\lt 1 \).
7. Théorème de Dini
Soit \( K \) un segment (ou un compact). Si les \( f_n \) sont continues sur \( K \), convergent simplement vers une fonction \( f \) continue sur \( K \), et si la suite \( (f_n(x)) \) est monotone pour chaque \( x \) (croissante pour tous les \( x \) ou décroissante pour tous), alors la convergence est uniforme.
Idée de la preuve. Dans le cas décroissant, posons \( g_n=f_n-f\ge 0 \) : suite décroissante de fonctions continues tendant simplement vers 0. Pour \( \varepsilon\gt 0 \), les ouverts \( U_n=\{g_n\lt\varepsilon\} \) sont emboîtés croissants et recouvrent \( K \). Par compacité, un seul suffit : \( U_N=K \), donc \( 0\le g_n\lt\varepsilon \) pour \( n\ge N \). \( \square \)
Soit \( f_n(x)=x^n(1-x) \) sur \( [0,1] \). La suite est décroissante en \( n \) (car \( 0\le x\le 1 \)), converge simplement vers la fonction nulle, continue. Dini donne la convergence uniforme, sans aucun calcul de borne supérieure.
Chaque hypothèse compte. Sur \( [0,1[ \) (non compact), \( x^n \) décroît vers 0 sans converger uniformément. Et si la limite n’est pas continue (cas de \( x^n \) sur \( [0,1] \)), le théorème ne s’applique pas.
8. Approximation de Weierstrass
Toute fonction continue \( f \) sur un segment \( [a,b] \) est limite uniforme d’une suite de fonctions polynomiales.
Sur \( [0,1] \), une construction explicite est fournie par les polynômes de Bernstein :
\[ B_n(f)(x)=\sum_{k=0}^{n} f\!\left(\frac kn\right)\binom nk x^k(1-x)^{n-k}, \qquad B_n(f)\to f \text{ uniformément.} \]
Le polynôme \( B_n(f) \) est une moyenne pondérée des valeurs \( f(k/n) \), les poids \( \binom nk x^k(1-x)^{n-k} \) se concentrant autour de \( k\approx nx \).
Avec \( f(x)=x^2 \), les poids sont ceux de la loi binomiale de paramètres \( n \) et \( x \), dont la moyenne est \( nx \) et la variance \( nx(1-x) \). Ainsi \( B_n(f)(x)=\dfrac{nx(1-x)+n^2x^2}{n^2}=x^2+\dfrac{x(1-x)}{n} \) et \( \|B_n(f)-f\|_\infty=\dfrac1{4n}\to 0 \).
Sur ma planète, on dit qu’un polynôme est une « fonction de poche » : avec assez de degrés, il imite n’importe quelle courbe continue d’un segment. Mais le segment est indispensable : aucun polynôme ne tend vers 0 aux deux infinis comme le fait \( e^{-x^2} \) sur \( \mathbb{R} \).
À retenir
- Simple : un rang \( N \) par point. Uniforme : un rang \( N \) pour tous les points, soit \( \|f_n-f\|_\infty\to 0 \).
- Limite uniforme de fonctions continues : fonction continue ; passage à la limite sous une intégrale sur un segment.
- Dérivation terme à terme : il faut la convergence uniforme des dérivées (sur les segments) et la convergence simple des fonctions.
- Normale \( \Rightarrow \) uniforme \( \Rightarrow \) simple ; le critère de Weierstrass (\( |u_n|\le M_n \), \( \sum M_n\lt\infty \)) prouve la convergence normale.
- Dini : sur un compact, suite monotone de fonctions continues convergeant simplement vers une limite continue : convergence uniforme.
- Weierstrass : sur un segment, les polynômes approchent uniformément toute fonction continue (Bernstein).
Entraîne-toi : défi express de Licence L2
Automatismes Licence L2 : combien de réponses en 60 secondes ?
🚀 Zyro te conseille la suite
✏️ Exercices de mathsSuites et séries de fonctions : exercices de maths Licence L2
📝 Contrôles de mathsSuites et séries de fonctions : contrôle de maths Licence L2
🎯 QCM de mathsSuites et séries de fonctions : QCM de maths Licence L2
✏️ Exercices de mathsSéries numériques : exercices de maths Licence L2
✏️ Exercices de mathsSéries entières : exercices de maths Licence L2
📝 Contrôles de mathsSéries numériques : contrôle de maths Licence L2